选修4-5 第2讲.ppt

第 2 讲　不等式的证明 最新考纲 　 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法 . 知 识 梳 理 a － b >0 充分条件 (3) 综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即 “ 由因寻果 ” 的方法，这种证明不等式的方法称为综合法 . (4) 反证法的证明步骤 第一步：作出与所证不等式 _______ 的假设； 第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立 . 相反 2. 几个常用基本不等式 (1) 柯西不等式： ① 柯西不等式的代数形式：设 a ， b ， c ， d 都是实数，则 ( a 2 ＋ b 2 )( c 2 ＋ d 2 ) ≥____________ ( 当且仅当 ad ＝ bc 时，等号成立 ). ② 柯西不等式的向量形式：设 α ， β 是两个向量，则 | α || β | ≥ | α · β | ，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k ，使 α ＝ k β 时，等号成立 . ( ac ＋ bd ) 2 诊 断 自 测 1. 判断正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 用反证法证明命题 “ a ， b ， c 全为 0 ” 时假设为 “ a ， b ， c 全不为 0 ”. ( 　　 ) (2) 若实数 x ， y 适合不等式 xy ＞ 1 ， x ＋ y ＞－ 2 ，则 x ＞ 0 ， y ＞ 0.( 　　 ) 答案　 (1) × 　 (2) √ 答案 　 A C 规律方法 　当所证明的不等式不能使用比较法 ， 且和重要不等式、基本不等式没有直接联系 ， 较难发现条件和结论之间的关系时 ， 可用分析法来寻找证明途径 ， 使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 . 规律方法 　 (1) 综合法证明不等式 ，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系 . 合理进行转换 ， 恰当选择已知不等式 ， 这是证明的关键 . (2) 在用综合法证明不等式时 ， 不等式的性质和基本不等式是最常用的 . 在运用这些性质时 ， 要注意性质成立的前提条件 . [ 思想方法 ] 证明不等式的方法和技巧： (1) 如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以 “ 至少 ”“ 至多 ” 等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等 . (2) 在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明 . 尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的在本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式 ( 组 ) 求解 . 多以绝对值的几何意义或 “ 找零点、分区间、逐个解、并起来 ” 为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据 . [ 易错防范 ] 1. 在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立 . 2. 柯西不等式使用的关键是出现其结构形式，也要注意等号成立的条件 .