2019版山东省泰安中考数学一轮复习《第21讲：圆的有关性质》课件.pptx

第 21 讲 圆的有关性质 泰安考情分析 基础知识过关 泰安考点聚焦 总纲目录 随堂巩固练习 泰安考情分析 基础知识过关 知识点一 圆的有关概念 知识点二 圆的有关性质 知识点三 圆内接四边形 知识点一    圆的有关概念 1. 圆的两种定义 (1) 在一个平面内 , 线段 OA 绕它 ①  固定的一个 端点 O       旋转 一周 , 另一个端点 A 所形成的图形叫做圆 , 其固定的端点 O 叫做②       圆心      , 线段 OA 叫做③      半径      . (2) 在同一平面上到定点的距离等于④      定长      的所有点的 集合叫做 圆 . 2.弦和弧 (1)弦:连接圆上⑤      任意两点      的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做⑥      直径      ,直径是圆中最长的弦. (2)弧:圆上⑦      任意两点间的部分      叫做圆弧,简称弧.弧可分为⑧      劣弧      、半圆和优弧. 3. 同心圆和等圆 : 圆心相同的圆叫做同心圆 ; 半径相等的圆叫做等 圆 . 4.圆心角和圆周角: 顶点在⑨      圆心上      的角叫做圆心角;顶点在圆上,并且⑩      两边都与圆相交      的角叫做圆周角. 5.弦心距: 圆心到弦的距离叫做        弦心距      ,即由圆心向弦作 垂线 段,则这条垂线段的长度叫做弦心距. 知识点二    圆的有关 性质 1.圆的对称性 (1)圆是轴对称图形,        任何一条直径所在的直线      都是圆的对称轴; (2)圆是中心对称图形,对称中心是        圆心      . 2.垂径定理及其推论 (1)定理:垂直于弦的直径平分        弦      ,并且平分         弦所对的两条弧      . (2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 温馨提示       (1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的优 弧;(5)平分弦所对的劣弧,这五条结论中的任意两条成立,那么其 他的结论也成立. 3.圆心角、弧、弦之间的关系 (1) 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的      弧     相等,所对的      弦     相等,所对的弦的弦心距相等. (2)推论:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条 弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相 等. 4.圆周角定理及推论 (1)定理:在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等,都等于它所对 圆心角的        一半      . (2)推论:        同弧或等弧      所对的圆周角相等;半圆(或直径)所对的圆周角是        直角      ;90°的圆周角所对是   直径    . 温馨提示      (1)同一条弧所对的圆周角相等,同一条弦所对的圆周角相等或互补;(2)当已知条件中有直径时,常常作直径所对的圆 周角,这是圆中常作的辅助线;(3)等弧只存在于同圆或等圆中,是 指能够完全重合的弧,而不是弧长相等或者所对圆心角相等的弧. 知识点三    圆内接四边形 1.定义:四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形. 2.性质:圆内接四边形的对角        互补      . 泰安考点聚焦 考点一 垂径 定理及其推论 考点二 圆心角、弧、弦的关系 考点三 圆周角定理及其推论 考点四 圆内接四边形的性质 考点一    垂径定理及其推论 中考解题指导 　大部分求圆中弦或线段长度或者出现弦的中点 的题目都要用到垂径定理,我们要熟记垂径定理的“两条件三结 论”,并熟练运用定理本身和它的推论. 例1      (2017泰安一模)如图, AB 是☉ O 的直径,点 D 平分弧 AC , AC =5, DE =1.5,则 OE =               . 解析 　∵ OD 为☉ O 半径,点 D 平分弧 AC , AC =5, ∴ OD ⊥ AC , AE = CE =2.5. 设 OE = x , ∵ DE =1.5,∴ OA = OD = x +1.5. 