2018年秋人教B版数学选修2-3课件1.1　基本计数原理 .ppt

1 . 1 　基本计数原理 1 . 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 . 2 . 会运用两个原理解决简单的问题 . 1 2 1 . 分类加法计数原理 做一件事 , 完成它有 n 类办法 , 在第一类办法中有 m 1 种不同的方法 , 在第二类办法中有 m 2 种不同的方法 …… 在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法 . 那么完成这件事共有 N= m 1 +m 2 + … +m n 种不同的方法 . 名师点拨 分类加法计数原理中的 “ 做一件事 , 完成它可以有 n 类办法 ”, 是对完成这件事的所有方法的一个分类 . 分类时 , 首先要根据问题的特点确定一个分类的标准 , 然后在确定的分类标准下进行分类 . 注意 : 完成这件事的任何一种方法必属于某一类 , 并且分别属于不同类的各种方法都是不同的方法 . 1 2 知识拓展 分类加法计数原理的集合表述形式如下 : 做一件事 , 完成它的所有方法用集合 S 表示 , 完成它的每一类方法 , 分别用集合 S 1 , S 2 , … , S n 表示 , 则 S=S 1 ∪ S 2 ∪ … ∪ S n , 且 S i ∩ S j = ⌀ ( i ≠ j ; i , j= 1,2, … , n ), S 1 , S 2 , … , S n 中分别有 m 1 , m 2 , … , m n 种不同的方法 , 即集合 S 1 , S 2 , … , S n 中分别含有 m 1 , m 2 , … , m n 个元素 , 则完成这件事的方法种数为集合 S 中元素的个数 . 集合 S 共有 ( m 1 +m 2 + … +m n ) 个元素 , 所以完成这件事共有 ( m 1 +m 2 + … +m n ) 种方法 . 1 2 【做一做 1 - 1 】 某单位有男职工 15 人 , 女职工 5 人 , 从中任选一人担任工会主席 , 共有 　　　　　 种不同选法 .  解析 : 从职工中选一人担任工会主席有两类选法 . 第一类是从男职工中选 , 有 15 种不同选法 ; 第二类是从女职工中选 , 有 5 种不同选法 . 由分类加法计数原理得 , 共有 15 + 5 = 20( 种 ) 不同选法 . 答案 : 20 【做一做 1 - 2 】 在所有的两位数中 , 个位数字大于十位数字的两位数共有 　　　　　 个 .  解析 : 根据题意 , 十位上的数字可以是 1,2,3,4,5,6,7,8, 分成 8 类 , 在每一类中满足题目条件的两位数分别有 8 个 ,7 个 ,6 个 ,5 个 ,4 个 ,3 个 ,2 个 ,1 个 . 由分类加法计数原理知 , 符合题意的两位数共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36( 个 ) . 答案 : 36 1 2 2 . 分步乘法计数原理 做一件事 , 完成它需要分成 n 个步骤 , 做第一个步骤有 m 1 种不同的方法 , 做第二个步骤有 m 2 种不同的方法 …… 做第 n 个步骤有 m n 种不同的方法 . 那么完成这件事共有 N= m 1 ×m 2 × … ×m n 种不同的方法 . 知识拓展 (1) 清楚怎样才是 “ 完成一件事 ” 的含义 , 即知道完成一件事在每个问题中需要经过哪几个步骤 . (2) 解决 “ 分步 ” 问题 , 用分步乘法计数原理 , 需要分成若干个步骤 , 每个步骤都完成了 , 才算完成一件事 , 注意各步骤之间的连续性 . (3) 同一问题中 , 标准不同 , 分步也不同 , 分步的基本要求 : 一是完成一件事必须且只需连续做完几步 , 既不漏步也不重步 ; 二是每个步骤的方法之间是独立的 , 不能互相替代 . 1 2 【做一做 2 】 5 位教师要去听同时上的 4 节课 , 若每位教师可任选其中的一节课 , 则不同听课方法的种数是 ( 　　 ) A.5 4 B.5 × 4 × 3 × 2 × 1 C.4 5 D.5 解析 : 对于每一位教师来说 , 都有 4 种选择 , 完成这件事 , 就需要这 5 位教师分别选择 , 即有 5 个步骤 , 而且每一步都有 4 种不同的选法 . 由分步乘法计数原理 , 共有 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4 5 ( 种 ) 不同的听课方法 . 答案 : C 1 . 如何理解分类加法计数原理 ? 