第七章 第三节.ppt

第三节　图形的相似与位似 知识点一 比例线段及其性质 1 ．线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段 AB ， CD 的长度分别是 m ， n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 AB∶CD ＝ m∶n . 2 ．比例线段：四条线段 a ， b ， c ， d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ，那么这四条线段 a ， b ， c ， d 叫做成 比例线段，简称比例线段． 3 ．比例线段的性质 (1) 如果 ，那么 _______ ； (2) 如果 ad ＝ bc(a ， b ， c ， d 都不等于 0) ，那么 ＝ ___ ； (3) 如果 (b ＋ d ＋ … ＋ n≠0) ，那么 ＝ ___ ． ad ＝ bc 4 ．平行线分线段成比例 (1) 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例． (2) 推论：平行于三角形一边，并且与其他两边相交的直 线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 5 ．黄金分割：一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(AC>BC) ，如果 __________ ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分 割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金 比，黄金比为 ________________ ． ≈0.618 知识点二 相似多边形 1 ．相似多边形：各角 分别 _____ 、各边 _______ 的两个多边 形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做 _______ ． 2 ．相似多边形的性质 (1) 相似多边形的对应角相等，对应边之比等于相似比． (2) 相似多边形的周长比等于 _______ ，面积比等于 _________ _____ ． 相等 成比例 相似比 相似比 相似比的 平方 知识点三 相似三角形 1 ．相似三角形：三角 分别 _____ 、三边 _______ 的两个三角形 叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比． 相等 成比例 2 ．相似三角形的判定定理 (1) 两角分别 _____ 的两个三角形相似； (2) 两边 _______ 且夹角 _____ 的两个三角形相似； (3) 三边 _______ 的两个三角形相似． 相等 成比例 相等 成比例 3 ．相似三角形的性质 (1) 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线 的比都等于 _______ ； (2) 相似三角形的周长比等于 _______ ，面积比等于 _______ _______ ． 相似比 相似比 相似比 的平方 常见的相似三角形的基本类型有以下几类： 注：对于 5. 双垂图有：① AB 2 ＝ BD·BC ；② AC 2 ＝ CD·BC ； ③ AD 2 ＝ BD·CD. 对于 6. 拓展型仅有 AC 2 ＝ CD·BC. 知识点四 图形的位似 1 ．位似多边形：一般地，如果两个相似多边形任意一组对 应顶点 P ， P′ 所在的直线都经过同一点 O ，且有 OP′ ＝ k·OP(k≠0) ，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点 O 叫做 _________ ． k 就是这两个相似多边形的 _______ ． 位似中心 相似比 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图 形．位似中心的位置确定方法是对应点连线的交点，可能在图形外也可能在图形内或图形上． 2 ．位似图形的性质 (1) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 _______ ； (2) 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐 标、纵坐标都乘同一个数 k(k≠0) ，所对应的图形与原图形 _____ ，位似中心是 _________ ，它们的相似比为 ____. 相似比 位似 坐标原点 |k| 考点 一 比例的有关概念及性质 (5 年 1 考 ) 例 1 如图， l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ，直线 a ， b 与 l 1 ， l 2 ， l 3 分别相交于点 A ， B ， C 和点 D ， E ， F. 若 ， DE ＝ 4 ，则 EF 的长是 ( ) A. B. C ． 6 D ． 10 【 分析 】 根据平行线分线段成比例，可得 ，代入 数值计算即可． 【 自主解答 】 ∵ l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ，∴ ， ∴ EF ＝ DE ＝ ×4 ＝ 6. 故选 C. 1 ．如图，△ ABC 中，点 D ， E 分别在边 AB ， BC 上， DE∥AC. 