初二数学2016年13.3.2等腰三角形的判定课件.ppt

第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 第 2 课时 等腰三角形 —— 等 腰三角形的判定 1 课堂讲解 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定和性质 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 如图，为了固定标杆 AB ，由它上边的某点 C 向地面上的 D , E 两点拉两条绳子，使得 D , B , E 在一 条直线上，如果 DB = BE , 绳子 CD 和 CE 有什么关系 呢？ 1 知识点 等腰三角形的判定 知 1 －导 思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等， 那么它们所对的角相等 . 反过来，如果一个三角 形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 如图 13.3-4 ，在 △ ABC 中， ∠ B =∠ C . 作△ ABC 的角平分线 AD. 在△ BAD 和 △ CAD 中， ∠1=∠2 ， ∠ B =∠ C ， AD = AD , ∴△ BAD ≌△ CAD (AAS). ∴ AB = AC . 知 1 －导 （来自教材 ） 知 1 －导 归 纳 由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判 定方法： 如果一个三角形有两个角相等 . 那么这两个角 所对的边也相等（简写成 “等角对等边” ). （来自教材 ） 【 例 1】 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角 形的一边，那么这个 三角形是等腰三角形 . 已知： ∠ CAE 是 △ ABC 的外角， ∠1=∠2 ， AD // BC ( 图 13.3-5). 求证： AB = AC . 分析： 要证明 AB = AC , 可先证 明 ∠ B =∠ C . 因为 ∠1 = ∠2, 所以可以设法找出 ∠ B ， ∠ C 与 ∠1 ， ∠2 的关系 . 知 1 －讲 证明： ∵ AD // BC ， ∴∠ 1 ＝∠ B ( ), ∠2 ＝∠ C( ), 而已知∠ 1 ＝∠ 2 ，所以 ∠ B ＝∠ C. ∴ AB = AC ( ). 知 1 －讲 （来自教材） 两直线平行同位角相等 两直线平行内错角相等 等角对等边 总 结 知 1 －讲 等腰三角形的判定方法主要有两种： 一是判定定理； 二是定义 . 另外还有很多方法，如在同一个三角形中，三 线中两线重合，也能说明是等腰三角形。但不常用，一 般是通过推理得出角相等或边相等，再得出是等腰三角 形 . 如图， ∠ A =36°, ∠ DBC = 36°, ∠ C = 72°. 分别计算 ∠1, ∠2 的度数，并说 明图中有哪些等 腰三角形 . 知 1 －练 （来自教材） 在△ ABC 中，∠ A 和∠ B 的度数如下，能判定△ ABC 是等腰三角形的是 ( 　　 ) A ．∠ A ＝ 50° ，∠ B ＝ 70° B ．∠ A ＝ 70° ，∠ B ＝ 40° C ．∠ A ＝ 30° ，∠ B ＝ 90° D ．∠ A ＝ 80° ，∠ B ＝ 60° 知 1 －练 （来自教材） 如图，∠ B ＝∠ C ＝ 36° ，∠ ADE ＝∠ AED ＝ 72° ， 则图中的等腰三角形有 ( 　　 ) A ． 3 个 B ． 4 个 C ． 5 个 D ． 6 个 知 1 －练 （来自 《 典中点 》 ） 如果一个三角形的一内角平分线垂直于对边， 那么这个三角形一定是 ( 　　 ) A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 知 1 －练 （来自 《 典中点 》 ） 【 例 2】 已知等腰三角形底边长为 a ，底边上的高的长 为 h , 求作这个等腰 三角形 . 知 1 －讲 （来自 《 教材 》 ） 作法： （ 1) 作线段 AB = a . (2) 作线段 AB 的垂直平分线 MN ，与 AB 相交于点 D . (3) 在 MN 上取一点 C ，使 DC = h . (4) 连接 AC ， BC ，则 △ ABC 就是所求作的等腰三角形 . 知 1 －讲 （来自 《 典中点 》 ） 总 结 知 1 －讲 用尺规作等腰三角形时，先画出草图，对照草图观 察哪些边或角是已知的元素，先画能最多确定三角形顶 点的边或角．