2018人教B版数学选修4-4课件1.1　直角坐标系 平面上的伸缩变换 .ppt

1 . 1 　直角坐标系 , 平面上的伸缩变换 1 . 回顾在直角坐标系中刻画点的位置的方法 , 体会坐标系的作用 . 2 . 通过具体例子 , 了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况 . 1 2 1 . 直角坐标系 (1) 直线上点的坐标 ; (2) 平面直角坐标系 ; (3) 空间直角坐标系 . 名师点拨 (1) 直角坐标系的作用 : 使点与坐标 ( 有序实数组 ) 、曲线与方程建立了联系 , 从而实现了数与形的结合 . (2) 坐标法 : 根据几何对象的特征 , 选择适当的坐标系 , 建立它的方程 , 通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系 . (3) 坐标法解决几何问题的步骤 : 第一步 , 建立适当坐标系 , 用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素 , 将几何问题转化成代数问题 ; 第二步 , 通过代数运算 , 解决代数问题 ; 第三步 , 把代数运算结果 “ 翻译 ” 成几何结论 . 1 2 答案 : C 1 2 【做一做 1 - 2 】 已知平行四边形 ABCD , 求证 : AC 2 +BD 2 = 2( AB 2 +AD 2 ) . 证明 如图 , 以边 AB 所在的直线为 x 轴 , 建立平面直角坐标系 xOy , 则 A (0,0) . 设 B ( a ,0), C ( b , c ), 则 D ( b-a , c ), ∴ AB 2 =a 2 , AD 2 = ( b-a ) 2 +c 2 , AC 2 =b 2 +c 2 , BD 2 = ( b- 2 a ) 2 +c 2 . ∵ AC 2 +BD 2 = 4 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 - 4 ab = 2(2 a 2 +b 2 +c 2 - 2 ab ), 而 AB 2 +AD 2 = 2 a 2 +b 2 +c 2 - 2 ab , ∴ AC 2 +BD 2 = 2( AB 2 +AD 2 ) . 1 2 2 . 平面上的伸缩变换 (1) 平面直角坐标系中方程表示图形 , 那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换 , 这就是用代数方法研究几何变换 . (2) 平面上的伸缩变换 : 设点 P ( x , y ) 是平面上任意一点 , 在变 1 2 答案 : D 1 2 答案 : D 建立平面直角坐标系的方法 剖析 一般情况下 , 有如下建立平面直角坐标系的方法 :(1) 当题目中有两条互相垂直的直线时 , 以这两条直线为坐标轴 , 建立平面直角坐标系 ;(2) 当题目中有轴对称图形时 , 以轴对称图形的对称轴为坐标轴 , 建立平面直角坐标系 ;(3) 当题目中有长度已知的线段时 , 以线段所在的直线为 x 轴 , 以端点或中点为原点 , 建立平面直角坐标系 . 在建立平面直角坐标系时 , 应使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上 . 平面直角坐标系建立完后 , 需仔细分析曲线的特征 , 注意揭示隐含条件 . 题型一 题型二 题型三 题型四 【例 1 】 如图所示 , A , B , C 是三个观察站 , A 在 B 的正东方向 , 两地相距 6 km, C 在 B 的北偏西 30° 方向 , 两地相距 4 km, 在某一时刻 , A 观察站发现某种信号 , 并知道该信号的传播速度为 1 km/s,4 s 后 B , C 两个观察站同时发现这种信号 , 在以过 A , B 两点的直线为 x 轴 , 以 AB 的垂直平分线为 y 轴建立的平面直角坐标系中 , 指出发出这种信号的位置 P 的坐标 . 分析 由题意可知 , 点 P 所在的位置满足两个条件 :(1) 在线段 BC 的垂直平分线上 ;(2) 在以 A , B 为焦点的双曲线的右支上 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 合理建立坐标系是我们解决此类问题的关键 , 若坐标系建立得合理 , 则可以简化我们的计算 , 并且使问题的结论清晰明了、具体形象 , 反之 , 将会带来计算的烦琐 , 结果也不明确 . 