第
6
讲 对数与对数函数
知
识
梳
理
1.
对数的概念
如果
a
x
＝
N
(
a
>0
，且
a
≠
1)
，那么
x
叫做以
a
为底
N
的对数，记作
__________
，其中
a
叫做对数的底数，
N
叫做真数
.
2.
对数的性质、换底公式与运算性质
(1)
对数的性质：
①
a
log
a
N
＝
___
；
②
log
a
a
b
＝
b
(
a
>0
，且
a
≠
1)
(2)
对数的运算法则
如果
a
>0
且
a
≠
1
，
M
>0
，
N
>0
，那么
x
＝
log
a
N
N
①
log
a
(
MN
)
＝
_____________
；
②
log
a
＝
____________
；
③
log
a
M
n
＝
_________
(
n
∈
R
)
；
④
log
a
m
M
n
＝
log
a
M
(
m
，
n
∈
R
，且
m
≠
0).
(3)
对数的重要公式
①
换底公式
：
l
og
b
N
＝
________
(
a
，
b
均大于零且不等于
1)
；
②
log
a
b
＝
，推广
log
a
b
·
log
b
c
·
log
c
d
＝
_______
.
log
a
M
＋
log
a
N
log
a
M
－
log
a
N
n
log
a
Ma
log
a
d
3.
对数函数及其性质
(1)
概念：函数
y
＝
log
a
x
(
a
>0
，且
a
≠
1)
叫做对数函数，其中
x
是自变量，函数的定义域是
(0
，＋
∞
).
(2)
对数函数的图象与性质
a
>1
0<
a
1
时
，
_____
；
当
0<
x
1
时
，
_____
；
当
0<
x
0
y
0
，且
a
≠
1)
与对数函数
____________
(
a
>0
，且
a
≠
1)
互为反函数，它们的图象关于直线
______
对称
.
y
＝
log
a
x
y
＝
x
诊
断
自
测
解析
(1)log
2
x
2
＝
2log
2
|
x
|
，
故
(1)
错
.
(2)
形如
y
＝
log
a
x
(
a
＞
0
，
且
a
≠
1)
为对数函数
，
故
(2)
错
.
(4)
当
x
＞
1
时
，
log
a
x
＞
log
b
x
，
但
a
与
b
的大小不确定
，
故
(4)
错
.
答案
(1)
×
(2)
×
(3)
√
(4)
×
2.
已知函数
y
＝
log
a
(
x
＋
c
)(
a
，
c
为常数，其中
a
>0
，且
a
≠
1)
的图象如图，则下列结论成立的是
(
)
A.
a
>1
，
c
>1 B.
a
>1
，
0<
c
1
，
则
y
＝
log
a
x
在
(0
，
＋
∞
)
上是增函数
，
又函数
y
＝
log
a
|
x
|
的图象关于
y
轴对称
.
因此
y
＝
log
a
|
x
|
的图象应大致为选项
B.
(2)
如图
，
在同一坐标系中分别作出
y
＝
f
(
x
)
与
y
＝－
x
＋
a
的图象
，
其中
a
表示直线在
y
轴上截距
.
由图可知
，
当
a
>1
时
，
直线
y
＝－
x
＋
a
与
y
＝
log
2
x
只有一个交点
.
答案
(1)B
(2)
a
>1
规律方法
(1)
在识别函数图象时
，
要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点
(
与坐标轴的交点、最高点、最低点等
)
排除不符合要求的选项
.
(2)
一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题
，利用数形结合法求解
.
【训练
2
】
(1)
函数
y
＝
2log
4
(1
－
x
)
的图象大致是
(
)
解析
(1)
函数
y
＝
2log
4
(1
－
x
)
的定义域为
(
－
∞
，
1)
，
排除
A
、
B
；
又函数
y
＝
2log
4
(1
－
x
)
在定义域内单调递减
，
排除
D.
答案
(1)C
(2)B
考点三 对数函数的性质及应用
(
多维探究
)
命题角度一 比较对数值的大小
【例
3
－
1
】
(2016·
全国
Ⅰ
卷
)
若
a
>
b
>0
，
0<
c
c
>
b
B.
b
>
c
>
a
C.
c
>
b
>
a
D.
c
>
a
>
b
(2)
已知函数
f
(
x
)
＝
log
a
(8
－
ax
)(
a
>0
，且
a
≠
1)
，若
f
(
x
)>1
在区间
[1
，
2]
上恒成立，则实数
a
的取值范围是
________.
[
思想方法
]
1.
对数值取正、负值的规律
当
a
>1
且
b
>1
或
0<
a
1
且
0<
b
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