潍坊专版2019中考数学复习第1部分第五章四边形第二节矩形菱形正方形课件20190218380.ppt

第二节　矩形、菱形、正方形 考点一 矩形的性质与判定 (5 年 3 考 ) 例 1 (2018· 威海中考 ) 矩形 ABCD 与 CEFG 如图放置，点 B ， C ， E 共线，点 C ， D ， G 共线，连接 AF ，取 AF 的中点 H ，连接 GH. 若 BC ＝ EF ＝ 2 ， CD ＝ CE ＝ 1 ，则 GH ＝ ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A ． 1 B. C. D. 【 分析 】 延长 GH 交 AD 于点 P ，先证△ APH≌△FGH 得 AP ＝ GF ＝ 1 ， GH ＝ PH ＝ PG ，再利用勾股定理得出答案． 【 自主解答 】 如图，延长 GH 交 AD 于点 P. ∵ 四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是矩形， ∴∠ ADC ＝∠ ADG ＝∠ CGF ＝ 90° ， AD ＝ BC ＝ 2 ， GF ＝ CE ＝ 1 ， ∴ AD∥GF ，∴∠ GFH ＝∠ PAH. 又∵ H 是 AF 的中点，∴ AH ＝ FH. 在△ APH 和△ FGH 中， ∴△ APH≌△FGH(A S A) ， ∴ AP ＝ GF ＝ 1 ， GH ＝ PH ＝ PG ，∴ PD ＝ AD － AP ＝ 1. ∵CG ＝ 2 ， CD ＝ 1 ，∴ DG ＝ 1 ， 则 故选 C. 矩形的性质应用及判定方法 (1) 矩形性质的应用：从边上看，两组对边分别平行且相等； 从角上看，矩形的四个角都是直角；从对角线上看，对角线互 相平分且相等，同时把矩形分为四个面积相等的等腰三角形． (2) 矩形的判定方法：若四边形可以证为平行四边形，则还需 证明一个角是直角或对角线相等；若直角较多，可利用“三个 角为直角的四边形是矩形”来证． 1 ． (2018· 枣庄中考 ) 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中 点， AE⊥BD ，垂足为 F ，则 t a n ∠BDE 的值为 ( ) A 2 ． (2018· 滨州中考 ) 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 2 ， BC ＝ 4 ， 点 E ， F 分别在 BC ， CD 上，若 AE ＝ ，∠ EAF ＝ 45° ，则 AF 的 长为 ． 3 ．如图，在▱ ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E ，点 F 在边 CD 上， DF ＝ BE ，连接 AF ， BF. (1) 求证：四边形 BFDE 是矩形； (2) 若 CF ＝ 3 ， BF ＝ 4 ， DF ＝ 5 ，求证： AF 平分∠ DAB. 证明： (1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ DC∥AB ，即 DF∥BE. 又∵ DF ＝ BE ，∴四边形 BFDE 为平行四边形． 又∵ DE⊥AB ，∴∠ DEB ＝ 90° ， ∴四边形 BFDE 为矩形． (2)∵ 四边形 BFDE 为矩形，∴∠ BFC ＝ 90°. ∵CF ＝ 3 ， BF ＝ 4 ，∴ BC ＝ ＝ 5. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ＝ BC ＝ 5 ， ∴ AD ＝ DF ＝ 5 ，∴∠ DAF ＝∠ DFA. 又∵ DC∥AB ，∴∠ DFA ＝∠ FAB ， ∴∠ DAF ＝∠ FAB ，即 AF 平分∠ DAB. 考点二 菱形的性质与判定 (5 年 3 考 ) 例 2 (2017· 东营中考 ) 如图，在▱ ABCD 中，用直尺和圆规作 ∠ BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E. 若 BF ＝ 8 ， AB ＝ 5 ，则 AE 的长为 ( 　　 ) A ． 5 B ． 6 C ． 8 D ． 12 【 分析 】 连接 EF ，先判定四边形 ABEF 的形状，再利用勾股 定理进行解答即可． 【 自主解答 】 如图，连接 EF ， AE 与 BF 交于点 O. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AG 是∠ BAD 的平分线， ∴∠ FAE ＝∠ AEB ，∠ FAE ＝∠ EAB ， ∴∠ AEB ＝∠ EAB ，∴ AB ＝ BE. ∵AB ＝ AF ，∴ AF ＝ BE ，∴四边形 ABEF 为平行四边形． 又∵ AB ＝ BE ， ∴四边形 ABEF 是菱形， ∴ AE⊥BF ， OB ＝ BF ＝ 4 ， OA ＝ AE. ∵AB ＝ 5 ，∴在 Rt △AOB 中， AO ＝ ∴ AE ＝ 2AO ＝ 6. 故选 B. 菱形的性质应用及判定方法 (1) 判定一个四边形是菱形时，一是证明四条边相等；二是 先证明它是平行四边形，进而再证明它是菱形． (2) 运用菱形的性质时，要注意菱形的对角线互相垂直这个 条件；此外，菱形的对角线所在的直线是菱形的对称轴，运 用这一性质可以求出线段和的最小值． 