剖析 (1) 分类加法计数原理的特点 : 把分类加法计数原理简称为分类计数原理或加法原理 , 其特点是各类中的每一种方法都可以完成要做的事情 . (2) 应用分类加法计数原理要注意的问题 : ① 明确题目中所指的 “ 完成一件事 ” 是什么事 , 完成这件事可以有哪些办法 , 怎样才算是完成这件事 . ② 完成这件事的各种方法是相互独立的 , 无论哪种方法都可以单独完成这件事 , 而不需要再用到其他的方法 . ③ 确立恰当的分类标准 , 准确地对 “ 这件事 ” 进行分类 , 要求每一种方法必属于某一类办法 , 不同类办法的任意两种方法是不同的方法 , 也就是分类时必须既 “ 不重复 ” 也 “ 不遗漏 ” . 2 . 如何理解分步乘法计数原理 ? 剖析 (1) 分步乘法计数原理的特点 : 把分步乘法计数原理简称为分步计数原理或乘法原理 , 其特点是每个步骤中都要使用一种方法才能完成要做的事情 . 可以用下图表示分步乘法计数原理 . 图中的 “ ” 强调要依次完成各步骤才能完成要做的事情 . (2) 应用分步乘法计数原理要注意的问题 : ① 明确题目中所指的 “ 完成一件事 ” 是什么事 , 完成这件事需要分成若干个步骤 , 只有每个步骤都完成了 , 才算完成这件事 , 缺少其中任何一步 , 这件事都不可能完成 . ② 根据题意正确分步 , 要求各个步骤之间必须连续 , 只有按照这几个步骤逐步地去做 , 才能完成这件事 , 各步骤之间既不能重复也不能遗漏 . 3 . 两个计数原理有哪些区别与联系 ? 剖析 列表如下 : 题型一 题型二 题型三 【例 1 】 某校高三年级共有 3 个班 , 一班有学生 50 人 , 其中男生 30 人 , 女生 20 人 ; 二班有学生 60 人 , 其中男生 30 人 , 女生 30 人 ; 三班有学生 55 人 , 其中男生 35 人 , 女生 20 人 . (1) 从高三年级中选一名学生任校学生会主席 , 有多少种不同的选法 ? (2) 从高三年级一班或二班男生中或从三班女生中选一名学生任校学生会体育部部长 , 有多少种不同的选法 ? 分析 本题主要考查分类加法计数原理的应用 , 解决本题的关键是对问题分类 , 在分类时 , 首先要根据问题的特点 , 确定一个适合它的分类标准 , 然后在这个标准下进行分类 , 并做到 “ 不重不漏 ” . 题型一 题型二 题型三 解 : (1) 共有三类办法 : 第一类办法 : 从一班任选一名学生 , 有 50 种不同的方法 ; 第二类办法 : 从二班任选一名学生 , 有 60 种不同的方法 ; 第三类办法 : 从三班任选一名学生 , 有 55 种不同的方法 . 由分类加法计数原理 , 不同的选法共有 : N= 50 + 60 + 55 = 165( 种 ) . 即所求选法共有 165 种 . 题型一 题型二 题型三 (2) 共有三类办法 : 第一类办法 : 从一班男生中任选一名学生 , 有 30 种不同的方法 ; 第二类办法 : 从二班男生中任选一名学生 , 有 30 种不同的方法 ; 第三类办法 : 从三班女生中任选一名学生 , 有 20 种不同的方法 . 由分类加法计数原理 , 不同的选法共有 : N= 30 + 30 + 20 = 80( 种 ) . 即所求选法共有 80 种 . 反思 要搞清楚需要完成的是一件什么样的事 . 完成这件事是否与分类有关 , 任何一种方法能否单独完成这件事 , 如果满足这些条件 , 那么可用分类加法计数原理来解决 . 题型一 题型二 题型三 【例 2 】 核糖核酸 ( 简称 RNA) 分子是在生物细胞中发现的化学成分 , 一个 RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链 , 长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据 . 主要有 4 种不同的碱基 , 分别用 A,C,G,U 表示 , 在一个 RNA 分子中 , 各种碱基能够以任意次序出现 , 所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关 . 假设有一类 RNA 分子由 100 个碱基组成 , 那么能有多少种不同的 RNA 分子 ? 分析本题主要考查分步乘法计数原理 , 只要分清完成 “ 一件事 ” 有几个步骤 , 解题就不难 . 题型一 题型二 题型三 解 : 100 个碱基组成的长链共有 100 个位置 , 如图所示 . 从左到右依次在每一个位置中 , 从 A,C,G,U 中任选一个填入 , 每个位置有 4 种填充方法 . 根据分步乘法计数原理 , 不同的 RNA 分子共有 反思 若某一问题在完成时需要经过几个步骤 , 每个步骤中的每一种方法只能完成这一问题的一部分 , 此时我们应用分步乘法计数原理 . 题型一 题型二 题型三 【例 3 】 用红、黄、绿、黑四种不同的颜色为图中的五个区域涂色 , 要求相邻的两个区域的颜色都不相同 , 则有多少种不同的涂色方法 ? 分析解决此类涂色问题的关键是找不相邻区域 , 确定标准合理分类 . 