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第二课　 参数方程 【 网络体系 】 【 核心速填 】 1. 参数方程的定义 在给定的坐标系中 , 如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都 是某个变数 t 的函数 ①并且对于 t 的每一个允 许值 , 由方程组①所确定的点 M(x,y ) 都在这条曲线上 , 那么方程组①就叫做这条曲线的 _________, 联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数 , 简称参数 . 参数方程中的参数 可以是有物理意义或几何意义的变数 , 也可以是没有明 显意义的变数 . 参数方程 2. 常见曲线的参数方程 (1) 直线 . 直线的标准参数方程即过定点 M 0 (x 0 ,y 0 ), 倾斜角为 α(α ≠ ) 的直线 l 的参数方程的标准形式为 ____________(t 为参数 ) (2) 圆 . ① 圆 x 2 +y 2 =r 2 的参数方程为 ____________(θ 为参数 ) ② 圆 (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 的参数方程为 ____________(θ 为参数 ) (3) 椭圆 . 中心在原点 , 对称轴为坐标轴的椭圆 b 2 x 2 +a 2 y 2 =a 2 b 2 的参 数方程为 _________ ( φ 为参数 ) (4) 双曲线 . 中心在原点 , 对称轴为坐标轴的双曲线 b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 的 参数方程为 ___________ ( φ 为参数 ) (5) 抛物线 . 抛物线 y 2 =2px(p>0) 的参数方程为 __________ (α 为参 数 ) 或 __________ (t 为参数 ) 【 易错警示 】 (1) 直线的标准参数方程为 (t 为参数 ) ① 参数 t 的几何意义 : 即 t 为有向线段 的数量 , 并 注意 t 的正负值 . ② 参数 t 的几何意义中有如下常用结论 : (i) 若 M 1 ,M 2 为直线上任意两点 :M 1 ,M 2 对应 t 的值分别为 t 1 ,t 2 , 则 |M 1 M 2 |=|t 1 -t 2 |. (ii) 若 M 0 为 M 1 M 2 的中点 , 则有 t 1 +t 2 =0. (iii) 弦 M 1 M 2 的中点为 M, 则 M 0 M= t M = (2) 直线的参数方程的一般式 (t 为参数 ) 只 有当 a 2 +b 2 =1 且 b>0 时 , 具有上述几何意义 ( 若 b0 时 , 参数方程 同样具有上述几何意义 . (3) 应用上述公式解题时 , 一定要区分直线的参数方程是否为标准形式 , 以免出现错误 . 类型一 　参数方程化为普通方程 【 典例 1】 把下列参数方程化成普通方程 : (1) (θ 为参数 ) (2) (t 为参数 , a,b >0) 【 解析 】 (1) 由 所以 5x 2 +4xy+17y 2 -81=0. (2) 由题意 , 得 所以① 2 -② 2 得 所以 =1, 其中 x>0. 【 方法技巧 】 参数方程化为普通方程的注意事项 (1) 在参数方程与普通方程的互化中 , 必须使 x,y 的取值范围保持一致 , 由参数方程化为普通方程时需要考虑 x 的取值范围 , 注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定 . (2) 消除参数的常用方法有 :① 代入消参法 ;② 三角消参法 ;③ 根据参数方程的特征 , 采用特殊的消参手段 . 【 变式训练 】 1. 抛物线 (t 为参数 ) 的准线方程 是　 ( 　　 ) A.x =1 　　　 B.x =-1 C.y =1 D.y =-1 【 解析 】 选 D. 化参数方程为直角坐标方程 , 得 x 2 =4y, 其准线方程为 y=-1. 2. 判断方程 (θ 是参数且 θ∈(0,π)) 表示的曲线的形状 . 【 解析 】 两式平方相减得 x 2 -y 2 =4, 因为 θ∈(0,π), 所以 x= sinθ + ≥2, y= sinθ - = ≤0, 所以方程表示的曲线是等轴双曲线 =1 的右支在 x 轴及其下方的部分 . 类型二 　直线与圆的参数方程的应用 【 典例 2】 (2016 · 沈阳高二检测 ) 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 的参数方程为 (α 为参数 ), 在以坐标 原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 , 直线 l 的 极坐标方程为 (1) 求曲线 C 与直线 l 在该直角坐标系下的普通方程 . (2) 动点 A 在曲线 C 上 , 动点 B 在直线 l 上 , 定点 P(-1,1), 求 |PB|+|AB| 的最小值 . 