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第三单元 函数及其图象 第 12 课时 一次函数 知识体系图 要点梳理 一次函数 一次函数的定义 一次函数的图象和性质 一次函数解析式的确定 用函数观点看方程（组）不等式 3.2.1 正比例函数的定义与图象 1. 定义：一般地，形如 y = kx （ k 是常数， k ≠0 ）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数 . 2. 图象：正比例函数 y = kx （ k 是常数， k ≠0 ）的图象是一条经过原点（ 0,0 ）和点（ 1 ， k ）的直线，我们称它为直线 y = kx ；当 k ＞ 0 时，直线 y = kx 经过第一、三象限， y 随 x 增大而增大，当 k ＜ 0 时，直线 y = kx 经过第二、四象限， y 随着 x 的增大而减小 . 要点梳理 3.2.2 一次函数的定义 如果 y = kx + b （ k 、 b 为常数，且 k ≠0 ），那么 y 叫做 x 的一次函数 . 一次函数的标准形式为 y = kx + b ，是关于 x 的一次二项式，其中一次项系数 k 必须是不为零的常数， b 可以为任意常数 . 当 b =0 而 k ≠0 时，它是正比例函数，由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况 . 当 k =0 而 b ≠0 时，它不是一次函数 . 要点梳理 3.2.3 一次函数的图象与性质 1. 一次函数 y = kx + b （ k ≠0 ）的图象是一条直线，通常也称直线 y = kx + b ，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，通常取图象与坐标轴的两个交点 就行了 . 要点梳理 2. 一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0) 的图象所经过的象限及增减性． 要点梳理 3.2.4 待定系数法求一次函数的解析式 一般步骤： (1) 设：设出一次函数解析式的一般形式 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0) ； (2) 代：将 x ， y 的对应值代入解析式 y ＝ kx ＋ b 中，得到含有待定系数的方程或方程组； (3) 求：求出待定系数 k 、 b 的值； (4) 写：将所求待定系数的值代入所设的函数解析式中． 要点梳理 3.2.5 用函数观点看方程（组）与不等式 1. 一次函数与方程 ( 组 ) 的关系 (1) 一次函数的解析式 y ＝ kx ＋ b 就是一个二元一次方程； (2) 一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象与 x 轴交点的坐标就是方程 kx ＋ b ＝ 0 的解； (3) 一次函数 y = k 1 x + b 1 与 y = k 2 x + b 2 的图象交点的横、纵坐标值就是方程组 的解 . 要点梳理 2. 一次函数与不等式的关系 (1) 函数 y ＝ kx ＋ b 的函数值 y 大于 0 时，自变量 x 的取值范围就是不等式 kx ＋ b ＞ 0 的解集，即函数图象位于 x 轴的上方； (2) 函数 y ＝ kx ＋ b 的函数值 y 小于 0 时，自变量 x 的取值范围就是不等式 kx ＋ b ＜ 0 的解集，即函数图象位于 x 轴的下方． 要点梳理 有关正比例函数的两个区别 1. 正比例函数和一次函数的区别 正比例函数是一次函数的特殊情况，一次函数包括正比例函数．也就是说：如果一个函数是正比例函数，那么一定是一次函数，但是，一个函数是一次函数，不一定是正比例函数． 2. 正比例和正比例函数的区别 成正比例的两个量之间的函数关系不一定是正比例函数，但正比例函数的两个量一定成正比例． 学法指导 【例 1 】（ 2015 年上海） 下列 y 关于 x 的函数中，是正比例函数的为 （ C ） 【解析】 此题考查了二次函数，反比例函数，正比例函数以及一次函数的定义，较为简单 . 不难看出， A 选项为二次函数， B 选项为反比例函数， C 选项为正比例函数， D 选项为一次函数 . 故选择 C 选项 . 经典考题 【例 2 】（ 2016 年邵阳） 一次函数 y =- x +2 的图象不经过的象限是 （ C ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【解析】 此题考查了一次函数的图象与性质， ∵ k =1 ＜ 0∴ 该图象必过二、四象限，又 ∵ b =2 ＞ 0 ， ∴ 该图象过第一象限，故 C 选项符合题意 . 经典考题 【例 3 】（ 2016 年无锡） 一次函数 与 的图象之间距离 等于 3 ，则 b 的值为 （ D ） A.-2 或 4 B.2 或 -4 C.4 或 -6 D.-4 或 6 【解析】 将一次函数 变形为 变形为 两平行线间的距离为： 解得： b =-4 或 b =6. 故选择 D 选项 . 此题考查了一次函数的性质，以及含绝对值符号的一元一次方程 . . 经典考题 【例 4 】（ 2016 年江西） 如图，过点A(2,0)的两条直线 l 1 ， l 2 分别交轴 y 于B，C， 其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB= . (1)求点B的坐标； (2)若∆ABC的面积为4，求 l 2 的解析式 . 解： （ 1 ）在 Rt ∆ AOB 中， AB 2 =OA 2 +OB 2 ，即： . 解得 OB=3 ， ∵ 点 B 在 y 轴上，且在原点上方， ∴B 点坐标为（ 0,3 ） . （ 2 ） S ∆ ABC = BC·OA= ×2 × BC=4. ∵B(0,3)∴C （ 0,-1 ） 经典考题 设 l 2 ： y = kx + b ，把点 A(2,0) ，点 C(0,-1) 代入，得： ∴ ∴l2 的解析式为： 【解析】 此题考查了一次函数的图象，以及用待定系数法求一次函数解析式的方法 . 经典考题