2018秋人教B版数学选修2-1课件2.1　曲线与方程 .ppt

2 . 1 　 曲线与方程 1 . 了解曲线与方程的对应关系 . 2 . 了解两条曲线交点的求法 . 3 . 了解用坐标法研究几何性质 . 4 . 掌握求曲线的方程和由方程研究曲线的性质 . 　 1 . 点的轨迹方程 一般地 , 一条曲线可以看成 动点依某种条件运动 的轨迹 , 所以曲线的方程又常称为 满足某种条件 的点的轨迹方程 . 【做一做 1 】 到 A (2, - 3) 和 B (4, - 1) 的距离相等的点的轨迹方程是 ( 　　 ) A. x-y- 1 = 0 　 B. x-y+ 1 = 0 C. x+y- 1 = 0 D. x+y+ 1 = 0 答案 : C 2 . 曲线的方程与方程的曲线的定义 (1) 在平面直角坐标系中 , 如果曲线 C 与方程 F ( x , y ) = 0 之间具有如下关系 : ① 曲线 C 上点的坐标都是方程 F ( x , y ) = 0 的解 ; ② 以方程 F ( x , y ) = 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 . 那么 , 曲线 C 叫做方程 F ( x , y ) = 0 的曲线 , 方程 F ( x , y ) = 0 叫做曲线 C 的方程 . 名师点拨 在曲线的方程的定义中 , 曲线上的点与方程的解之间的关系 ① 和 ② 缺一不可 , 而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的 . 从集合的角度来看 , 设 A 是曲线 C 上的所有点组成的点集 , B 是所有以方程 F ( x , y ) = 0 的实数解为坐标的点组成的点集 , 则由关系 ① 可知 A ⊆ B , 由关系 ② 可知 B ⊆ A ; 若同时具有关系 ① 和 ② , 就有 A=B. (2) 曲线 C 用集合的特征性质描述法 , 可以描述为 C= { M ( x , y ) |F ( x , y ) = 0} . 1 . 对曲线与方程的定义的进一步理解 剖析 : (1) 定义中的第 ① 条 “ 曲线 C 上点的坐标都是方程 F ( x , y ) = 0 的解 ”, 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点 , 也就是说曲线上的所有点都符合这个条件并且毫无例外 ( 纯粹性 ) . (2) 定义中的第 ② 条 “ 以方程 F ( x , y ) = 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 ”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上并且毫无遗漏 ( 完备性 ) . (3) 定义的实质是平面曲线的点集 { M|p ( M )} 和方程 F ( x , y ) = 0 的解集 {( x , y ) |F ( x , y ) = 0} 之间的一一对应关系 , 由曲线和方程的这一对应关系 , 既可以通过方程研究曲线的性质 , 又可以由曲线求它的方程 . 2 . 曲线方程的求法 剖析 : (1) 建立适当的平面直角坐标系 , 用有序实数对 ( x , y ) 表示曲线上任意一点 M 的坐标 ; (2) 写出适合条件 p 的点 M 的集合 P= { M|p ( M )}; (3) 用坐标表示条件 p ( M ), 列出方程 F ( x , y ) = 0; (4) 化方程 F ( x , y ) = 0 为最简形式 ; (5) 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 . 一般地 , 化简前后方程的解集是相同的 , 步骤 (5) 可以省略不写 , 如有特殊情况 , 可以适当说明 . 另外 , 也可以根据情况省略步骤 (2), 直接列出曲线方程 . 题型一 题型二 曲线与方程的概念 【例 1 】 若曲线 C 上的点的坐标满足方程 F ( x , y ) = 0, 则下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 曲线 C 的方程是 F ( x , y ) = 0 B. 方程 F ( x , y ) = 0 的曲线是 C C. 坐标不满足方程 F ( x , y ) = 0 的点都不在曲线 C 上 D. 坐标满足方程 F ( x , y ) = 0 的点都在曲线 C 上 解析 : 方法一 : 上述说法写成命题的形式为 “ 若点 M ( x , y ) 是曲线 C 上的点 , 则点 M 的坐标适合方程 F ( x , y ) = 0” . 其逆否命题为 “ 若点 M 的坐标不适合方程 F ( x , y ) = 0, 则点 M 不在曲线 C 上 ” . 故选 C . 方法二 : 本题亦可考虑特殊值法 , 作直线 l : y= 1 . 考查 l 与 F ( x , y ) =y 2 - 1 = 0 的关系 , 知选项 A,B,D 三种说法均不正确 . 故选 C . 答案 : C 题型一 题型二 反思 1 . 判定曲线与方程的对应关系有两种方法 : 等价转换和特值讨论 . 它们使用的依据是曲线的纯粹性和完备性 . 2 . 处理 “ 曲线与方程 ” 的概念题 , 可采用直接法 , 也可采用特值法 . 题型一 题型二 曲线方程的求法 【例 2 】 已知 △ ABC , A ( - 2,0), B (0, - 2), 第三个顶点 C 在曲线 y= 3 x 2 - 1 上移动 , 求 △ ABC 的重心 G 的轨迹方程 . 分析 : 先写出 C 与 G 之间的坐标关系 , 再用 G 的坐标表示 C 的坐标 , 然后代入 C 的坐标所满足的关系式中 , 化简整理即得所求轨迹方程 . 解 : 设 △ ABC 的重心坐标为 G ( x , y ), 顶点 C 的坐标为 ( x 1 , y 1 ), 题型一 题型二 题型一 题型二 反思 求曲线的方程的关键是找到曲线上动点的运动规律 , 并利用坐标把这种规律翻译成代数方程 . 1 2 3 4 5 1. 方程 x 2 +xy=x 表示的图形是 ( 　　 ) A. 一个点 B. 一条直线 C. 两条直线 D. 一个点和一条直线 解析 : x 2 +xy=x 可化为 x ( x+y ) =x , 即 x ( x+y- 1) = 0, 即 x= 0 或 x+y- 1 = 0 . 答案 : C 1 2 3 4 5 答案 : B 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4. 若点 P (2, - 3) 在曲线 x 2 -ay 2 = 1 上 , 则 a= 　　　　 .   1 2 3 4 5