本题作法较多： (1) 先作 BC 的垂直平分线 MN ，再以点 B 为圆心，以腰长 为半径作弧交 MN 于点 A ，连接 AB ， AC . (2) 先作一腰，再分别以腰的两个端点为圆心以底和腰长 为半径作弧，两弧的交点即是三角形的第三个顶点． 1 尺规作图题：如图，已知底角∠ α 和腰长 m ， 求作等腰三角形 . 知 1 －练 （来自 《 点拨 》 ） 2 知识点 等腰三角形的判定和性质 知 2 －导 等腰三角形的判定与性质的异同 相同点： 都是在一个三角形中； 区别： 判定是由角到边，性质是由边到角． 即：等边 性质判定等角 . 性质 判定 知 2 －导 拓展： 根据等腰三角形的性质定理和判定定理是 互逆定理可知，由等腰三角形的“三线合一”性 质的逆命题可得出等腰三角形的三个判定方法： (1) 一边上的中线和高线重合时，利用线段的垂直 平分线定理，可以判定为等腰三角形； (2) 一边上的中线和对角的平分线重合时，将中线 倍长，利用三角形全等可以判定为等腰三角形； (3) 一边上的高线和对角的平分线重合时，直接利 用三角形全等可判定为等腰三角形． 【 例 3】 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， EF 交 AB 于 点 E ，交 AC 的延长线于点 F ，交 BC 于点 D ， 且 BE ＝ CF . 求证： DE ＝ DF . 知 2 －讲 （来自 《 点拨 》 ） 导引： 要证 DE ＝ DF ，可构造以 DE 和 DF 为对应边的全 等三角形，不妨过点 E 作 EG ∥ AC 交 BC 于点 G ， 则只要证明△ EDG ≌△ FDC 即可，缺少的条件 可运用等腰三角形的性质及判定得出． 知 2 －讲 （来自 《 点拨 》 ） 证明： 过点 E 作 EG ∥ AC 交 BC 于点 G ，如图，则∠ 1 ＝∠ F ， ∠ 2 ＝∠ 3.∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ 3( 等边对等角 ) ． ∴∠ B ＝∠ 2.∴ BE ＝ EG ( 等角对等边 ) ． 又∵ BE ＝ CF ，∴ EG ＝ CF . 在△ EDG 和△ FDC 中， ∠ 1 ＝∠ F ， ∠ 4 ＝∠ 5 ， EG ＝ FC ， ∴△ EDG ≌△ FDC (AAS) ． ∴ DE ＝ DF . 知 2 －讲 （来自 《 点拨 》 ） 总 结 知 2 －讲 证明线段 ( 或角 ) 相等，以其中一边 ( 或角 ) 所在三 角形作为“基础三角形”在另一边 ( 或角 ) 上作与其全 等的三角形是常用的作辅助线的方法；如本例是以 DF 所在的△ DFC 为“基础三角形”，以 DE 为边作与 △ DFC 全等的△ DEG ；若以 DE 所在的△ DEB 为“基 础三角形”，以 DF 为边作与△ DEB 全等的△ DFG 怎 么作请读者试一试． 知 2 －练 1 如图，点 D ， E 在 △ ABC 的边 BC 上， AB = AC ， AD = AE . 求证 BD = CE . （来自教材） 2 ( 2015· 泰安 ) 如图， AD 是△ ABC 的角平分线， DE ⊥ AC ，垂足为 E ， BF ∥ AC 交 ED 的延长线于 点 F ，若 BC 恰好平分∠ ABF ， AE ＝ 2 BF . 给出下 列四个结论：① DE ＝ DF ；② DB ＝ DC ；③ AD ⊥ BC ；④ AC ＝ 3 BF ，其中正确的结论共 有 ( 　　 ) A ． 4 个 B ． 3 个 C ． 2 个 D ． 1 个 知 2 －练 （来自 《 典中点 》 ） 知 2 －练 3 在下列三角形中，若 AB ＝ AC ，则不能被一条直 线分成两个小等腰三角形的是 ( 　　 ) （来自 《 典中点 》 ） 等腰三角形的三种判定方法： (1) 当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相等的 三角形是等腰三角形”来判定． (2) 当三角形中有两个角相等时，应用“如果一个三角 形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 来证明． (3) 当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形 时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端点的 距离相等，则构成的三角形是等腰三角形”来证 明． （来自 《 典中点 》 ） 必做： 1. 请你完成教材 P79 练习 T2 –T4 、教材 P81-83 习 题 13.3T2,T10 2. 补充 : 请完成 《 典中点 》 剩余部分习题