北师大版九年级下数学《2.5.1二次函数与一元二次方程》课件.pptx

2.5 二次函数与一元二次方程 第二章 二次函数 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 1 课时 二次函数与一元二次方程 学习目标 1. 通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联 系 .( 难点） 2. 能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解 . （重点） 导入新课 情境引入 问题 如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 h （单位： m ）与飞行时间 t （单位： s ）之间具有关系： h =20 t -5 t 2 ， 你能否解决以下问题： （ 1 ） 球的飞行高度能否达到 15m ？如果能，需要多少飞行时间？ （ 2 ） 球从飞出到落地要用多少时间？ 现在不能解决也不要紧，学完本课，你就会清楚了！ 二次函数与一元二次方程的关系 一 思考 观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （ 1 ） y = x 2 + x -2 ； （ 2 ） y = x 2 -6 x +9 ； （ 3 ） y=x 2 - x +1. 讲授新课 1 x y O y = x 2 － 6 x ＋ 9 y = x 2 － x ＋ 1 y = x 2 ＋ x － 2 观察图象，完成下表： 抛物线与 x 轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x 2 － x ＋ 1 y = x 2 － 6 x ＋ 9 y = x 2 ＋ x － 2 0 个 1 个 2 个 x 2 - x +1=0 无解 3 x 2 -6 x +9=0 ， x 1 = x 2 =3 -2, 1 x 2 + x -2=0 ， x 1 =-2, x 2 =1 知识要点 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交点 一元二次方程 ax 2 + bx +c=0 的根 b 2 -4 ac 有两个交点 有两个不相等的实数根，为交点的横坐标 b 2 - 4 ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 ，为交点的横坐标 b 2 - 4 ac = 0 没有交点 没有实数根 b 2 - 4 ac < 0 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 根的关系 例 1 已知关于 x 的二次函数 y ＝ mx 2 － ( m ＋ 2) x ＋ 2( m ≠0) ． (1) 求证：此抛物线与 x 轴总有交点； (2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值． (1) 证明： ∵ m ≠0 ， ∴ Δ ＝ ( m ＋ 2) 2 － 4 m ×2 ＝ m 2 ＋ 4 m ＋ 4 － 8 m ＝ ( m － 2) 2 . ∵( m － 2) 2 ≥0 ， ∴ Δ ≥0 ， ∴ 此抛物线与 x 轴总有交点； 典例精析 (2) 解：令 y ＝ 0 ，则 ( x － 1)( mx － 2) ＝ 0 ， 所以 x － 1 ＝ 0 或 mx － 2 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ . 当 m 为正整数 1 时， x 2 为整数且 x 1 ≠ x 2 ，即抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数 m 的值为 1. 例 1 已知关于 x 的二次函数 y ＝ mx 2 － ( m ＋ 2) x ＋ 2( m ≠0) ． (1) 求证：此抛物线与 x 轴总有交点； (2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值． 变式： 已知：抛物线 y ＝ x 2 ＋ ax ＋ a － 2. (1) 求证：不论 a 取何值时，抛物线 y ＝ x 2 ＋ ax ＋ a － 2 与 x 轴都有两个不同的交点； (2) 设这个二次函数的图象与 x 轴相交于 A ( x 1 ， 0) ， B ( x 2 ， 0) ，且 x 1 、 x 2 的平方和为 3 ，求 a 的值． (1) 证明： ∵Δ ＝ a 2 － 4( a － 2) ＝ ( a － 2) 2 ＋ 4 ＞ 0 ， ∴ 不论 a 取何值时，抛物线 y ＝ x 2 ＋ ax ＋ a － 2 与 x 轴都有两个不同的交点； (2) 解： ∵ x 1 ＋ x 2 ＝－ a ， x 1 · x 2 ＝ a － 2 ， ∴ x 1 2 ＋ x 2 2 ＝ ( x 1 ＋ x 2 ) 2 － 2 x 1 · x 2 ＝ a 2 － 2 a ＋ 4 ＝ 3 ， ∴ a ＝ 1. 运动中的抛物线问题 二 例 2 如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 h （单位： m ）与飞行时间 t （单位： s ）之间具有关系： h =20 t -5 t 2 ， 你能否解决以下问题： 典例精析 （ 1 ） 球的飞行高度能否达到 15m ？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 15 1 3 ∴ 当球飞行 1s 或 3s 时，它的高度为 15m . 解 ：解方程 15=20t-5t 2 , t 2 -4 t +3=0, t 1 =1, t 2 =3. 你能结合上图，指出为什么在两个时间球的高度为 15m 吗？ h =20 t -5 t 2 （ 2 ） 球的飞行高度能否达到 20m ？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为 20m 吗 ？ O h t 20 4 解方程： 20=20 t -5 t 2 , t 2 -4 t +4=0, t 1 = t 2 =2. 当球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m . h =20 t -5 t 2 （ 3 ） 球的飞行高度能否达到 20.5m ？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 你能结合图形指出为什么球不能达到 20.5m 的高度 ? 20.5 解方程： 20.5=20t-5t 2 , t 2 -4t+4.1=0, 因为 (-4) 2 -4 ×4.1