2018年德州市中考数学一轮复习课件专题四：几何变换压轴题.ppt

专题四　几何变换压轴题 几何变换压轴题多以三角形、四边形为主，结合平移、 旋转、翻折、类比等变换，而四边形的问题常要转化成三角 形的问题来解决，通过证明三角形的全等或相似得到相等的 角、相等的边或成比例的边，通过勾股定理计算边长．要熟 练掌握特殊四边形的判定定理和性质定理，灵活选择解题方 法，注意区分各种四边形之间的关系，正确认识特殊与一 般的关系，注意方程思想、对称思想以及转化思想的相互 渗透． 几何变换是德州市中考的常考点，多与三角形、四边 形、圆相结合，考查形式多样化．德州市近五年中考对此 问题的考查： 2017 年中考试题第 11 题考查了旋转变换，第 23 题考查了翻折变换； 2016 年中考试题第 12 题考查了旋转 变换，第 23 题考查了类比变换； 2015 年中考试题第 6 题考查 了旋转变换，第 23 题考查了类比变换； 2014 年中考试题第 12 题考查了翻折变换，第 23 题考查了类比变换； 2013 年中 考试题第 23 题考查了类比变换． 类型一 图形的旋转变换 几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与 三角形、四边形相结合．解决旋转变换问题，首先要明确 旋转中心、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对 应点，利用旋转前后两图形全等等性质解题． 例 1 如图， O 是等边△ ABC 内一点， OA ＝ 3 ， OB ＝ 4 ， OC ＝ 5 ， 将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60° 得到线段 BO′ ， 下列结论： ①△ BO′A 可以由△ BOC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到；②点 O 与 O′ 的距离为 4 ；③四边形 AOBO′ 的面积为 6 ＋ 3 ；④ ∠ AOB ＝ 150° ；⑤ S △AOC ＋ S △AOB ＝ 6 ＋ . 其中正确的结论是 ( ) A ．②③④⑤ B ．①③④⑤ C ．①②③⑤ D ．①②④⑤ 【 分析 】 利用旋转的性质，结合全等三角形、勾股定理 等知识对结论逐一判断即可． 【 自主解答 】 由题意可知∠ 1 ＋∠ 2 ＝∠ 3 ＋∠ 2 ＝ 60° ， ∴∠ 1 ＝∠ 3. 在△ BO′A 和△ BOC 中， ∴△BO′A≌△BOC. 又∵∠ OBO′ ＝ 60° ， ∴△BO′A 可以由△ BOC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到，①正确． 如图 1 ，连接 OO′ ， ∵OB ＝ O′B ，且∠ OBO′ ＝ 60° ， ∴△ OBO′ 是等边三角形， ∴ OO′ ＝ OB ＝ 4 ，②正确． ∵△ BO′A≌△BOC ， ∴ O′A ＝ OC ＝ 5. 在△ AOO′ 中，三边长为 3 ， 4 ， 5 ，这是一组勾股数， ∴△ AOO′ 是直角三角形，∠ AOO′ ＝ 90° ， ∴∠ AOB ＝∠ AOO′ ＋∠ BOO′ ＝ 90° ＋ 60° ＝ 150° ， ④正确． S 四边形 AOBO′ ＝ S △AOO′ ＋ S △OBO′ ＝ ×3×4 ＋ ×4 2 ＝ 6 ＋ 4 ，③错误． 如图 2 ，将△ AOB 绕点 A 逆时针旋转 60° ， 使得 AB 与 AC 重合，点 O 旋转至 O″ 点． ∵△AOO″ 是边长为 3 的等边三角形， △ COO″ 是边长为 3 ， 4 ， 5 的直角三角形， 则 S △AOC ＋ S △AOB ＝ S 四边形 AOCO″ ＝ S △COO″ ＋ S △AOO″ ＝ ×3×4 ⑤正确． 综上所述，正确的结论为①②④⑤ . 故选 D . 1 ． (2017· 张家界 ) 如图，在正方形 ABCD 中， AD ＝ 2 ，把 边 BC 绕点 B 逆时针旋转 30° 得到线段 BP ，连接 AP 并延长交 CD 于点 E ，连接 PC ，则△ PCE 的面积为 _________ ． 