专题探究课三.ppt

高考导航 　对近几年高考试题统计看 ， 全国卷中的数列与三角基本上交替考查 ， 难度不大 . 考查内容主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质 ， 题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题 ， 有时结合函数、不等式等进行综合考查 ， 涉及内容较为全面 ， 试题题型规范、方法可循 . 热点一　等差数列、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前 n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用 . 探究提高 　 解决等差数列与等比数列的综合问题 ， 既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解 ， 更要善于根据具体问题情境具体分析 ， 寻找解题的突破口 . 热点二　数列的通项与求和 ( 规范解答 ) 数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算 . 求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法 . 常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等 . ❶ 由题意列出方程组得 2 分 . ❷ 解得 a 1 与 d 得 2 分 ， 漏解得 1 分 . ❸ 正确导出 a n ， b n 得 2 分 ， 漏解得 1 分 . ❹ 写出 c n 得 1 分 . ❺ 把错位相减的两个式子 ， 按照上下对应好 ， 再相减 ， 就能正确地得到结果 ， 本题就得满分 ， 否则就容易出错 ， 丢掉一些分数 . 用错位相减法解决数列求和的模板 第一步 ： ( 判断结构 ) 若数列 { a n · b n } 是由等差数列 { a n } 与等比数列 { b n }( 公比 q ) 的对应项之积构成的，则可用此法求和 . 第二步 ： ( 乘公比 ) 设 { a n · b n } 的前 n 项和为 T n ，然后两边同乘以 q . 第三步 ： ( 错位相减 ) 乘以公比 q 后，向后错开一位，使含有 q k ( k ∈ N * ) 的项对应，然后两边同时作差 . 第四步： ( 求和 ) 将作差后的结果求和，从而表示出 T n . 【训练 2 】 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ，且 a n ＋ 2 ＝ 3 S n － S n ＋ 1 ＋ 3 ， n ∈ N * . (1) 证明： a n ＋ 2 ＝ 3 a n ； (2) 求 S 2 n . (1) 证明 　由条件，对任意 n ∈ N * ，有 a n ＋ 2 ＝ 3 S n － S n ＋ 1 ＋ 3 ， 因而对任意 n ∈ N * ， n ≥ 2 ，有 a n ＋ 1 ＝ 3 S n － 1 － S n ＋ 3. 两式相减，得 a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ＝ 3 a n － a n ＋ 1 ， 即 a n ＋ 2 ＝ 3 a n ， n ≥ 2. 又 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ， 所以 a 3 ＝ 3 S 1 － S 2 ＋ 3 ＝ 3 a 1 － ( a 1 ＋ a 2 ) ＋ 3 ＝ 3 a 1 ， 故对一切 n ∈ N * ， a n ＋ 2 ＝ 3 a n . 热点三　数列的综合应用 热点 3.1 　数列与函数的综合问题 数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选 . 热点 3.2 　数列与不等式的综合问题 数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明 . 在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等 . 如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法 . 热点 3.3 　数列的实际应用 数列在实际问题中的应用，要充分利用题中限制条件确定数列的特征，如通项公式、前 n 项和公式或递推关系式，建立数列模型 . 【例 3 － 3 】 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红 500 万元，该企业 2010 年年底分红后的资金为 1 000 万元 . (1) 求该企业 2014 年年底分红后的资金； (2) 求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元 . 解 　设 a n 为 (2010 ＋ n ) 年年底分红后的资金，其中 n ∈ N * ， 则 a 1 ＝ 2 × 1 000 － 500 ＝ 1 500 ， a 2 ＝ 2 × 1 500 － 500 ＝ 2 500 ， … ， a n ＝ 2 a n － 1 － 500( n ≥ 2). ∴ a n － 500 ＝ 2( a n － 1 － 500)( n ≥ 2) ， 即数列 { a n － 500} 是以 a 1 － 500 ＝ 1 000 为首项， 2 为公比的等比数列， ∴ a n － 500 ＝ 1 000 × 2 n － 1 ， ∴ a n ＝ 1 000 × 2 n － 1 ＋ 500. (1) ∵ a 4 ＝ 1 000 × 2 4 － 1 ＋ 500 ＝ 8 500 ， ∴ 该企业 2014 年年底分红后的资金为 8 500 万元 . (2) 由 a n >32 500 ，即 2 n － 1 >32 ，得 n >6 ， ∴ 该企业从 2017 年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元 .