若 BD ＝ 4 ， DA ＝ 2 ， BE ＝ 3 ，则 EC ＝ ___ ． 2 ． (2016· 湘潭 ) 如图，直线 a∥b∥c ，点 B 是线段 AC 的中 点．若 DE ＝ 2 ，则 EF ＝ __ ． 2 考点二 相似三角形的性质与判定 (5 年 5 考 ) 命题角度❶　相似三角形的性质与判定 例 2 (2017· 潍坊 ) 如图，在△ ABC 中， AB≠AC.D ， E 分别为边 AB ， AC 上的点． AC ＝ 3AD ， AB ＝ 3AE ，点 F 为 BC 边上一点，添加一个条件： __________________ ，可以使得△ FDB 与△ ADE 相似． ( 只需写出一个 ) 【 分析 】 利用相似三角形的判定方法填写条件即可． 【 自主解答 】 ∵∠A ＝∠ A ， ， ∴△ ADE∽△ACB. 当 DF∥AC 时，△ BDF∽△BAC ，∴△ BDF∽△EAD. 故答案为 DF∥AC.( 答案不唯一 ) 讲： 判定两个三角形相似的误区 在利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似时，一定要确保成比例的两边所夹角为相等角，这是最易触雷的地方． 练： 链接变式训练 3 3 ．如图，△ ACD 和△ ABC 相似需具备的条件是 ( ) C 4 ． (2017· 永州 ) 如图，在△ ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点， 若∠ ACD ＝∠ B ， AD ＝ 1 ， AC ＝ 2 ，△ ADC 的面积为 1 ，则△ BCD 的面积为 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 C 5 ． (2017· 杭州 ) 如图，在 Rt△ABC 中，∠ BAC ＝ 90° ， AB ＝ 15 ， AC ＝ 20 ，点 D 在边 AC 上， AD ＝ 5 ， DE⊥BC 于点 E ，连接 AE ，则△ ABE 的面积等于 ___ ． 78 命题角度❷　相似三角形的综合题 例 3 (2016· 烟台 ) 【 探究证明 】 (1) 某班数学课题学习小组对矩形内两条相互垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探讨，提出下列问题，请你给出证明．如图 1 ，矩形 ABCD 中， EF⊥GH ， EF 分别交 AB ， CD 于点 E ， F ， GH 分别交 AD ， BC 于点 G ， H. 求证： . 【 结论应用 】 (2) 如图 2 ，在满足 (1) 的条件下，又 AM⊥BN ，点 M ， N 分别在 边 BC ， CD 上．若 ，则 的值为 ____________ ． 【 联系拓展 】 (3) 如图 3 ，四边形 ABCD 中，∠ ABC ＝ 90° ， AB ＝ AD ＝ 10 ， BC ＝ CD ＝ 5 ， AM⊥DN ，点 M ， N 分别在边 BC ， AB 上，求 的值． 【 分析 】 (1) 过点 A 作 AP∥EF ，交 CD 于 P ，过点 B 作 BQ∥GH ， 交 AD 于 Q ，证明△ PDA∽△QAB ，然后利用相似三角形的性质 解决问题； (2) 运用 (1) 中的结论，解答即可． (3) 过点 D 作平行于 AB 的直线，交过点 A 平行于 BC 的直线于 R ，交 BC 的延长线于 S ，证明四边形 ABSR 是矩形，由 (1) 中的 结论可得 ，再根据勾股定理求得 AR ，从而得出答 案． 【 自主解答 】 (1) 如图，过点 A 作 AP∥EF ，交 CD 于点 P ，过点 B 作 BQ∥GH ，交 AD 于点 Q ，交 AP 于点 T ， ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB∥DC ， AD∥BC ， ∴四边形 AEFP 和四边形 BHGQ 都是平行四边形， ∴ AP ＝ EF ， BQ ＝ GH. ∵GH⊥EF ，∴ AP⊥BQ ，∴∠ QAT ＋∠ AQT ＝ 90°. ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴∠ DAB ＝∠ D ＝ 90° ， ∴∠ DAP ＋∠ DPA ＝ 90° ，∴∠ AQT ＝∠ DPA ， ∴△ PDA∽△QAB ，∴ ，∴ . (2) (3) 如图，过点 D 作平行于 AB 的直线，交过点 A 平行于 BC 的直线于点 R ，交 BC 的延长线于点 S. ∵∠ABC ＝ 90° ，∴平行四边形 ABSR 是矩形， ∴∠ R ＝∠ S ＝ 90° ， RS ＝ AB ＝ 10 ， AR ＝ BS. ∵AM⊥DN ，∴由 (1) 中结论可得 . 设 SC ＝ x ， DS ＝ y ，则 AR ＝ BS ＝ 5 ＋ x ， RD ＝ 10 － y ， 在 Rt△CSD 中， x 2 ＋ y 2 ＝ 25.① 在 Rt△ARD 中， (5 ＋ x) 2 ＋ (10 － y) 2 ＝ 100.