24.3
正多边形和圆
第二十四章 圆
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.
了解正多边形和圆的有关概念
.
2.
理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系
. (
重点
)
3.
会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题
.
（难点）
学习目标
问题：
观看大屏幕上这些美丽的图案
,
都是在日常生活中我们经常能看到的
.
你能从这些图案中找出
类似的图形
吗
?
导入新课
观察与思考
问题
1
什么叫做正多边形？
各边相等
,
各角也相等的多边形叫做正多边形
.
问题
2
矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
注意
正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
讲授新课
正多边形的对称性
一
问题
3
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
正
n
边形都是轴对称图形，都有
n
条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形
.
什么叫做正多边形？
问题
1
问题
3
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
归纳
正多边形的性质
二
互动探究
O
A
B
C
D
问题
1
以正四边形为例
,
根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
E
F
G
H
EF
是边
AB
、
CD
的垂直平分线，
∴
OA=OB
，
OD=OC.
GH
是边
AD
、
BC
的垂直平分线，
∴
OA=OD
；
OB=OC.
∴
OA=OB=OC=OD.
∴
正方形
ABCD
有一个以点
O
为圆心的外接圆
.
O
A
B
C
D
E
F
G
H
AC
是
∠
DAB
及
∠
DCB
的角平分线，
BD
是
∠
ABC
及
∠
ADC
的角平分线，
∴
OE=OH=OF=OG.
∴
正方形
ABCD
还有一个以点
O
为圆心的内切圆
.
所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆
.
想一想
O
A
B
C
D
E
F
G
H
R
r
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的
中心
.
外接圆的半径叫作正多边形的
半径
.
内切圆的半径叫作正多边形的
边心距
.
知识要点
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的
中心角
.
正多边形的每个中心角都等于
问题
1
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径
R
边心距
r
中心
正多边
形边数
内角
中心角
外角
3
4
6
n
60
°
120
°
120
°
90
°
90
°
90
°
120
°
60
°
60
°
正多边形的外角
=
中心角
练一练
完成下面的表格：
如图
，
已知半径为
4
的圆内接正六边形
ABCDEF
：
①
它的中心角等于
度 ；
②
OC
BC
(
填＞、＜或＝）；
③△
OBC
是
三角形
；
④
圆内接正六边形的面积是
△
OBC
面积的
倍
.
⑤
圆内接正
n
边形面积公式
:_______________________.
C
D
O
B
E
F
A
P
60
=
等边
6
正多边形的有关计算
三
探究归纳
例
1
：
有一个亭子
,
它的地基是半径为
4
m
的正六边形
,
求地基的
周长和面积
(
精确到
0.1 m
2
).
C
D
O
E
F
A
P
抽象成
典例精析
利用勾股定理
,
可得边心距
亭子地基的面积
在
Rt
△
OMB
中
,
OB
＝
4,
MB
＝
4
m
O
A
B
C
D
E
F
M
r
解：
过点
O
作
OM
⊥
BC
于
M.
想一想
问题
1
正
n
边形的中心角怎么计算？
C
D
O
B
E
F
A
P
问题
2
正
n
边形的边长
a
，半径
R
，边心距
r
之间有什么关系？
a
R
r
问题
3
边长
a
，边心距
r
的
正
n
边形的面积如何计算？
其中
l
为正
n
边形的周长
.
如图所示，正五边形
ABCDE
内接于⊙
O
，则∠
ADE
的度数是 （ ）
A
．
60° B
．
45° C
．
36°
D
．
30°
·
A
B
C
D
E
O
练一练
C
2.
作边心距，构造直角三角形
.
1.
连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形的辅助线
方法归纳
O
边心距
r
边长一半
半径
R
C
M
中心角一半
当堂练习
正多边形边数
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
1
6
1.
填表
2
1
2
8
4
2
2
12
2.
若正多边形的边心距与
半径
的比为
1:2
，
则这个多边形的边数是
.
3
4.
要用圆形铁片截出边长为
4cm
的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要
____
cm.
也就是要找这个正方形外接圆的直径
3.
如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为
___
度
.
（不取近似值）
5.
如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
解：∵正方形的面积等于4，
则半径为
∴⊙O的面积为
∴正方形的边长AB=2
.
A
B
C
D
E
F
P
6.
如图，正六边形ABCDEF的边长为 ，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？
∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．
解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G
.
G
H
K
∴
P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长
.
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK
.
∵CG⊥BD，
∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=
6.
拓广探索
如图
,
M,N
分别是
☉
O
内接正多边形
AB,BC
上的点
,
且
BM=CN
.
(1)
求图①中∠
MON=_______
;
图②中∠
MON
=
;
图③中∠
MON
=
;
(2)
试探究∠
MON
的度数与正
n
边形的边数
n
的关系
.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
.
A
B
C
M
N
M
N
M
N
O
O
O
90 °
72 °
120 °
图①
图②
图③
课堂小结
正多边形的性质
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正多边形的对称性
见
《
学练优
》
本课时练习
课后作业
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