5.1 相交线
2.
如图
,
直线
AB.CD.EF
相交于点
O,
则
1).
∠AOC
的对顶角是
____________
2).
∠AOD
的对顶角是
____________
3).∠BOC
的邻补角是
____________
4).∠BOE
的邻补角是
____________
A
B
C
D
E
F
O
(
一
)
复习
1.
两条直线相交会出现那些特殊角
?
∠BOD
∠BOC
∠
AOC
和
∠
BOD
∠
AOE
和
∠
BOF
1.
垂直定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相
垂直
，其中一条直线叫另一条直线的
垂线
，它们的交点叫
垂足
。
例如、如图，
a
、
b
互相垂直
,O
叫垂足
.a
叫
b
的垂线，
b
也叫
a
的垂线。
b
a
O
一、垂直的定义
从垂直的定义可知，
判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。
1.
垂直定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相
垂直
，其中一条直线叫另一条直线的
垂线
，它们的交点叫
垂足
。
b
a
用“
⊥
”和直线字母表示垂直
O
α
2.
垂直的表示：
例如、如图，
a
、
b
互相垂直
,
垂足为
O
，
则记为：
a
⊥
b
或
b
⊥
a,
若要强调垂足，则记为：
a
⊥
b,
垂足为
O.
日常生活中
,
两条直线互相垂直的情形很常见
,
说出图
5.1-6
中的一些互相垂直的线条
.
你能再举出其他例子吗
?
生活中的垂直
生活中的垂直
A
B
C
D
O
书写形式：
如图，当直线
AB
与
CD
相交于
O
点，
∠
AOD=90
°
时，
AB
⊥
CD
，
垂足为
O
。
∵∠
AOD=90
°
（
已知
）
∴
AB
⊥
CD
（
垂直的定义
）
书写形式：
反之，若直线
AB
与
CD
垂直，垂足为
O
，
那么，
∠
AOD=90
°
。
3.
垂直的书写形式：
∵
AB
⊥
CD
（
已知
）
∴ ∠
AOD=90
°
（
垂直的定义
）
应用垂直的定义：
∠
AOC=
∠
BOC=
∠
BOD=90
°
练习：
1.
如图，直线
AB
、
CD
相交于点
O
，
OE
⊥
AB
，
∠
1=125
°
,
求
∠
COE
的度数
.
A
C
E
B
D
O
1
）
2
、
如图
,∠ABC=90
°
,∠1=60
°
,
过
B
作
AC
的垂线
BO,
垂足是
O,
过
O
作
BC
的垂线
,
垂足是
D,
若∠
1= ∠2,
求∠
ABO, ∠BOD.
∵
BO
⊥AC
于
O
点
1
2
A
B
C
D
O
）
)
（已知）
∵∠
ABC=90
°( )
∠
1=60°
（ ）
已知
∴∠
ABO=30°
解：
（已知）
∴∠
BOC=90°
∴∠
BOD=30°
（互余的定义）
（互余的定义）
已知
（垂直的定义）
又
∵
∠
2=∠1
∴
∠
2=60°
（等量代换）
1
．下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有
___
个
[ ]
(1)
两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直．
(2)
两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直．
(3)
两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直．
(4)
两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．
A
．
4 B
．
3 C
．
2 D
．
1
选择题
巩固练习
A
看谁做得快
1.
若直线
m
、
n
相交于点
O
，
∠
1
＝
90°
，则
__________
。
2.
若直线
AB
、
CD
相交于点
O
，
且
AB
⊥
CD
，那么∠
BOD
＝
____
。
3.
如图，
BO
⊥
AO
，∠
BOC
与∠
BOA
的度数之比为
1:5
，
那么∠
COA
＝
_____,
∠
BOC
的补角为
______
度。
O
m
n
1
B
C
A
O
m
⊥
n
90°
72°
162
二、垂线的画法
问题：
怎么样画垂线？
1.
垂线的画法：
问题：
这样画
l
的垂线可以画几条？
1
放、
2
靠、
3
画线、
l
O
如图，已知直线
l
,
作
l
的垂线。
工具：直尺、三角板
A
无数条
1.
垂线的画法：
l
A
如图，已知直线
l
和
l
上
的一点
A ,
作
l
的垂线
.
B
4
画线
:
沿着三角板的另一直角边画出垂线
.
1
放
:
放直尺
,
直尺的一边要与已知直线重合
;
3
移
:
移动三角板到已知点
;
2
靠
:
靠三角板
,
把三角板的一直角边靠在直尺上
;
则所画直线
AB
是过点
A
的直线
l
的垂线
.
1.
垂线的画法：
l
A
如图，已知直线
l
和
l
外
的一点
A ,
作
l
的垂线
.
B
4
画线
:
沿着三角板的另一直角边画出垂线
.
1
放
:
放直尺
,
直尺的一边要与已知直线重合
;
3
移
:
移动三角板到已知点
;
2
靠
:
靠三角板
,
把三角板的一直角边靠在直尺上
;
则所画直线
AB
是过点
A
的直线
l
的垂线
.
请同学们画一下
结论
:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
.
能作一条
,
而且只能作一条
.
问题
:
过已知直线
l
和
l
上
(
或外
)
的一点
A ,
作
l
的垂线
,
可以作几条
?
注意
:
过一点画已知线段
(
或射线
)
的垂线
,
就是画这条线段
(
或射线
)
所在直线的垂线
.
课堂练习
1
．选择题
过点 向线段 所在直线引垂线，正确的是（ ）
.
A B C D
C
课堂练习：
2.
过点
P
作线段或射线所在直线的垂线
A
B
.
.
.P
(1)
.
O
.P
.A
(2)
3.
过点
P
分别向角的两边作垂线
.P
.P
.P
.P
二、生活中的问题
·
P
三、知识探究
．
Ｐ
．
．
．
．
．
．
．
．
．
O
A
1
A
2
A
3
A
4
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
或说成
垂线段最短
直线外一点到这条直线的
垂线段
的
长度
，叫做
点到直线的距离。
四、知识应用
．
．
A
O
1
、如图，点
A
处是一座小屋，
BC
是一条公路，一人在
O
处。
（
1
）此人到小屋去，怎样走最近？为什么？
（
2
）此人要到公路去，怎样走最近？为什么？
2
、下列说法正确的是（ ）
A
B
C
D
（
A
）
线段
AB
叫做点
B
到直线
AC
的距离。
（
B
）
线段
AB
的长度叫做点
A
到直线
AC
的距离
（
C
）
线段
BD
的长度叫做点
D
到直线
BC
的距离
（
D
）
线段
BD
的长度叫做点
B
到直线
AC
的距离
3
、
如图所示，有两条高速公路
l
，
m
，点
P
为公路
l
上的一个出口，现要经过点
P
建一连接两高速公路的一段通道，欲使炉衬最短，应怎样施工？
．
Ｐ
l
m
A
B
C
4
、如图，
P
为
ABC
的平分线上一点
（
1
）、分别画出点
P
到边
BA
、
BC
的垂线段；
（
2
）、分别量出点
P
到边
BA
、
BC
的距离。
4
、如图所示，在
△
ABC
中，
∠
ABC=90
，
①
过点
B
作三角形
ABC
的
AC
边上的高
BD
，过
D
点作三角形
ABD
的
AB
边上的高
DE
。
②点
A
到直线
BC
的距离是线段
.
的长度
.
点
B
到直线
AC
的距离是线段
.
的长度
.
点
D
到直线
AB
的距离是线段
.
的长度
线段
AD
的长度是点
.
到直线
.
的距离
.
AB
BD
DE
A
BD
A
C
B
E
D
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