2018年人教B版数学选修1-1 3.2.1-3.2.2 常数与幂函数的导数　导数公式表.ppt

1 . 能根据导数的定义 , 求函数 y=C , y=x , y=x 2 , 的导数 . 2 . 会使用导数公式表 . 1 . 常数函数的导数 设 y=f ( x ) =C ( C 为常数 ), 则 C'= 0 . 名师点拨 C'= 0 表示函数 y=C 的图象上每一点处的切线的斜率为 0 . 若 y=C 表示路程关于时间的函数 , 则 y'= 0 可解释为某物体的瞬时速度始终为 0, 即一直处于静止状态 . 【做一做 1 】 函数 的导数为 　　　　　 .   答案 : 0 2 . 几种特殊的幂函数的导数 (1) 函数 y=x 的导数 : x'= 1 . (2) 函数 y=x 2 的导数 :( x 2 ) '= 2 x . 名师点拨 记住几种特殊幂函数的求导公式 , 我们就可以直接求一些简单函数的导数了 . 【做一做 2 】 函数 y=x 2 在 x= 6 处的导数为 　　　　　 .   答案 : 12 3 . 基本初等函数的导数公式 (1) C'= 0( C 为常数 ) . (2)( x n ) '=nx n- 1 ( n 为自然数 );( x μ ) '= μ x μ - 1 ( μ 为有理数 , 且 μ ≠0, x> 0) . (3)( a x ) '=a x ln a ( a> 0, a ≠1);(e x ) '= e x . (5)(sin x ) '= cos x ;(cos x ) '=- sin x. 名师点拨 (1) x n ( n 为自然数 ) 与 x μ ( μ 为有理数 , μ ≠0, x> 0) 可以归为一类函数来记忆导数公式 . 只是要注意 n 为负数时的运算技巧 , 先变形 , 再求导 . (2)log a x 与 ln x 等求导公式较难记忆 , 可以相互间作比较 , 如 ln x= log e x , 则 ; 对 log a x 求导 , 只需把上式 e 换为 a. (3) 指数函数 y=a x 与幂函数求导易出错 , 比如 , 对 y= 2 x 与 y=x 2 求导 , 可专门记忆 y=a x 的求导公式 . (2 x ) '= 2 x ln 2,( x 2 ) '= 2 x. 名师点拨 基本初等函数包括常值函数 y=C , 指数函数 y=a x ( a> 0, 且 a ≠1), 对数函数 y= log a x ( a> 0, a ≠1, x> 0), 幂函数 y=x α ( α ∈ R ), 三角函数等 . 1 . 函数 y=f ( x ) =x 的导数的意义是什么 ? 剖析 : y'= 1 表示函数 y=x 的图象上每一点处的切线的斜率都为 1 . 若 y=x 表示路程关于时间的函数 , 则 y'= 1 可以解释为某物体作瞬时速度为 1 的匀速运动 . 2 . 如何理解函数 y=f ( x ) =x 2 的导数 ? 剖析 : y'= 2 x 表示函数 y=x 2 图象上点 ( x , y ) 处切线的斜率 , 说明随着 x 的变化 , 切线的斜率也在变化 , 另一方面 , 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看 , y'= 2 x 表明 : 当 x< 0 时 , 随着 x 的增加 , 函数 y=x 2 减少得越来越慢 ; 当 x> 0 时 , 随着 x 的增加 , 函数 y=x 2 增加得越来越快 . 若 y=x 2 表示路程关于时间的函数 , 则 y'= 2 x 可以解释为某物体作变速运动 , 它在时刻 x 的瞬时速度为 2 x. 题型一 题型二 利用导数公式求函数的导数 【例 1 】 求下列函数的导数 : 分析 对于基本初等函数的求导 , 直接利用导数公式求导 . 但要注意把所给函数的关系式转化成能够直接应用公式的基本函数的形式 , 以免在求导时发生不必要的错误 . 反思 基本初等函数求导的关键 : ① 熟记导数公式表 ; ② 根式、分式求导时 , 先将其转化为指数式的形式 . 题型一 题型二 导数公式的应用 分析 利用导数公式求出该点处的导数 , 即切线的斜率 , 再由点斜式写出切线方程即可 . 题型一 题型二 【例 3 】 已知点 P (e, a ) 在曲线 f ( x ) = ln x 上 , 直线 l 是以点 P 为切点的切线 , 求过点 P 且与直线 l 垂直的直线的方程 . ( 字母 e 是一个无理数 , 是自然对数的底数 ) 分析 因所求直线与直线 l 垂直 , 故其斜率乘积为 - 1 . 可利用导数公式求出直线 l 的斜率 k , 从而可得所求直线的斜率 ; 点 P 在曲线上可求得 a , 然后利用点斜式写出所求直线的方程 . 由题意知所求直线斜率为 - e . ∵ 点 P (e, a ) 在曲线 f ( x ) = ln x 上 , ∴ a= ln e = 1 . 故所求直线方程为 y- 1 =- e( x- e), 即 e x+y- e 2 - 1 = 0 . 题型一 题型二 反思 求以曲线上的点为切点的切线方程的方法和步骤 : ① 求切点处的导数即为切线的斜率 ; ② 由直线方程的点斜式写出切线方程 . 3 函数 y= log 3 x 在 x= 1 处的导数为 　　　　　 .   4 以曲线 y= e x 上的点 P (0,1) 为切点的切线方程为 　　　　　 .   5 已知直线 l 与直线 3 x-y+ 2 = 0 平行 , 且与曲线 y=x 3 相切 , 求直线 l 的方程 . 分析 由直线 l 与直线 3 x-y+ 2 = 0 平行 , 可得 k l = 3, 设切点为 ( a , b ), 则 y'| x=a = 3 a 2 = 3, 可得 a , 即可求出 b , 从而可求出切线方程 . 解 设切点为 ( a , b ) . ∵ y'= 3 x 2 , ∴ k l =y'| x=a = 3 a 2 . 又 ∵ 直线 l 与直线 3 x-y+ 2 = 0 平行 , ∴ 3 a 2 = 3, ∴ a= ± 1 . 当 a= 1 时 , b= 1, 此时直线 l 的方程为 y- 1 = 3( x- 1), 即 3 x-y- 2 = 0; 当 a=- 1 时 , b=- 1, 此时直线 l 的方程为 y+ 1 = 3( x+ 1), 即 3 x-y+ 2 = 0, ∵ 该直线为已知直线 , 故舍去 . ∴ 直线 l 的方程为 3 x-y- 2 = 0 .