第三章 第二节.ppt

第二节　一次函数 知识点一 一次函数和正比例函数的概念 1 ．一次函数：若两个变量 x ， y 间的对应关系可以表示成 y ＝ kx ＋ b(k ， b 为常数， k≠0) 的形式，则称 y 是 x 的一次 函数．其结构特征：① k_____ ；② x 的次数是 ____ ；③常数 项 b 可为任意实数． ≠0 1 2 ．当 b ＝ __ 时， y ＝ kx(k≠0) 为正比例函数，正比例函数 是一种特殊的一次函数． 0 正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例 函数． 知识点二 一次函数的图象与性质 函数名称 正比例函数 一次函数 表达式 y ＝ kx(k≠0) y ＝ kx ＋ b(k ， b 为常数， k≠0) 图象形状 及特点 过原点的一条直线 过点 (0 ， b) 且平行于 y ＝ kx 的一条直线 作图方法 过点 (0 ， 0) ， (1 ， k) 作直线 过点 (0 ， b) ， ( －， 0) 作直线 图象、 性质 K ＞ 0 时，图 象经过一、 三象限， y 随 x 的增大而 ______ k>0 时，图 象恒过一、 三象限， y 随 x 的增大 而 _____ b>0 时，图 象过 _________ 象限 b0 ， b － 1 B ． x>1 C ． x> － 2 D ． x>2 A 考点四 一次函数的综合 (5 年 1 考 ) 例 5 (2013· 济南 ) 如图，点 A 的坐标是 ( － 2 ， 0) ，点 B 的坐标是 (6 ， 0) ，点 C 在第一象限内且△ OBC 为等边三角形，直线 BC 交 y 轴于点 D ，过点 A 作直线 AE⊥BD ，垂足为 E ，交 OC 于点 F. (1) 求直线 BD 的函数表达式； (2) 求线段 OF 的长； (3) 连接 BF ， OE ，试判断线段 BF 和 OE 的 数量关系，并说明理由． 【 分析 】 (1) 在 Rt △OBD 中，求出 OD ， 得出点 D 的坐标，利用待定系数法求出 直线 BD 的表达式即可； (2) 分别求出∠ BAE 和∠ AFO 的度数，即可得出 OF ； (3) 在 Rt △ABE 中，先求出 BE ，再证明△ COE≌△OBF ， 可得 BF 和 OE 的数量关系． 【 自主解答 】 (1)∵△OBC 是等边三角形， ∴∠ OBC ＝ 60° ， OC ＝ BC ＝ OB. ∵ 点 B 的坐标为 (6 ， 0) ，∴ OB ＝ 6. 在 Rt △OBD 中，∵∠ OBC ＝ 60° ， OB ＝ 6 ， ∴∠ ODB ＝ 30° ， BD ＝ 12 ， ∴ OD ＝ ＝ 6 ， ∴点 D 的坐标为 (0 ， 6 ) ． 设直线 BD 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ， 则 解得 ∴直线 BD 的函数表达式为 y ＝－ x ＋ 6 . (2)∵∠OCB ＝ 60° ，∠ CEF ＝ 90° ， ∴∠ CFE ＝ 30° ，∠ AFO ＝ 30°. 又∵∠ OBC ＝ 60° ，∠ AEB ＝ 90° ， ∴∠ BAE ＝ 30° ，∴∠ BAE ＝∠ AFO ， ∴ OF ＝ OA ＝ 2. (3) 如图，连接 BF ， OE, ∵A( － 2 ， 0) ， B(6 ， 0) ，∴ AB ＝ 8. 在 Rt △ABE 中，∵∠ ABE ＝ 60° ，∠ AB ＝ 8 ， ∴ BE ＝ AB ＝ 4 ，∴ CE ＝ BC － BE ＝ 2 ， ∴ OF ＝ CE ＝ 2. 在△ COE 和△ OBF 中， ∴△ COE≌△OBF ，∴ OE ＝ BF. 9 ．如图，在平面直角坐标中，四边形 OABC 的边 OC ， OA 分别 在 x 轴、 y 轴上， AB∥OC ，∠ AOC ＝ 90° ，∠ BCO ＝ 45° ， BC ＝ 12 ，点 C 的坐标为 ( － 18 ， 0) ． (1) 求点 B 的坐标； (2) 若直线 DE 交 BO 于点 D ，交 y 轴于点 E ， 且 OE ＝ 4 ， OD ＝ 2BD ，求直线 DE 的表达式． 解： (1) 如图，过点 B 作 BF⊥x 轴于点 F ， 在 Rt △BCF 中，∵∠ BCO ＝ 45° ， BC ＝ 12 ， ∴ CF ＝ BF ＝ 12. ∵ 点 C 的坐标为 ( － 18 ， 0) ， ∴ AB ＝ OF ＝ 18 － 12 ＝ 6 ， ∴点 B 的坐标为 ( － 6 ， 12) ． (2) 如图，过点 D 作 DG⊥y 轴于点 G ， ∵ AB∥DG ，∴△ ODG∽△OBA ， ∴ ＝ ＝ ＝ . ∵AB ＝ 6 ， OA ＝ 12 ，∴ DG ＝ 4 ， OG ＝ 8 ， ∴ D( － 4 ， 8) ， E(0 ， 4) ． 设直线 DE 的表达式为 y ＝ kx ＋ b(k≠0) ， 将 D( － 4 ， 8) ， E(0 ， 4) 代入， 得 解 得 ∴直线 DE 的表达式为 y ＝－ x ＋ 4.