2019年春人教版七年级下数学《5.3.2命题、定理、证明》课件.ppt

导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第五章 相交线与平行线 5.3 平行线的性质 5.3.2 命题、定理、证明 1. 理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设 和结论；（重点） 2. 会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了 解反例的作用 . （重点、难点） 学习目标 导入新课 观察与思考 小华与小刚正在津津有味地阅读 《 我们爱科学 》. 这个黑客终于被逮住了 . 是的 , 现在的因特网广泛运用于我们的生活中 , 给我们带来了方便 , 但 ……. 这个黑客是个小偷 . 是个喜欢穿黑衣服的贼. 坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着 . 小明的百米成绩有进步，已达到9秒9. 好！继续努力 , 争取超过 10 秒 . 不要再抢啦！每个人发一个球！ 有一位田径教练向领导汇报训练成绩； 相传 , 阎锡山在观看士兵篮球赛 , 双方争抢非常激烈 . 于是命令 : 2. 如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断 , 那么 它就不是命题 . 如：画线段 AB = CD . 1. 只要对一件事情作出了 判断 , 不管正确与否 , 都是 命题 . 如：相等的角是对顶角 . 注意： 像紫色字这样判断一件事情的语句，叫作 命题 ( proposition ). 讲授新课 命题的定义与结构 一 一、命题的概念 例 1 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由： （ 1 ） 对顶角相等吗？ （ 2 ） 画一条线段 AB =2cm ; （ 3 ） 两条直线平行，同位角相等； （ 4 ） 相等的两个角，一定是对顶角 . 典例精析 解：（ 3 ）（ 4 ）是命题， （ 1 ） （ 2 ）不是命题 . 理由如下： （ 1 ）是问句，故不是命题； （ 2 ）是做一件事情，也不是命题 . 2 ）两条直线相交，有且只有一个交点（ ） 5 ）取线段 AB 的中点 C ；（ ） 1 ）长度相等的两条线段是相等的线段吗 ?( ) 6 ）画两条相等的线段（ ） 练一练： 判断下列语句是不是命题？是用“√”， 不是用“ × 表示 . 3 ）不相等的两个角不是对顶角（ ） 4 ）相等的两个角是对顶角（ ） × √ × × √ √ 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特 征？与同伴交流 . （ 1 ） 如果 两个三角形的三条边相等， 那么 这两个三角形的周长相等； （ 2 ） 如果 两个数的绝对值相等， 那么 这两个数也相等； （ 3 ） 如果 一个数的平方等于 9 ， 那么 这个数是 3. 都是“如果 …… 那么 …… ”的形式 二、命题的结构 命题 一般都可以写成“ 如果 …… 那么 …… ”的形式 . 1. “ 如果 ”后接的部分是 题设 , 2. “ 那么 ” 后接的部分是 结论 . 如命题：熊猫没有翅膀 . 改写为： 如果 这个动物是熊猫， 那么 它就没有翅膀 . 注意： 添加“如果”“那么”后，命题的 意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺， 使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套 . 命题 题设 结论 已知事项 由已知事项推出的事项 两直线平行， 同位角相等 题设（条件） 结论 命题的组成： 总结归纳 把下列命题改写成“如果 …… 那么 ……” 的形式 . 并指出它的题设和结论 . 1. 对顶角相等； 2. 内错角相等； 3. 两直线被第三条直线所截，同位角相等； 4. 平行于同一直线的两直线平行； 5. 等角的补角相等 . 练一练 特别规定： 正确的命题叫 真命题 ，错误的命题叫 假命题 . 命题 1 ：“如果一个数能被 4 整除，那么它也能被 2 整除” 真命题与假命题 二 观察下列命题 , 你能发现这些命题有什么不同的特点吗？ 命题 1 是一个正确的命题 ; 命题 2 是一个错误的命题 . 命题 2 ：“如果两个角互补，那么它们是邻补角” （ 1 ） 同旁内角互补（ ） （ 4 ） 两点可以确定一条直线（ ） （ 7 ） 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（ ） （ 2 ） 一个角的补角大于这个角（ ） 判断下列命题的真假 . 真的用“√”，假的用“ × 表示 . （ 5 ） 两点之间线段最短（ ） （ 3 ） 相等的两个角是对顶角（ ） × √ （ 6 ） 同角的余角相等（ ） × √ √ √ × 练一练 “ 因为 早上我发现张三从玉米地那边过来，把一袋东西背回家，还发现我地里的玉米被人偷了，我知道张三家没有种玉米。 所以 我家玉米肯定是张三偷的 .” 片段 1 ： 一天早上，李 老汉来到 衙门里告状说：张三刚刚在他地里偷了一袋子玉米 . 吕县令立即派衙役将张三拘捕到县衙审讯 : 吕县令问 李老汉 ： “ 你怎知是张三偷了你的玉米 ?” 李老汉想证明什么？ 他是怎么证明的？ 这种从已知条件出发（列出理由），推断出结论的证明方法，叫综合法 . 综合法是最常用的证明方法 . 证明与举反例 三 故事分析 根据李老汉的证明，你能断定玉米是张三偷的吗？你觉得有疑点吗？ 片段 2 ： 县官一时拿不定主意，就问旁边 的县丞道： “ 师爷，你怎么看？ ” 县丞说 “ 这事要证明是张三干的，还得弄 清那袋子里装的是不是刚捌的玉米，还要 看看地里的脚印是不是张三的才行。 如果袋子里装的是刚捌的玉米，且地里的脚印是张三的，那就一定是他偷的。 ” 从结论出发，逆着寻找所需要的 条件 的思考过程，叫分析 . 在分析的过程中，如果发现所需要的条件，都已具备或可从已知条件中推得 . 那么证明就很容易了 . 分析： 要证明 AB ， CD 平行，就需要 同位角相等的条件，图中 ∠1 与 ∠3 就是同位角 . 我们只要找到：能说明它俩相等的条件就行了 . 从图中，我们可以发现： ∠2 与 ∠3 是对顶角，所以 ∠3=∠2. 这样我们就找到了 ∠1 与 ∠3 相等的确切条件了 . 例 2 如图， ∠1=∠2 ，试说明直线 AB ， CD 平行？ 证明：因为 ∠2 与 ∠ 3 是对顶角， 所以 ∠ 3= ∠2 又因为 ∠ 1= ∠ 2 ， 所以 ∠ 1= ∠ 3 ， 且 ∠ 1 与 ∠ 3 是同位角， 所以 AB 与 CD 平行 . 证明： ∵ ∠2 与 ∠3 是对顶角， ∴∠3=∠2 又 ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ， ∴AB∥CD 例 2 如图， ∠1=∠2 ， 试说明直线 AB ， CD 平行？ 1. 数学中有些命题的正确性是人们在 长期实践中总结 出 来的，并把它们 作为判断其他命题真假的原始依据 ， 这样的真命题叫做 公理 . 两点确定一条直线 . 两点间线段最短 . 经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行 . 直线公理： 线段公理： 平行线公理： 三、公理的概念 2. 有些命题是 基本事实 ，还有些命题它们的正确性是经 过推理证实的，这样得到的真命题叫做 定理 . 定理也 可以作为继续推理的依据 . 同角或等角的补角相等 . 2. 余角的性质： 同角或等角的余角相等 . 4. 垂线的性质 ： ①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 1. 补角的性质： 3. 对顶角的性质： 对顶角相等 . ②垂线段最短 . 学过的定理： 四、定理的概念 在很多情况下， 一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作 证明 . 注意： 证明的每一步推理都要有根据，不能 “ 想当然 ”. 五、证明的概念 例 3 已知 ： b ∥ c ， a ⊥ b ． 求证 ： a ⊥ c ． 证明： ∵ a ⊥ b （已知） ∴ ∠ 1=90° （垂直的定义） 又 b ∥ c （已知） ∴ ∠ 2= ∠ 1=90° （两直线平行，同位角相等） ∴ a ⊥ c （垂直的定义） . a b c 1 2 典例精析 确定一个命题是假命题的方法： 例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题 ，可以举出如下 反例 ： 如图， OC 是 ∠ AOB 的平分线， ∠ 1= ∠ 2 ， 但它们不是对顶角 . ） ） 1 2 A O C B 只要举出一个例子（ 反例 ）：它符合命题的题设，但不满足结论即可 . 思考： 如何判定一个命题是假命题呢？ 六、举反例 当堂练习 1. 下列语句中，不是命题的是 ( 　　 ) A. 两点之间线段最短 B. 对顶角相等 C. 不是对顶角不相等 D. 过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的垂线 D 2. 下列命题中，是真命题的是 ( 　　 ) A. 若 a · b ＞ 0 ，则 a ＞ 0 ， b ＞ 0 B. 若 a · b ＜ 0 ，则 a ＜ 0 ， b ＜ 0 C. 若 a · b ＝ 0 ，则 a ＝ 0 且 b ＝ 0 D. 若 a · b ＝ 0 ，则 a ＝ 0 或 b ＝ 0 D 3. 下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？ 1) 猪有四只脚； 2) 内错角相等； 3) 画一条直线； 4) 四边形是正方形； 5) 你的作业做完了吗？ 6) 内错角相等，两直线平行； 7) 垂直于同一直线的两直线平行； 8) 过点 P 画线段 MN 的垂线； 9)x ＞ 2. 是 真命题 否 是 假命题 是 假命题 否 是 真命题 是 假命题 否 否 4. 举反例说明下列命题是假命题． (1) 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； (2) 若 ab ＝ 0 ，则 a ＋ b ＝ 0. 解： (1) 两条直线平行形成的内错角，这两个角不 是对顶角，但是它们相等； (2) 当 a ＝ 5 ， b ＝ 0 时， ab ＝ 0 ，但 a ＋ b ≠0. 5. 在下面的括号内，填上推理的依据 . 如图， AB ∥ CD,CB ∥ DE , 求证 ∠ B+ ∠ D=180 ° 证明： ∵ AB ∥ CD, ∴ ∠ B= ∠ C( ) ∵ CB ∥ DE ∴ ∠ C+ ∠ D=180 ° ( ) ∴ ∠ B+ ∠ D=180 ° ( ) 等量代换 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 证明： ∵ AB ∥ CD ( 已知 ) ， ∴∠ BPQ ＝ ∠ CQP ( 两直线平行 , 内错角相等 ) ． 又 ∵ PG 平分 ∠ BPQ ， QH 平分 ∠ CQP ( 已知 ) ， ∴∠ GPQ ＝ ∠ BPQ, ∠ HQP ＝ ∠ CQP ( 角平 分线的定义 ) ， ∴∠ GPQ ＝ ∠ HQP ( 等量代换 ) ， ∴ PG∥HQ ( 内错角相等，两直线平行 ) ． 6. 如图，已知 AB∥CD ，直线 AB ， CD 被直线 MN 所截， 交点分别为 P ， Q ， PG 平分 ∠ BPQ ， QH 平分 ∠ CQP ， 求证 PG∥HQ . A B C D M N P Q H G 真命题 假命题 公理 定理 （只需举一个反例） （不需证明） （由推理证实） 1. 命题的 定义 : 2. 命题的 组成 : 3. 命题的分类： 判断 一件事情的句子 题设 和 结论 课堂小结