② 由②－①得 x ＝ 2y － 5. ∴AR ＝ 5 ＋ x ＝ 8 ， 6 ． (2017· 诸城一模 ) 将△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 θ 度，并使各边长变为原来的 n 倍，得△ AB′C′ ，即如图 1 ， 我们将这种变换记为 [θ ， n] ． (1) 如图 1 ，对△ ABC 作变换 [60° ， ] 得△ AB′C′ ，则 S △AB′C′ ∶S △ABC ＝ ____________ ；直线 BC 与直线 B′C′ 所夹 的锐角为 ____________ 度； (2) 如图 2 ，△ ABC 中，∠ BAC ＝ 30° ，∠ ACB ＝ 90° ，对△ ABC 作变换 [θ ， n] 得△ AB′C′ ，使点 B ， C ， C′ 在同一直线上，且四边形 ABB′C′ 为矩形，求 θ 和 n 的值； (3) 如图 3 ，△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝ 36° ， BC ＝ 1 ，对△ ABC 作变换 [θ ， n] 得△ AB′C′ ，使点 B ， C ， B′ 在同一直线上，且四边形 ABB′C′ 为平行四边形，求 θ 和 n 的值． 解： (1)3∶1 　 60 (2)∵ 四边形 ABB′C′ 是矩形，∴∠ BAC′ ＝ 90° ， ∴ θ ＝∠ CAC′ ＝∠ BAC′ －∠ BAC ＝ 90° － 30° ＝ 60°. 在 Rt△ABB ′ 中，∠ ABB′ ＝ 90° ，∠ BAB′ ＝ 60° ， ∴∠ AB′B ＝ 30° ，∴ n ＝ ＝ 2. (3)∵ 四边形 ABB′C′ 是平行四边形，∴ AC′∥BB′. 又∵∠ BAC ＝ 36° ，∴ θ ＝∠ CAC′ ＝∠ AC′B′ ＝ 72° ， ∴∠ BB′A ＝∠ BAC ＝ 36° ，而∠ B ＝∠ B ， ∴△ ABC∽△B′BA ，∴ AB∶BB′ ＝ CB∶AB ， ∴ AB 2 ＝ CB·BB′ ＝ CB(BC ＋ CB′) ， 而 CB′ ＝ AC ＝ AB ＝ B′C′ ， BC ＝ 1 ， ∴AB 2 ＝ 1×(1 ＋ AB) ，解得 AB ＝ ∵AB ＞ 0 ，∴ n ＝ 考点三 图形的位似 (5 年 0 考 ) 　　　 例 4 (2017· 高密二模 ) 如图，线段 CD 两个端点的坐标分别为 C(1 ， 2) ， D(2 ， 0) ，以原点为位似中心，将线段 CD 放大得到线段 AB ，若点 B 的坐标为 (5 ， 0) ，则点 A 的坐标为 ____________ ． 【 分析 】 根据题意得到 B 点与 D 点是对应点，根据 B 点与 D 点的坐标求出位似比，根据位似变换的性质计算即可． 【 自主解答 】 由题意知 B 点与 D 点是对应点， 又∵点 D(2 ， 0) ，点 B(5 ， 0) ， ∴位似比为 5∶2 ，∵ C(1 ， 2) ，∴点 A(2.5 ， 5) ． 故答案为 (2.5 ， 5) ． 讲： 确定位似图形的位置 解答此类问题时，先确定点的坐标及相似比，再分别把横、纵坐标与相似比相乘即可．注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘的相似比的正负，这是最易出错的地方． 练： 链接变式训练 7 7 ．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点 A ， B ， E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 6 ，则 C 点坐标为 ( ) A ． (3 ， 2) B ． (3 ， 1) C ． (2 ， 2) D ． (4 ， 2) A 8 ． (2017· 烟台 ) 如图，在直角坐标系中，每个小方格的边 长均为 1 ，△ AOB 与△ A′OB′ 是以原点 O 为位似中心的位似 图形，且相似比为 3∶2 ，点 A ， B 都在格点上，则点 B′ 的坐 标是 __________ ． 考点四 相似三角形的应用 (5 年 1 考 ) 例 5 (2014· 潍坊 ) 如图，某水平地面上建筑 物的高度为 AB ，在点 D 和点 F 处分别竖立高是 2 米的标杆 CD 和 EF ，两标杆相隔 52 米，并且建筑物 AB 、标杆 CD 和 EF 在同一竖直平面内，从标杆 CD 后退 2 米到点 G 处，在 G 处 测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 C 在同一条直线上；从标杆 FE 后 退 4 米到点 H 处，在 H 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 E 在同一 条直线上，则建筑物的高是 ____________ 米． 【 分析 】 根据题意可得△ CDG∽△ABG ，△ EFH∽△ABH ，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【 自主解答 】 ∵AB⊥BH ， CD⊥BH ， EF⊥BH ， ∴ AB∥CD∥EF ， ∴△ CDG∽△ABG ，△ EFH∽△ABH ， 解得 AB ＝ 54. 故答案为 54. 9 ．如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图． 在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射 后，刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处．已知 AB⊥BD ， CD⊥BD ， 且测得 AB ＝ 1.4 米， BP ＝ 2.1 米， PD ＝ 12 米，那么该古城墙 CD 的高度是 ( ) A ． 6 米 B ． 8 米 C ． 10 米 D ． 12 米 B 10 ．如图，阳光通过窗口 AB 照射到室内，在地面上留下 4 米 宽的亮区 DE ，已知亮区 DE 到窗口下的墙角距离 CE ＝ 5 米，窗 口高 AB ＝ 2 米，那么窗口底边离地面的高 BC ＝ ____ 米． 2.5