第四章 第二节.ppt

第二节　 三角形与全等三角形 知识点一 三角形的概念 1 ．三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接 所组成的图形叫做三角形．三角形有 3 条边、 3 个顶点和 3 个 内角．三角形具有稳定性． 2 ．三角形的分类 (1) 按角分： (2) 按边分： 知识点二 三角形的边、角关系 1 ．三角形的边的关系 (1) 三角形两边的和 _____ 第三边． (2) 三角形两边的差 _____ 第三边． 大于 小于 2 ．三角形的角的关系 (1) 三角形三个内角的和等于 ______ ；直角三角形的两个锐 角互余． (2) 三角形的外角和等于 ______ ． (3) 三角形的外角 _____ 与它不相邻的两个内角的和，三角 形的外角 _____ 任意一个和它不相邻的内角． 180° 360° 等于 大于 知识点三 三角形中的重要线段 1 ．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边 _____ 的线段，叫做这个三角形的中线．一个三角形有 3 条 中线，都在三角形的 _____ ． 2 ．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线 作垂线，顶点与垂足之间的 _____ 叫做三角形的高．一个三 角形有 3 条高，可能在三角形内部，也可能在三角形上，还 可能在三角形的外部． 中点 内部 线段 3 ．三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线 与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角 形的角平分线．一个三角形有 3 条角平分线，都在三角形的 内部． 4 ．三角形的中位线：连接三角形两边的中点的线段叫做三角 形的中位线．一个三角形有 3 条中位线，都在三角形的内部． 三角形的中位线 _____ 于第三边且等于第三边的 _____ ． 平行 一半 三角形的中线、高、角平分线、中位线都是线段，注意区 分三角形的角平分线与角的平分线的区别，前者是线段， 后者是射线． 知识点四 全等三角形 1 ．全等三角形的性质：全等三角形的 _______ 相等， _____ ___ 相等．全等三角形的对应线段 ( 高、中线、角平分线 ) 、周 长、面积分别对应 _____ ． 2 ．全等三角形的判定 (1) 一般三角形全等的条件： _____ ， _____ ， _____ ， ____ ． (2) 直角三角形全等的条件：除上述四种判别方法外，还有 ___ . 对应边 对应 角 相等 SSS ASA SAS AAS HL 证明三角形全等的一般思路如下： 考点一 三角形的三边关系 (5 年 0 考 ) 例 1 (2017· 张掖 ) 已知 a ， b ， c 是△ ABC 的三条边长，化简 |a ＋ b － c| － |c － a － b| 的结果为 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A ． 2a ＋ 2b － 2c B ． 2a ＋ 2b C ． 2c D ． 0 【 分析 】 先根据三角形的三边关系判断出 a ＋ b － c 与 c － a － b 的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可 . 【 自主解答 】 ∵a ， b ， c 为△ ABC 的三条边长， ∴ a ＋ b － c ＞ 0 ， c － a － b ＜ 0, ∴ 原式＝ a ＋ b － c ＋ (c － a － b) ＝ 0. 故选 D . 讲： 忽略三角形三边关系的条件 三条线段能够组成三角形，必须满足：任意两边之和 大于第三边，任意两边之差小于第三边．在解答此类问题 时，容易忽略三边是否满足组成三角形的条件． 练：链接变式训练 2 1 ． (2017· 扬州 ) 若一个三角形的两边长分别为 2 和 4 ，则该 三角形的周长可能是 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A ． 6 B ． 7 C ． 11 D ． 12 2 ．已知 2 是关于 x 的方程 x 2 － 2mx ＋ 3m ＝ 0 的一个根，而这个 方程的两个根恰好是等腰△ ABC 的两条边长，则△ ABC 的周 长是 _____ ． C 14 考点二 三角形内角和定理及其推论 (5 年 2 考 ) 例 2 (2013· 德州 ) 如图， AB∥CD ，点 E 在 BC 上，且 CD ＝ CE ， ∠ D ＝ 74° ，则∠ B 的度数为 ( ) A ． 