1.4.pptx

‎4.角平分线 知识点一　角平分线的性质 ‎1.如图,∠1=∠2,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,下列结论错误的是(C　)‎ ‎　　　　　 　　　　　 　　　　‎ A.PD=PE B.OD=OE C.PD=OD D.∠OPD=∠OPE ‎(第1题图)‎ ‎(第2题图)‎ ‎2.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D.已知AB=10,CD=3,则△ABD的面积等于15　. ‎ ‎3.导学号99804024如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC.求证:BE=CF.‎ 8‎ 证明∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠E=∠DFC=90°.‎ 又BD=CD,∴Rt△BDE≌Rt△CDF.‎ ‎∴BE=CF.‎ ‎4.导学号99804025如图,已知OD平分∠AOB,在OA,OB边上截取OA=OB,点P是OD上一点,PM⊥BD于点M,PN⊥AD于点N.求证:PM=PN.‎ 证明∵OD平分∠AOB,∴∠1=∠2.‎ 在△OBD和△OAD中,‎OB=OA,‎‎∠1=∠2,‎OD=OD,‎ ‎∴△OBD≌△OAD(SAS).∴∠3=∠4.‎ 又∵PM⊥BD,PN⊥AD,∴PM=PN.‎ 知识点二　角平分线的判定 ‎5.如图,点M,N分别是OA,OB边上的点,点P在射线OC上.下列条件不能推出OC平分∠AOB的是(B　)‎ A.PM=PN,OM=ON B.PM=PN,∠PMO=∠PNO C.PM⊥OA,PN⊥OB,PM=PN D.PM⊥OA,PN⊥OB,OM=ON 8‎ ‎6.导学号99804026已知如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD相交于点O.求证:‎ ‎(1)当∠1=∠2时,OB=OC;‎ ‎(2)当OB=OC时,∠1=∠2.‎ 证明(1)∵∠1=∠2,OD⊥AB,OE⊥AC,‎ ‎∴OE=OD,∠ODB=∠OEC=90°.‎ 在△BOD和△COE中,∵‎‎∠BOD=∠COE,‎OD=OE,‎‎∠ODB=∠OEC,‎ ‎∴△BOD≌△COE(ASA).∴OB=OC.‎ ‎(2)在△BOD和△COE中,‎ ‎∵‎‎∠ODB=∠OEC,‎‎∠BOD=∠COE,‎OB=OC,‎ ‎∴△BOD≌△COE(AAS).∴OD=OE.‎ 又OD⊥AB,OE⊥AC,‎ ‎∴AO平分∠BAC.∴∠1=∠2.‎ 拓展点一　三角形的三条角平分线性质的应用 8‎ ‎1.如图,在△ABC中,∠BAC=96°,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,则∠OAB的度数是48°　. ‎ ‎2.某市有一块由三条公路围成的三角形绿地,现准备在绿地中建一小亭供人小憩,且使小亭中心到三条公路的距离相等,试确定小亭中心的位置.(不写作法,保留作图痕迹)‎ 解作围成三角形的两条角平分线即可确定小亭的位置.如图所示,点P所在地就是所求的中心位置.‎ ‎3.导学号99804027如图,在△ABC中,P是角平分线AD,BE的交点.求证:点P在∠C的平分线上.‎ 证明过点P作PM⊥AB,PN⊥BC,PQ⊥AC,垂足分别为M,N,Q.‎ ‎∵点P在∠BAC的平分线AD上,‎ ‎∴PM=PQ.‎ ‎∵点P在∠ABC的平分线BE上,‎ 8‎ ‎∴PM=PN.‎ ‎∴PQ=PN.∴点P在∠C的平分线上.‎ 拓展点二　利用面积解决角的平分线的有关问题 ‎4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B的平分线交于点I,ID⊥AB于D.若AC=4 cm,BC=3 cm,则ID的长是1 cm　. ‎ ‎5.导学号99804028如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C.求证:点C在∠AOB的平分线上.‎ 证明作CG⊥OA于点G,CF⊥OB于点F.‎ ‎∵OM=ON,OE=OD,∠MOE=∠NOD,‎ ‎∴△MOE≌△NOD(SAS).‎ ‎∴S△MOE=S△NOD.‎ ‎∴S△MOE-S四边形ODCE=S△NOD-S四边形ODCE,‎ 即S△MDC=S△NEC.‎ ‎∵OM=ON,OD=OE,∴DM=EN.‎ ‎∴CG=CF.∴点C在∠AOB的平分线上.‎ 8‎ ‎1.(2017·浙江台州中考)如图,点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D,若PD=2,则点P到边OA的距离是(A　)‎ ‎　　　　　 　　　　　 　　　　‎ A.2 B.3 C.‎3‎ D.4‎ ‎2.(2017·山东枣庄中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于‎1‎‎2‎MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是(B　)‎ A.15 B.30 C.45 D.60‎ ‎3.导学号99804029(2016·浙江湖州中考)如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是(C　)‎ A.8 B.6 C.4 D.2‎ 8‎ ‎4.导学号99804030如图所示,现有边长分别为AC=4 m,BC=3 m的直角三角形花坛,园艺工人想建一个自动喷水头(喷水头喷出水流的水平距离最大为2.5 m)浇花用.现有两种方案:‎ 方案一:分别作AB,AC边的垂直平分线,两直线的交点为P点,建在P点;‎ 方案二:作∠A,∠C的平分线,交点为P'点,建在P'点.‎ 你认为哪种方案更合理?试说明你的理由.‎ 解方案一:∵点P为AB,AC边的垂直平分线的交点,∴点P到三个顶点的距离相等,即点P正好在直角三角形斜边的中点处.‎ ‎∴PA=PB=PC=‎1‎‎2‎AB=‎1‎‎2‎‎×‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=2.5(m).此时花坛各处均可浇到水.‎ 方案二:由题意可知AB=AC‎2‎+BC‎2‎‎=‎‎4‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=5(m).‎ 如图,∵P'为∠A,∠C的平分线的交点,作P'E⊥AC,P'G⊥BC,P'H⊥AB,则P'E=P'G=P'H.‎ 设P'E=r m,又S△AP'C+S△BP'C+S△ABP'=S△ABC,‎ ‎∴‎1‎‎2‎AC·P'E+‎1‎‎2‎BC·P'G+‎1‎‎2‎AB·P'H=‎1‎‎2‎AC·BC,‎ 即‎1‎‎2‎(AC+BC+AB)·r=‎1‎‎2‎AC·BC.‎ ‎∴‎1‎‎2‎×(3+4+5)r=‎1‎‎2‎×4×3,r=1.‎ 8‎ 又EC=P'G=1,∴AE=4-1=3.‎ ‎∴P'A=‎3‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎‎=‎‎10‎>2.5,‎ 此时花坛内有一部分地浇不到水.‎ ‎∴方案一合理.‎ 8‎