在Rt△ AEO 中, AE 2 + OE 2 = AO 2 , 即2.5 2 + x 2 =( x +1.5) 2 ,解得 x =   . 变式1-1 　一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径 OA =1 m,水面宽 AB =1.2 m,某天下雨后,水管水面上升了0.2 m,则此时排 水管水面宽 CD 等于      1.6      m. 解析 　如图,作 OE ⊥ AB 于点 E ,交 CD 于点 F ,连接 OC . ∵ AB =1.2 m, OE ⊥ AB , ∴由垂径定理知 AE =0.6 m. ∵ OA =1 m,∴ OE =0.8 m. ∵水管水面上升了0.2 m, ∴ EF =0.2 m, ∴ OF =0.8 m-0.2 m=0.6 m, ∴ CF =   =   =0.8(m),∴ CD =1.6 m. 考点 二    圆心角、弧、弦的关系 例2 　如图, D , E 分别是☉ O 的半径 OA , OB 上的点, CD ⊥ OA , CE ⊥ OB , CD = CE ,则   与   的大小关系是         =         . 解析 　∵ CD ⊥ OA , CE ⊥ OB , ∴∠ CDO =∠ CEO =90°, 又∵ CD = CE , CO = CO , ∴△ COD ≌△ COE .∴∠ COD =∠ COE , ∴   =   . 变式2-1      (2017甘肃兰州)如图,在☉ O 中,   的长=   的长,点 D 在 ☉ O 上,∠ CDB =25°,则∠ AOB =   ( B )   A.45°　　B.50°　     C.55°　　D.60° 解析　连接 OC .∵∠ CDB =25°, ∴∠ COB =50°.又   =   , ∴∠ AOB =∠ COB =50°,故选B. 变式2-2 　如图,AB是半圆的直径,点D是弧AC的中点,∠ABC=50°, 则∠DAB等于  ( C )   A.55°　　B.60°　     C.65°　　D.70° 解析 　 连接 BD ,如图.   ∵ 点D是弧AC的中点,即  的长=  的长, ∴∠ABD=∠CBD,又∠ABC=50°, ∴∠ABD= ×50°=25°, ∵AB是半圆的直径, ∴∠ADB=90°,∴∠DAB=90°-25°=65°.故选C. 方法技巧 　　 熟记并能灵活运用圆心角、弧、弦之间的关系的 定理及推论是解决此类问题的关键. 考点三    圆周角定理及其推论 例3       (2017泰安)如图,△ ABC 内接于☉ O ,若∠ A = α ,则∠ OBC 等于   ( D )   A.180°- α 　    B.2 α 　　    C.90°+ α 　　    D.90°- α 解析 　连接 OC ,则∠ BOC =2∠ A =2 α , ∵ OB = OC , ∴∠ OBC =∠ OCB =   (180°-2 α )=90°- α .   变式3-1       (2016泰安)如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,∠ B=30°,CE平分∠ACB交☉O于E,交AB于点D,连接AE,则S△ADE∶S△ CDB=  ( D ) A.1∶   　   B .1∶   　   C.1∶ 2 　 D.2∶3 解析　 如图所示,连接 OE . ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°. ∵在Rt△ACB中,∠B=30°, ∴设AC=x,则AB=2x,BC= x, OA=x. ∵CE平分∠ACB, ∴∠ACE=∠BCE= ∠ACB=45°, ∴∠BAE=∠BCE=45°, ∠AOE=2∠ACE=90°, ∴△AOE为等腰直角三角形, ∴AE= x, ∵∠BAE=∠BCE,∠ADE=∠BDC, ∴△ADE∽△CDB, ∴S△ADE∶S△CDB=  =   = 2∶3.故选D. 变式3-2      (2018泰安)如图,☉ O 是△ ABC 的外接圆,∠ A =45°, BC =4,则☉ O 的 直径 为      4         .   解析 　连接OB,OC, ∵∠A=45°,∴∠BOC=90°. ∵OB=OC, ∴△BOC为等腰直角三角形. ∵BC=4,∴OB=OC=2 , ∴圆的直径为2 ×2=4 .   方法技巧 　 　求圆周角的度数,可以转化为求同弧所对的圆心角 的度数,同理,求圆心角的度数,可以转化为求同弧所对的圆周角 的度数. 考点四    圆内接四边形的性质 中考解题指导 　圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的外 角等于它的内对角,此知识点较为简单,但也是非常容易忽略的, 当碰到圆与四边形结合的题目时,要优先考虑圆内接四边形的性 质和推论. 