2 ． (2017· 赤峰 )△OPA 和△ OQB 分别是以 OP ， OQ 为直角边的等 腰直角三角形，点 C ， D ， E 分别是 OA ， OB ， AB 的中点． (1) 当∠ AOB ＝ 90° 时如图 1 ，连接 PE ， QE ，直接写出 EP 与 EQ 的 大小关系； (2) 将△ OQB 绕点 O 逆时针方向旋转，当∠ AOB 是锐角时如图 2 ， (1) 中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 加以说明． (3) 仍将△ OQB 绕点 O 旋转，当∠ AOB 为钝角时，延长 PC ， QD 交于点 G ，使△ ABG 为等边三角形如图 3 ，求∠ AOB 的度数． 解： (1)EP ＝ EQ. (2) 结论成立．证明如下： ∵点 C ， E 分别是 OA ， AB 的中点， ∴ CE∥OB ， CE ＝ OB ，∴∠ DOC ＝∠ ECA. ∵ 点 D 是 Rt △OQB 斜边中点，∴ DQ ＝ OB ， ∴ CE ＝ DQ. 同理， PC ＝ DE ，∠ DOC ＝∠ BDE ，∴∠ ECA ＝∠ BDE. ∵∠PCE ＝∠ EDQ ，∴△ EPC≌△QED ，∴ EP ＝ EQ. (3) 如图，连接 GO ， ∵ 点 D ， C 分别是 OB ， OA 的中点，△ APO 与△ QBO 都是等腰直 角三角形， ∴ CQ ， GP 分别是 OB ， OA 的垂直平分线， ∴ GB ＝ GO ＝ GA ， ∴∠ GBO ＝∠ GOB ，∠ GOA ＝∠ GAO. 设∠ GOB ＝ x ，∠ GOA ＝ y ， 则 x ＋ x ＋ y ＋ y ＋ 60° ＝ 360° ，∴ x ＋ y ＝ 150° ， ∴∠ AOB ＝ 150°. 类型二 图形的翻折变换 几何图形的翻折变换也是近年来中考中的常考点，多 与三角形、四边形相结合．翻折变换的实质是对称，翻折 部分的两图形全等，找出对应边、对应角，再结合勾股定 理、相似的性质与判定解题． 例 2 (2016· 苏州 ) 如图，在△ ABC 中， AB ＝ 10 ，∠ B ＝ 60° ， 点 D ， E 分别在 AB ， BC 上，且 BD ＝ BE ＝ 4 ，将△ BDE 沿 DE 所在直 线折叠得到△ B′DE( 点 B′ 在四边形 ADEC 内 ) ，连接 AB′ ，则 AB′ 的长为 ． 【 分析 】 作 DF⊥B′E 于点 F ， B′G⊥AD 于点 G ，由∠ B ＝ 60° ， BD ＝ BE ，得到△ BDE 是等边三角形，由对称的性质得 到△ B′DE 也是等边三角形，从而 GD ＝ B′F ，然后利用勾股 定理求解． 【 自主解答 】 如图，作 DF⊥B′E 于点 F ， B′G⊥AD 于点 G ， ∵∠B ＝ 60° ， BD ＝ BE ＝ 4 ， ∴△ BDE 是边长为 4 的等边三角形． ∵将△ BDE 沿 DE 所在的直线折叠得到△ B′DE ， ∴△ B′DE 也是边长为 4 的等边三角形， ∴GD ＝ B′F ＝ 2. ∵B′D ＝ 4 ， ∴ B′G ＝ ∵AB ＝ 10 ，∴ AG ＝ 10 － 6 ＝ 4 ， ∴ AB′ ＝ 3 ． (2016· 张家界 ) 如图，将矩形 ABCD 沿 GH 对折，点 C 落在 点 Q 处，点 D 落在点 E 处， EQ 与 BC 交于点 F. 若 AD ＝ 8 cm ， AB ＝ 6 cm ， AE ＝ 4 cm ，则△ EBF 的周长是 ____ cm . 8 4 ． (2017· 淄博 ) 如图，将矩形纸片 ABCD 沿直线 MN 折叠，顶 点 B 恰好与 CD 边上的动点 P 重合 ( 点 P 不与点 C ， D 重合 ) ，折痕 为 MN ，点 M ， N 分别在边 AD ， BC 上．连接 MB ， MP ， BP ， BP 与 MN 相交于点 F. (1) 求证：△ BFN∽△BCP ； (2)① 在图 2 中，作出经过 M ， D ， P 三点的⊙ O( 要求保留作图 痕迹，不写作法 ) ； ② 设 AB ＝ 4 ，随着点 P 在 CD 上的运动，若①中的⊙ O 恰好与 BM ， BC 同时相切，求此时 DP 的长． (1) 证明： ∵将矩形纸片 ABCD 沿直线 MN 折叠，顶点 B 恰好与 CD 边上的动点 P 重合， ∴ MN 垂直平分线段 BP ， ∴∠ BFN ＝ 90°. ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴∠ C ＝ 90° ，∴∠ BFN ＝∠ C. 又∵∠ FBN ＝∠ CBP ， ∴△ BFN∽△BCP. (2) 解： ①如图 1 所示． ② 如图 2 ，设⊙ O 与 BC 的交点为 E ，连接 OB ， OE. ∵△MDP 为直角三角形， ∴ MP 为⊙ O 的直径． ∵ BM 与⊙ O 相切， ∴ MP⊥BM. ∵MB ＝ MP ，∴△ BMP 为等腰直角三角形． ∵∠ AMB ＋∠ PMD ＝ 180° －∠ BMP ＝ 90° ， ∠ MBA ＋∠ AMB ＝ 90° ，∴∠ PMD ＝∠ MBA. 在△ ABM 和△ DMP 中， ∴△ ABM≌△DMP ，∴ DM ＝ AB ＝ 4 ， DP ＝ AM. 设 DP ＝ 2a ，则 AM ＝ 2a ， OE ＝ 4 － a ， BM ＝ ∵BM ＝ MP ＝ 2OE ， ∴ ＝ 2×(4 － a) ，解得 a ＝ ， ∴ DP ＝ 2a ＝ 3. 类型三 图形的类比变换 图形的类比变换是近年来中考的常考点，常以三角形、 四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相 似的性质与判定，难度较大．此类题目第一问相对简单，后 面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答． 例 3 (2016· 朝阳 ) 小颖在学习“两点之间线段最短”查阅 资料时发现：△ ABC 内总存在一点 P 与三个顶点的连线的夹 角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小． 【 特例 】 如图 1 ，点 P 为等边△ ABC 的中心，将△ ACP 绕点 A 逆时针旋转 60° 得到△ ADE ，从而有 DE ＝ PC ，连接 PD 得到 PD ＝ PA ，同时∠ APB ＋∠ APD ＝ 120° ＋ 60° ＝ 180° ，∠ ADP ＋ ∠ ADE ＝ 180° ，即 B ， P ， D ， E 四点共线，故 PA ＋ PB ＋ PC ＝ PD ＋ PB ＋ DE ＝ BE. 在△ ABC 中，另取一点 P′ ，易知点 P′ 与 三个顶点连线的夹角不相等，可证明 B ， P′ ， D′ ， E 四点 不共线，所以 P′A ＋ P′B ＋ P′C ＞ PA ＋ PB ＋ PC ，即点 P 到三 个顶点距离之和最小． 【 探究 】 (1) 如图 2 ， P 为△ ABC 内一点，∠ APB ＝∠ BPC ＝ 120° ，证明 PA ＋ PB ＋ PC 的值最小； 【 拓展 】 (2) 如图 3 ，△ ABC 中， AC ＝ 6 ， BC ＝ 8 ，∠ ACB ＝ 30° ，且点 P 为△ ABC 内一点，求点 P 到三个顶点的距离之 和的最小值． 【 分析 】 (1) 先证△ APD 为等边三角形，再证 B ， P ， D ， E 四点共线，根据两点间线段最短即可得答案； (2) 利用“探 究”得出的结论进行求解． 【 自主解答 】 (1) 如图，将△ ACP 绕点 A 逆时针旋转 60° 得 到△ ADE ， ∴∠ PAD ＝ 60° ，△ PAC≌△DAE ， ∴ PA ＝ DA ， PC ＝ DE ，∠ APC ＝∠ ADE ＝ 120° ， ∴△ APD 为等边三角形， ∴PA ＝ PD ，∠ APD ＝∠ ADP ＝ 60° ， ∴∠ APB ＋∠ APD ＝ 120° ＋ 60° ＝ 180° ， ∠ ADP ＋∠ ADE ＝ 180° ，即 B ， P ， D ， E 四点共线， ∴ PA ＋ PB ＋ PC ＝ PD ＋ PB ＋ DE ＝ BE ， ∴ PA ＋ PB ＋ PC 的值最小． (2) 由“探究”知，当∠ APB ＝∠ APC ＝∠ BPC ＝ 120° 时， AP ＋ BP ＋ PC 的值最小． 