【 解题指南 】 (1) 利用 sin 2 α +cos 2 α =1 消去参数 , 可得 曲线 C 的普通方程 , 根据 即可得直线 l 在该 直角坐标系下的普通方程 . (2) 作点 P 关于直线的对称点 Q, 利用 |PB|+|AB|=|QB|+ |AB|≥|QC|-1, 仅当 Q,B,A,C 四点共线时 , 且 A 在 B,C 之间 时等号成立 , 可求得最小值 . 【 解析 】 (1) 由曲线 C 的参数方程 可得 (x-2) 2 +y 2 =1, 由直线 l 的极坐标方程为 可得 ρ(sinθ+cosθ )=4, 即 x+y =4. (2) 方法一 : 设 P 关于直线 l 的对称点为 Q(a,b ), 故 所以 Q(3,5), 由 (1) 知曲线 C 为圆 , 圆心 C(2,0), 半径 r=1, |PB|+|AB|=|QB|+|AB|≥|QC|-1. 仅当 Q,B,A,C 四点共线时 , 且 A 在 B,C 之间时等号成立 , 故 (| PB|+|AB|) min = -1. 方法二 : 如图 , 圆心 C 关于直线 l 的对称点为 D(4,2), 连接 PD, 交直线 l 于点 B,|PB|+|AB|=|PB|+|BC|-1=|PB|+|BD| -1≥|PD|-1= -1. 【 延伸探究 】 若本例的条件不变 , 圆心为 C, 如何在直线 l 上求一点 B, 使 |PB|+|BC| 取得最小值 ? 求出最小值 . 【 解析 】 如典例中的解析图可知 , 圆心 C 关于直线的对称点为 D(4,2), 连接 PD, 交直线 l 于点 B,|PB|+|BC|= |PB|+|BD| ≥ |PD|= 求得 B 的坐标为 【 方法技巧 】 几何性质在求最大值或最小值中的应用 (1) 关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值求法 , 常常利用对称性以及两点之间线段最短解决 . (2) 有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题 , 常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等 . 【 变式训练 】 1.(2016 · 成都高二检测 ) 已知极坐标的 极点在直角坐标系的原点 O 处 , 极轴与 x 轴的正半轴重合 . 曲线 C 的参数方程为 ( φ 为参数 ), 直线 l 的极坐 标方程是 ρ(cosθ+2sinθ)=15. 若点 P,Q 分别是曲线 C 和直线 l 上的动点 , 则 P,Q 两点之间距离的最小值是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 曲线 C 的参数方程为 ( φ 为参数 ) 的普通方程为 =1, 直线 l : ρ (cos θ +2sin θ )=15 的直角坐标方程是 x+2y-15=0. 因为点 P,Q 分别是曲线 C 和直线 l 上的动点 , 设 P(3cosθ, 2sinθ),P 到直线的距离为 d= 2.(2016 · 黄石高二检测 ) 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2sinθ, 直线 l 的参数方程是 (t 为参数 ). (1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程 . (2) 设直线 l 与 x 轴的交点是 M,N 是曲线 C 上一动点 , 求 |MN| 的最大值 . 【 解题指南 】 (1) 利用公式 将极坐标方程化 为直角坐标方程 . (2) 将直线的参数方程化为普通方程 , 利用几何性质计 算最大值 . 【 解析 】 (1) 曲线 C 的极坐标方程可化为 ρ 2 =2 ρ sin θ , 又 x 2 +y 2 =ρ 2 ,x= ρcosθ,y = ρsinθ , 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 +y 2 -2y=0. (2) 将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程 , 得 y=- (x -2), 令 y=0, 得 x=2, 即 M 点的坐标为 (2,0). 又曲线 C 为圆 , 圆 C 的圆心坐标为 (0,1), 半径 r=1, 则 |MC|= . 所以 | MN|≤|MC|+r = +1. 所以 |MN| 的最大值为 +1. 类型三 　直线与圆锥曲线的综合题 【 典例 3】 求椭圆 =1 上的点到直线 l :x+2y-10=0 的最小距离及相应的点 P 的坐标 . 【 解析 】 设椭圆 =1 上的点 P(2cos θ , sin θ ), P 到直线 l :x+2y-10=0 的距离为 d= 当且仅当 sin( θ + ) =1 即 θ= 时取等号 , 最小距离为 此时点 P(2cos , sin ) ， 即 P 为所求 . 【 方法技巧 】 椭圆的参数方程以及应用 长半轴为 a, 短半轴为 b, 中心在原点的椭圆 =1 (a>b>0) 的参数方程为 (θ 为参数 ) 椭圆的参 数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有 着广泛的应用 , 通常将上述问题转化为三角函数的性质 加以解决 . 