68° B ． 32° C ． 22° D ． 16° 【 分析 】 根据 CD ＝ CE ，求出∠ DEC 的度数，利用三角形内 角和定理求出∠ C 的度数，再根据两直线平行，内错角相等 解答即可． 【 自主解答 】 ∵CD ＝ CE ，∴∠ D ＝∠ DEC. ∵∠D ＝ 74° ，∴∠ C ＝ 180° － 74°×2 ＝ 32°. ∵AB∥CD ，∴∠ B ＝∠ C ＝ 32°. 故选 B ． 三角形内角和定理及推论主要解决以下几种问题： (1) 已知 两个内角求第三个内角，根据三个角的大小判断三角形的 形状； (2) 三角形的一个外角和与其不相邻的两个内角中已 知二者求第三者； (3) 比较不同三角形中角的大小． 3 ． (2017· 南宁 ) 如图，△ ABC 中，∠ A ＝ 60° ，∠ B ＝ 40° ， 则∠ C 等于 ( ) A ． 100° B ． 80° C ． 60° D ． 40° 4 ． (2016· 丽水 ) 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝ 63° ，直线 MN∥BC ，且分别与 AB ， AC 相交于点 D ， E. 若∠ AEN ＝ 133° ， 则∠ B 的度数为 _____ ． B 70° 考点三 三角形中的重要线段 (5 年 1 考 ) 例 3 (2017· 遵义 ) 如图，△ ABC 的面积是 12 ，点 D ， E ， F ， G 分别是 BC ， AD ， BE ， CE 的中点，则△ AFG 的面积是 ( ) A ． 4.5 B ． 5 C ． 5.5 D ． 6 【 分析 】 利用中线的性质，分别求出△ AEF ，△ AEG 的面 积，利用三角形中位线的性质求出△ EFG 的面积，进而得到 △ AFG 的面积． 【 自主解答 】 ∵ 点 D ， E ， F ， G 分别是 BC ， AD ， BE ， CE 的 中点， ∴ AD ， BE ， CE ， AF ， AG 分别是△ ABC ，△ ABD ，△ ACD ， △ ABE ，△ ACE 的中线， ∴S △AEF ＝ 同理可得 S △AEG ＝ ∵S △BCE ＝ S △ABC ＝ 6 ，且 FG 是△ BCE 的中位线， ∴ S △EFG ＝ 故选 A . 三角形的中位线定理中，既涉及位置关系 —— 平行，又涉 及数量关系 —— 倍分．当图形中出现多个线段中点时，往 往连接两个中点构建三角形的中位线． 5 ． (2017· 宁津一模 ) 小明在计算三角形面积时需要作出最 长边的垂线段，下列作法正确的是 ( ) 6 ．如图，在△ ABC 中， AB ＝ 6 ， AC ＝ 10 ，点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， AC 的中点，则四边形 ADEF 的周长为 ( ) A ． 8 B ． 10 C ． 12 D ． 16 C D 7 ．如图，已知△ ABC 的周长为 27 cm ， AC ＝ 9 cm ， BC 边上中 线 AD ＝ 6 cm ，△ ABD 的周长为 19 cm ，则 AB ＝ _______ ． 8 cm 考点四 全等三角形的性质与判定 (5 年 5 考 ) 例 4 (2014· 德州 ) 问题背景： 如图 1 ，在四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ，∠ BAD ＝ 120° ，∠ B ＝ ∠ ADC ＝ 90° ， E ， F 分别是 BC ， CD 上的点，且∠ EAF ＝ 60°. 探究图中线段 BE ， EF ， FD 之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G ，使 DG ＝ BE ， 连接 AG ，先证明△ ABE≌△ADG ，再证明△ AEF≌△AGF ，可 得出结论．