如图，把△ CPB 绕点 C 逆时针旋转 60° 得△ CP′B′ ， 由“探究”知 A ， P ， P′ ， B′ 共线，且 AP ＋ BP ＋ PC ＝ AB′ ， ∠ PCB ＝∠ P′CB ， ∴∠ PCB ＋∠ PCA ＝∠ P′CB ＋∠ PCA ＝ 30° ， ∴∠ ACB′ ＝ 90° ，∴ AB′ ＝ 5 ． (1) 问题发现 如图 1 ，△ ACB 和△ DCE 均为等边三角形，点 A ， D ， E 在同一 直线上，连接 BE. (1) 填空： ①∠ AEB 的度数为 ； ②线段 AD ， BE 之间的数量关系为 ． (2) 拓展探究 如图 2 ，△ ACB 和△ DCE 均为等腰直角三角形，∠ ACB ＝∠ DCE ＝ 90° ，点 A ， D ， E 在同一直线上， CM 为△ DCE 中 DE 边上的 高，连接 BE. 请判断∠ AEB 的度数及线段 CM ， AE ， BE 之间的 数量关系，并说明理由． (3) 解决问题 如图 3 ，在正方形 ABCD 中， CD ＝ . 若点 P 满足 PD ＝ 1 ，且 ∠ BPD ＝ 90° ，请直接写出点 A 到 BP 的距离． 解： (1)①60° 　② AD ＝ BE (2)∠AEB ＝ 90° ， AE ＝ 2CM ＋ BE. 理由： ∵△ ACB 和△ DCE 均为等腰直角三角形， ∠ ACB ＝∠ DCE ＝ 90° ， ∴ AC ＝ BC ， CD ＝ CE ， ∠ACB －∠ DCB ＝∠ DCE －∠ DCB ，即∠ ACD ＝∠ BCE ， ∴△ACD≌△BCE. ∴AD ＝ BE ，∠ BEC ＝∠ ADC ＝ 135°. ∴∠AEB ＝∠ BEC －∠ CED ＝ 135° － 45° ＝ 90°. 在等腰直角三角形 DCE 中， CM 为斜边 DE 上的高， ∴ CM ＝ DM ＝ ME ，∴ DE ＝ 2CM ， ∴ AE ＝ DE ＋ AD ＝ 2CM ＋ BE. (3) 6 ．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”． 例如图 1 ，图 2 ，图 3 中， AF ， BE 是△ ABC 的中线， AF⊥BE ，垂 足为 P ，像△ ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设 BC ＝ a ， AC ＝ b ， AB ＝ c. 【 特例探索 】 (1) 如图 1 ，当∠ ABE ＝ 45° ， c ＝ 2 时， a ＝ ， b ＝ ； 如图 2 ，当∠ ABE ＝ 30° ， c ＝ 4 时， a ＝ ， b ＝ ； 【 归纳证明 】 (2) 请你观察 (1) 中的计算结果，猜想 a 2 ， b 2 ， c 2 三者之间的 关系，用等式表示出来，请利用图 3 证明你发现的关系式； 【 拓展应用 】 (3) 如图，在 ▱ ABCD 中，点 E ， F ， G 分别是 AD ， BC ， CD 的中点， BE⊥EG ， AD ＝ 2 ， AB ＝ 3 ，求 AF 的长． 解： (1) (2) 猜想： a 2 ， b 2 ， c 2 三者之间的关系是 a 2 ＋ b 2 ＝ 5c 2 . 证明：如图，连接 EF. ∵AF ， BE 是△ ABC 的中线， ∴ EF 是△ ABC 的中位线， ∴ EF∥AB ，且 EF ＝ AB ＝ c. ∴ 设 PF ＝ m ， PE ＝ n ，则 PA ＝ 2m ， PB ＝ 2n. 在 Rt △APB 中， (2m) 2 ＋ (2n) 2 ＝ c 2 ；① 在 Rt △APE 中， (2m) 2 ＋ n 2 ＝ ( ) 2 ；② 在 Rt △BPF 中， m 2 ＋ (2n) 2 ＝ ( ) 2 .③ 由①得 m 2 ＋ n 2 ＝ ， 由②＋③得 5(m 2 ＋ n 2 ) ＝ ， ∴ a 2 ＋ b 2 ＝ 5c 2 . (3) 如图，设 AF ， BE 交于点 P ，取 AB 的中点 H ，连接 FH ， AC. ∵E ， G 分别是 AD ， CD 的中点， F 是 BC 的中点， ∴ EG∥AC∥FH. 又∵ BE⊥EG ，∴ FH⊥BE. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC ， AD ＝ BC ， ∴ AE ＝ BF ， AE∥BF ，∴ AP ＝ FP ， ∴△ ABF 是“中垂三角形”， ∴ AB 2 ＋ AF 2 ＝ 5BF 2 ，即 3 2 ＋ AF 2 ＝ 5×( ) 2 ， ∴ AF ＝ 4.