4 ． (2018· 日照中考 ) 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， AO ＝ CO ， BO ＝ DO. 添加下列条件，不能判定四 边形 ABCD 是菱形的是 ( ) A ． AB ＝ AD B ． AC ＝ BD C ． AC⊥BD D ．∠ ABO ＝∠ CBO B 5 ． (2018· 寿光模拟 ) 如图，已知菱形 ABCD 的一个内角∠ BAD ＝ 80° ，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E 在 CD 上，且 DE ＝ DO ， 则∠ EOC ＝ _____ ． 25° 6 ． (2018· 扬州中考 ) 如图，在平行四边形 ABCD 中， DB ＝ DA ， 点 F 是 AB 的中点，连接 DF 并延长，交 CB 的延长线于点 E ，连接 AE. (1) 求证：四边形 AEBD 是菱形； (2) 若 DC ＝ ， tan ∠DCB ＝ 3 ，求菱形 AEBD 的面积． (1) 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥CE ，∴∠ DAF ＝∠ EBF. ∵∠AFD ＝∠ EFB ， AF ＝ FB ， ∴△ AFD≌△BFE ，∴ AD ＝ EB. ∵AD∥EB ，∴四边形 AEBD 是平行四边形． ∵ BD ＝ AD ，∴四边形 AEBD 是菱形． (2) 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ CD ＝ AB ＝ ， AB∥CD ，∴∠ ABE ＝∠ DCB ， ∴ tan ∠ABE ＝ tan ∠DCB ＝ 3. ∵ 四边形 AEBD 是菱形，∴ AB⊥DE ， AF ＝ FB ， EF ＝ DF ， ∴ tan ∠ABE ＝ ＝ 3. ∵BF ＝ ，∴ EF ＝ ，∴ DE ＝ 3 ， ∴ S 菱形 AEBD ＝ ·AB·DE ＝ · ·3 ＝ 15. 考点三 正方形的性质与判定 (5 年 4 考 ) 例 3 (2018· 潍坊中考 ) 如图，点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点， 连接 AM ，作 DE⊥AM 于点 E ， BF⊥AM 于点 F ，连接 BE. (1) 求证： AE ＝ BF ； (2) 已知 AF ＝ 2 ，四边形 ABED 的面积为 24 ，求∠ EBF 的正弦值． 【 分析 】 (1) 通过证明△ ABF≌△DAE 得到 AE ＝ BF ； (2) 设 AE ＝ x ，则 BF ＝ x ， DE ＝ AF ＝ 2 ，利用四边形 ABED 的面积 等于△ ABE 的面积与△ ADE 的面积之和得到 ·x·x ＋ ·x·2 ＝ 24 ，解方程求出 x 得到 AE ＝ BF ＝ 6 ，则 EF ＝ x － 2 ＝ 4 ，然后利用勾股定理计算出 BE ，最后利用正弦的定义求解． 【 自主解答 】 (1)∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ BA ＝ AD ，∠ BAD ＝ 90°. ∵DE⊥AM 于点 E ， BF⊥AM 于点 F ， ∴∠ AFB ＝ 90° ，∠ DEA ＝ 90°. ∵∠ABF ＋∠ BAF ＝ 90° ，∠ EAD ＋∠ BAF ＝ 90° ， ∴∠ ABF ＝∠ EAD. 在△ ABF 和△ DAE 中， ∴△ ABF≌△DAE(AA S ) ，∴ AE ＝ BF. (2) 设 AE ＝ x ，则 BF ＝ x ， DE ＝ AF ＝ 2. ∵S 四边形 ABED ＝ S △ABE ＋ S △AED ＝ 24 ， ∴ ·x·x ＋ ·x·2 ＝ 24 ， 解得 x 1 ＝ 6 ， x 2 ＝－ 8( 舍去 ) ， ∴EF ＝ x － 2 ＝ 4. 在 Rt △BEF 中， BE ＝ ∴ sin ∠EBF ＝ 判定正方形的方法及其特殊性 (1) 判定一个四边形是正方形，可以先判定四边形为矩形，再 证邻边相等或者对角线互相垂直；或先判定四边形为菱形， 再证有一个角是直角或者对角线相等． (2) 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它们的所 有性质． 7 ． (2017· 济南中考 ) 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相 交于点 O ， AB ＝ 3 ， E 为 OC 上一点， OE ＝ 1 ，连接 BE ，过点 A 作 AF⊥BE 于点 F ，与 BD 交于点 G ，则 BF 的长是 ( ) A 8 ． (2018· 青岛中考 ) 已知正方形 ABCD 的边长为 5 ，点 E ， F 分 别在 AD ， DC 上， AE ＝ DF ＝ 2 ， BE 与 AF 相交于点 G ，点 H 为 BF 的 中点，连接 GH ，则 GH 的长为 ． 9 ． (2015· 潍坊中考 ) 如图 1 ，点 O 是正方形 ABCD 两对角线的 交点．分别延长 OD 到点 G ， OC 到点 E ，使 OG ＝ 2OD ， OE ＝ 2OC ， 然后以 OG ， OE 为邻边作正方形 OEFG ，连接 AG ， DE. (1) 求证： DE⊥AG. (2) 正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 α 角 (0°