他的结论应是 ； 探索延伸： 如图 2 ，若在四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ，∠ B ＋∠ D ＝ 180° ， E ， F 分别是 BC ， CD 上的点，且∠ EAF ＝ ∠ BAD ，上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用： 如图 3 ，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心 (O 处 ) 北偏 西 30° 的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70° 的 B 处，并且 两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲 向正东方向以 60 海里 / 小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50° 的方向以 80 海里 / 小时的速度前进 .1.5 小时后，指挥中 心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E ， F 处，且两舰艇之间的 夹角为 70° ，试求此时两舰艇之间的距离． 【 分析 】 探索延伸：首先延长 FD 到 G ，使 DG ＝ BE ，连接 AG ， 利用“边角边”证明△ ABE 和△ ADG 全等，可得 AE ＝ AG ，∠ BAE ＝∠ DAG ，再求出∠ EAF ＝∠ GAF ，然后利用“边角边”证明 △ AEF 和△ GAF 全等，可得 EF ＝ GF ，然后求解即可； 实际应用：先判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸 的结论解答即可． 【 自主解答 】 问题背景： EF ＝ BE ＋ DF 探索延伸： EF ＝ BE ＋ DF 仍然成立． 证明如下：如图，延长 FD 到 G ，使 DG ＝ BE ，连接 AG. ∵∠B ＋∠ ADC ＝ 180° ，∠ ADC ＋∠ ADG ＝ 180° ， ∴∠ B ＝∠ ADG. 在△ ABE 和△ ADG 中， ∴△ABE≌△ADG( SAS ) ，∴ AE ＝ AG ，∠ BAE ＝∠ DAG. ∵∠EAF ＝ ∠ BAD ，∴∠ GAF ＝∠ DAG ＋∠ DAF ＝∠ BAE ＋ ∠ DAF ＝∠ BAD －∠ EAF ＝∠ EAF ， ∴∠ EAF ＝∠ GAF. 在△ AEF 和△ GAF 中， ∴△AEF≌△GAF( SAS ) ，∴ EF ＝ FG. ∵FG ＝ DG ＋ DF ＝ BE ＋ DF ，∴ EF ＝ BE ＋ DF. 实际应用：如图，连接 EF ，延长 AE ， BF 相交于点 C ， ∵∠AOB ＝ 30° ＋ 90° ＋ (90° － 70°) ＝ 140° ，∠ EOF ＝ 70° ， ∴∠ EOF ＝ ∠ AOB ． 又∵ OA ＝ OB ，∠ OAC ＋∠ OBC ＝ (90° － 30°) ＋ (70° ＋ 50°) ＝ 180° ， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论 EF ＝ AE ＋ BF 成立， 即 EF ＝ 1.5×(60 ＋ 80) ＝ 210( 海里 ) ． 答：此时两舰艇之间的距离是 210 海里． 讲： 应用全等三角形性质与判定的误区 在解答与全等三角形的判定与性质有关的问题时，注 意以下两点： (1) 在判定两个三角形全等或应用其性质时， 要找对对应边、对应角； (2) 当两个三角形具备“ SSA ” 条 件时，两个三角形不一定全等． 练：链接变式训练 8 8 ．如图，点 D ， E 分别在线段 AB ， AC 上， CD 与 BE 相交于 O 点， 已知 AB ＝ AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ ABE≌△ACD( ) A ．∠ B ＝∠ C B ． AD ＝ AE C ． BD ＝ CE D ． BE ＝ CD D 9 ． (2017· 齐齐哈尔 ) 如图，在△ ABC 中， AD⊥BC 于 D ， BD ＝ AD ， DG ＝ DC ， E ， F 分别是 BG ， AC 的中点． (1) 求证： DE ＝ DF ， DE⊥DF ； (2) 连接 EF ，若 AC ＝ 10 ，求 EF 的长． (1) 证明：∵ AD⊥BC ，∴∠ ADB ＝∠ ADC ＝ 90°. 在△ BDG 和△ ADC 中， ∴△ BDG≌△ADC ，∴ BG ＝ AC ，∠ BGD ＝∠ C. ∵∠ADB ＝∠ ADC ＝ 90° ， E ， F 分别是 BG ， AC 的中点， ∴ DE ＝ BG ＝ EG ， DF ＝ AC ＝ AF ， ∴DE ＝ DF ，∠ EDG ＝∠ EGD ，∠ FDA ＝∠ FAD ， ∴∠ EDG ＋∠ FDA ＝ 90° ，∴ DE⊥DF. (2) 解：∵ AC ＝ 10 ，∴ DE ＝ DF ＝ 5 ， 由勾股定理得 EF ＝