【 变式训练 】 1.(2016 · 全国卷 Ⅱ) 在直角坐标系 xOy 中 , 圆 C 的方程为 (x+6) 2 +y 2 =25. (1) 以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 求 C 的极坐标方程 . (2) 直线 l 的参数方程是 (t 为参数 ), l 与 C 交于 A,B 两点 ,|AB|= , 求 l 的斜率 . 【 解析 】 (1) 整理圆的方程得 x 2 +y 2 +12x+11=0, 由 可知圆 C 的极坐标方程为 ρ 2 +12ρcosθ+11=0. (2) 由题意可得直线过原点且斜率存在 , 记直线的斜率为 k, 则直线的方程为 kx-y =0, 由垂径定理及点到直线距离公式知 : 即 整理得 k 2 = , 则 k=± . 2.(2016 · 临汾高二检测 ) 在平面直角坐标系 xOy 中 , 曲 线 C 的参数方程为 (t 为参数 ) 以坐标原点为 极点 ,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 直线 l 的极坐 标方程为 3ρcosθ+2ρsinθ=12. (1) 求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程 . (2) 若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点 ,M 为曲线 C 与 y 轴负半轴的交点 , 求四边形 OMAB 的面积 . 【 解析 】 (1) 由 所以 =(cost) 2 +(sint) 2 =1. 所以曲线 C 的普通方程为 在 3ρcosθ+2ρsinθ=12 中 , 由 ρcosθ = x,ρsinθ = y 得 3x+2y-12=0. 所以直线 l 的直角坐标方程为 3x+2y-12=0. (2) 由 (1) 可得 M(0,-2 ), 联立方程 易得 A(4,0),B(2,3), 所以四边形 OMAB 的面积为 ×4×(3+2 )=6+4 . 类型四 　用参数法求轨迹方程 【 典例 4】 过点 P(2,4) 作两条互相垂直的直线 l 1 , l 2 , 若 l 1 交 x 轴于 A 点 , l 2 交 y 轴于 B 点 , 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 . 【 解析 】 设 M(x,y ), 设直线 l 1 的方程为 y-4=k(x-2), (k ≠ 0) 由 l 1 ⊥ l 2 , 则直线 l 2 的方程为 y-4=- (x-2), 所以 l 1 与 x 轴交点 A 的坐标为 l 2 与 y 轴交点 B 的坐标为 因为 M 为 AB 的中点 , 所以 (k 为参数 ) 消去参数 k, 得 x+2y-5=0. 另外 , 当 k=0 时 , l 1 与 x 轴无交点 ; 当 k 不存在时 ,AB 中点为 M(1,2), 满足上述轨迹方程 . 综上所述 ,M 的轨迹方程为 x+2y-5=0. 【 方法技巧 】 建立参数求动点轨迹方程的方法步骤 (1) 首先根据运动系统的运动规律设参数 , 然后运用这些参数列式 , 再从这些式子中消参 , 最后讨论轨迹的纯粹性和完备性 . (2) 参数法求轨迹方程的关键是设参数 , 参数不同 , 整个思维和运算过程不同 , 若设参数不当 , 则会增大运算量 . (3) 用参数法求解时 , 一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量 , 如时间 , 速度 , 距离 , 角度 , 有向线段的数量 , 直线的斜率 , 点的横、纵坐标等 . 也可以没有具体的意义 , 选定参变量还要特别注意参数的取值范围 . 【 变式训练 】 1. 动圆 x 2 +y 2 -2axcosθ-2bysinθ=0(a,b 是正常数 , a≠b,θ 是参数 ) 的圆心的轨迹是　 ( 　　 ) A. 直线　　　 B. 圆　　　 C. 椭圆　　　 D. 双曲线 【 解析 】 选 C. 动圆 x 2 +y 2 -2axcos θ -2bysin θ =0(a,b 是 正常数 , a ≠ b, θ 是参数 ) 的圆心坐标的参数方程为 普通方程为 =1(a>0,b>0,a ≠ b), 这 是椭圆的普通方程 . 2. 过抛物线 y 2 =2px(p>0) 的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA,OB, 求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程 . 【 解析 】 设 M(x,y ), 直线 OA 的斜率为 k(k≠0), 则直线 OB 的斜率为 - . 直线 OA 的方程为 y= kx , 同理可得 B(2pk 2 ,-2pk). 由中点坐标公式 , 得 (k 为参数 ) 消去 k, 即得点 M 的轨迹方程 y 2 =p(x-2p).