题型一 题型二 题型三 解 : 给区域标记号 A , B , C , D , E ( 如图所示 ), 则 A 区域有 4 种不同的涂色方法 , B 区域有 3 种 , C 区域有 2 种 , D 区域有 2 种 . 但 E 区域的涂色依赖于 B 与 D 涂的颜色 , 如果 B 与 D 颜色相同 , 则有 2 种涂色方法 ; 如果不相同 , 则只有一种 , 因此应先分类后分步 . 第一类 , 当 B 与 D 同色时 , 不同的涂色方法有 4 × 3 × 2 × 1 × 2 = 48( 种 ) . 第二类 , 当 B 与 D 不同色时 , 不同的涂色方法有 4 × 3 × 2 × 1 × 1 = 24( 种 ) . 故共有 48 + 24 = 72( 种 ) 不同的涂色方法 . 题型一 题型二 题型三 【例 4 】 用 n 种不同的颜色为两块广告牌着色 ( 如图所示 ), 要求在 ①②③④ 四个区域中相邻 ( 有公共边界 ) 的区域不能用同一种颜色 . (1) 若 n= 6, 则为甲着色时共有多少种不同的方法 ? (2) 若为乙着色时共有 120 种不同的方法 , 求 n 的值 . 题型一 题型二 题型三 解 : 完成着色这件事共分四个步骤 , 可依次考虑为 ①②③④ 着色时分别有多少种方法 , 再由分步乘法计数原理确定一共有多少种着色方法 . (1) 为 ① 着色有 6 种方法 , 为 ② 着色有 5 种方法 , 为 ③ 着色有 4 种方法 , 为 ④ 着色也有 4 种方法 . 所以共有不同的着色方法 6 × 5 × 4 × 4 = 480( 种 ) . (2) 与 (1) 的区别在于与 ④ 相邻的区域由两个变成了三个 , 同理 , 不同的着色方法种数是 n ( n- 1)( n- 2)·( n- 3) . 因为 n ( n- 1)( n- 2)( n- 3) = 120, 所以 ( n 2 - 3 n )( n 2 - 3 n+ 2) - 120 = 0, 即 ( n 2 - 3 n ) 2 + 2( n 2 - 3 n ) - 12 × 10 = 0 . 所以 n 2 - 3 n- 10 = 0, n 2 - 3 n+ 12 = 0( 无解 , 舍去 ) . 所以 n= 5, n=- 2( 舍去 ) . 题型一 题型二 题型三 反思 (1) 图形涂色问题是利用两个原理处理的一种对能力要求较高的问题 , 需要特别关注图形的特征 , 有多少个区域 , 用多少种颜色 . (2) 如果图形不规则 , 往往从某一块出发进行分步涂色 , 从而选用分步乘法计数原理 ; 如果图形具有一定的对称性 , 那么先对涂色方案进行分类 , 每一类再进行分步 . (3) 综合运用两个原理时 , 是先分步还是先分类应视具体情况而定 . 1 2 3 4 5 1. 将 3 封信投到 4 个邮筒 , 不同的投法有 ( 　　 ) A.24 种 B.4 种 C.64 种 D.81 种 解析 : 由分步乘法计数原理 , 有 4 × 4 × 4 = 64( 种 ) 不同的投法 . 答案 : C 1 2 3 4 5 2. 设 P , Q 是两个非空集合 , 定义 P*Q= {( a , b ) |a ∈ P , b ∈ Q } . 若 P= {0,1,2}, Q= {1,2,3,4}, 则 P*Q 中元素的个数是 ( 　　 ) A.4 B.7 C.12 D.16 解析 : a 有 3 种取法 , b 有 4 种取法 , 由分步乘法计数原理 , 共有 3 × 4 = 12( 种 ) 取法 , 即 P*Q 中有 12 个元素 . 答案 : C 1 2 3 4 5 3. 某班有男生 26 人 , 女生 24 人 , 若从中选一名同学任数学课代表 , 则不同的选法有 ( 　　 ) A.50 种 B.26 种 C.24 种 D.616 种 解析 : 从男生中选一人 , 有 26 种方法 ; 从女生中选一人 , 有 24 种方法 . 由分类加法计数原理 , 不同的选法有 26 + 24 = 50( 种 ) . 答案 : A 1 2 3 4 5 4. 有不同颜色的上衣 5 件 , 裤子 3 件 , 若从中选一件赠予他人 , 则有 　　　　　 种不同的选法 ; 若从中选出一套赠予他人 , 则有 　　　　　 种不同的选法 .  解析 : 从上衣中选一件 , 有 5 种选法 , 从裤子中选一件 , 有 3 种选法 . 由分类加法计数原理 , 从中任选一件有 5 + 3 = 8( 种 ) 不同选法 . 由分步乘法计数原理 , 从中选一套有 5 × 3 = 15( 种 ) 不同选法 . 答案 : 8 　 15 1 2 3 4 5 5. 如图所示的电路图 , 从 A 到 B 共有 　　　　　 条不同的线路可通电 .  解析 : 先分三类 . 第一类 , 经过支路 ① 有 3 种方法 ; 第二类 , 经过支路 ② 有 1 种方法 ; 第三类 , 经过支路 ③ 有 2 × 2 = 4 种方法 , 所以总的线路条数 N= 3 + 1 + 4 = 8 . 答案 : 8