例4      (2017泰安)如图,圆内接四边形 ABCD 的边 AB 过圆心 O ,过点 C 的切线与边 AD 所在直线垂直于点 M ,若∠ ABC =55°,则∠ ACD 等 于   ( A )   A.20°　　B.35°　     C.40°　　D.55° 解析 　 连接OC,∵CM所在直线为☉O的切线,∴CM⊥OC.   ∵ CM⊥AM,∴OC∥AM, ∴∠DAC=∠ACO. 又OA=OC,∴∠OAC=∠ACO, ∴∠DAC=∠OAC. ∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°, ∵∠ABC=55°,∴∠CAO=∠DAC=35°. ∵四边形ABCD为☉O的内接四边形, ∴∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ADC=125°, ∴∠ACD=180°-∠DAC-∠ADC=180°-35°-125°=20°. 变式4-1 　 如图,四边形 ABCD 内接于☉ O ,若四边形 ABCO 是平行 四边形,则∠ ADC 的大小为 ( C )   A.45°　　B.50° C.60°　　D.75° 解析 　设∠ ADC = x °,则∠ AOC =2 x °.∵四边形 ABCO 是平行四边 形,∴∠ B =∠ AOC .∵四边形 ABCD 是☉ O 的内接四边形,∴∠ B +∠ D =180°,∴ x +2 x =180,∴ x =60.∴∠ ADC =60°.故选C. 变式4-2 　 如图, A , B , C 三点在☉ O 上,且∠ CBD =60°,那么∠ AOC =      120°      .   解析 　如图,在优弧 AC 上取一点 E ,连接 AE , CE ,则四边形 ABCE 为 圆的内接四边形,且∠ AOC =2∠ AEC ,   ∴∠AEC+∠ABC=180°, ∵∠CBD+∠ABC=180°, ∴∠AEC=∠CBD=60°. ∴∠AOC=2∠AEC=120°. 方法技巧　　通过圆内接四边形对角互补的性质,实现角与角之 方法技巧 　　 通过圆内接四边形对角互补的性质,实现角与角之 间的转化,这是解决此类问题的关键. 一、选择题 1.(2018济宁)如图,点 B , C , D 在☉ O 上,若∠ BCD =130°,则∠ BOD 的 度数是   ( D )   A.50°　    B.60°　    C.80°　    D.100° 随堂巩固训练 2.在半径为13的☉ O 中,弦 AB ∥ CD ,弦 AB 和 CD 的距离为7,若 AB =2 4,则 CD 的长为   ( D ) A.10　    B.4   C.10或4   　    D.10或2   3.(2018湖北武汉)如图,在☉O中,点C在优弧 上,将 弧  折叠后 刚好经过AB的中点D.若☉O的半径为 ,AB=4,则BC的长 是( B )   A.2 　    B.3 　    C. 　    D.  二、填空题 4.如图,将半径为4 cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心 O ,则 折痕 AB 的长为      4       cm.   解析 　 连接 AO ,过 O 作 OD ⊥ AB ,交   于点 D ,交弦 AB 于点 E . ∵  折叠 后恰好经过圆心O, ∴OE=DE. ∵☉O的半径为4 cm, ∴OE=  OD = ×4=2 cm, 由OD⊥AB,知AB=2AE, 在Rt△AOE中, AE=  =  =2  cm, ∴AB=2AE=4  cm . 三 、解答题 5.如图,以△ ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其他两边 AC , BC 的交 点分别为 D , E ,且   =   . (1)试判断△ ABC 的形状,并说明理由; (2)已知半圆的半径为5, BC =12,求sin∠ ABD 的值. 解析　 (1)△ ABC 为等腰三角形.理由如下:连接 AE ,如图所示 .   ∵  的 长=  的 长,∴∠DAE=∠BAE,即AE平分∠BAC. ∵AB为直径,∴∠AEB=90°, ∴AE⊥BC,∴AB=AC, ∴△ABC为等腰三角形. (2)由(1)知△ABC为等腰三角形,AE⊥BC, ∴BE=CE= BC= ×12=6. 在Rt△ABE中, ∵AB=10,BE=6,∴AE=8. ∵AB为直径,∴∠ADB=90°, ∴AE·BC=BD·AC, ∴BD=  = 8×12÷10=9.6. 在Rt△ABD中,∵AB=10,BD=9.6,根据勾股定理得AD=  =  = 2.8, ∴sin∠ABD=  =  =  .