题型一 题型二 题型三 题型四 【例 2 】 △ ABC 的顶点 A 固定 , 点 A 的对边 BC 的长是 2 a , 边 BC 上的高是 b , 边 BC 沿一条直线移动 , 求 △ ABC 外心的轨迹方程 . 解 : 以边 BC 所在的定直线为 x 轴 , 过 A 作 x 轴的垂线为 y 轴 , 建立直角坐标系 , 则点 A 的坐标为 (0, b ) . 设 △ ABC 的外心为 M ( x , y ) . 取 BC 的中点 N , 则 MN ⊥ BC , 即 MN 是 BC 的 垂直平分线 . ∵ |BC|= 2 a , ∴ |BN|=a , |MN|=|y|. 又 M 是 △ ABC 的外心 , ∴ |MA|=|MB|. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 解决求轨迹方程的问题 , 在掌握求轨迹方程的一般步骤的基础上 , 还要注意 : (1) 选择恰当的坐标系 , 坐标系如果选择得恰当 , 可使解题过程简化 , 减少计算量 ; (2) 要注意给出轨迹的范围 , 在限定范围的基础上求轨迹方程 . 若只求出轨迹方程 , 而没有根据题目要求 , 确定出 x , y 的取值范围 , 则最后的结论是不完备的 . 题型一 题型二 题型三 题型四 分析 将伸缩变换中的 x , y 分别用 X , Y 表示 , 代入已知的曲线方程 , 即可得到所求曲线的方程 , 再由方程判断曲线的类型 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 【例 4 】 在平面直角坐标系中 , 求方程 x+y+ 2 = 0 所对应的图形经过伸缩变 错解 直线 x+ 8 y+ 4 = 0 . 错因分析 点 ( x , y ) 在原曲线上 , 点 ( X , Y ) 在变换后的曲线上 , 因此点 ( x , y ) 的坐标满足原曲线的方程 , 点 ( X , Y ) 的坐标适合变换后的曲线方程 . 错解混淆了 ( x , y ) 和 ( X , Y ) 的含义 . 题型一 题型二 题型三 题型四 1 2 3 4 5 1. 点 P (1, - 2) 关于点 A ( - 1,1) 的对称点 P' 的坐标为 ( 　　 ) A.(3,4) B.( - 3,4) C.(3, - 4) D.( - 3, - 4) 答案 : B 1 2 3 4 5 2. 在平面直角坐标系中 , 已知点 A ( - 1,3), 点 B (3,1), 点 C 在坐标轴上 , ∠ ACB= 90°, 则满足条件的点 C 的个数是 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 解析 : 若点 C 在 x 轴上 , 可设点 C 的坐标为 ( x ,0), 由 ∠ ACB= 90°, 得 |AB| 2 =|AC| 2 +|BC| 2 , ∴ 有 ( - 1 - 3) 2 + (3 - 1) 2 = ( x+ 1) 2 + (0 - 3) 2 + ( x- 3) 2 + (0 - 1) 2 , 解得 x 1 = 0, x 2 = 2 . ∴ 点 C 的坐标为 (0,0) 或 (2,0) . 若点 C 在 y 轴上 , 可设点 C 的坐标为 (0, y ), 由 ∠ ACB= 90°, 得 |AB| 2 =|AC| 2 +|BC| 2 , ∴ 有 ( - 1 - 3) 2 + (3 - 1) 2 = (0 + 1) 2 + ( y- 3) 2 + (0 - 3) 2 + ( y- 1) 2 , 解得 y 1 = 0, y 2 = 4 . ∴ 点 C 的坐标为 (0,0) 或 (0,4) . 故满足条件的点 C 的个数为 3 . 答案 : C 1 2 3 4 5 解析 : 将伸缩变 代入 X 2 +Y 2 = 1, 得 25 x 2 + 9 y 2 = 1 . 答案 : A 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5. 在同一平面直角坐标系中 , 将曲线 x 2 - 36 y 2 - 8 x+ 12 = 0 变成曲线 X 2 -Y 2 - 4 X+ 3 = 0, 求满足条件的伸缩变换 .