【全效学习】2018届中考数学学练测《7.5尺规作图》课件.ppt

第 25 课时 尺规作图 1 ． [2017· 随州 ] 如图 25 － 1 ，用尺规作图作 ∠ AOC ＝ ∠ AOB 的第一步是以点 O 为圆心，以任意长为半径画弧 ① ，分别交 OA ， OB 于点 E ， F ，那么第二步的作图痕迹②的作法是 ( 　 　 ) A ．以点 F 为圆心， OE 长为半径画弧 B ．以点 F 为圆心， EF 长为半径画弧 C ．以点 E 为圆心， OE 长为半径画弧 D ．以点 E 为圆心， EF 长为半径画弧 小题热身 图 25 － 1 D 【 解析 】 用尺规作图作 ∠ AOC ＝ ∠ AOB 的第一步是以点 O 为圆心，以任意长为半径画弧 ① ，分别交 OA ， OB 于点 E ， F ，第二步的作图痕迹②的作法是以点 E 为圆心， EF 长为半径画弧． 2 ．如图 25 － 2 是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明 ∠ A ′ O ′ B ′ ＝ ∠ AOB 的依据是 ( 　 　 )     A ． SAS B ． SSS C ． AAS D ． ASA 图 25 － 2 B A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ 图 25 － 3 B 一、必知 3 知识点 1 ．尺规作图 尺规作图：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图． 五种基本作图： (1) 作一条线段等于已知线段； (2) 作一个角等于已知角； (3) 作一个角的平分线； (4) 作线段的垂直平分线； (5) 过定点作已知直线的垂线． 考点管理 2 ．利用尺规作三角形 (1) 已知三角形的三边，求作三角形； (2) 已知三角形的两边及其夹角，求作三角形； (3) 已知三角形的两角及其夹边，求作三角形； (4) 已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形； (5) 已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形． 3 ．过点作圆 过一个点可以作无数个圆；经过两点可以作无数个圆，这些圆的圆心在连结这两点的线段的垂直平分线上；过不在同一直线上的三点可以作一个圆． 二、必会 2 方法 1 ．尺规作图的关键 (1) 先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； (2) 读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．  2 ．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形 求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角． 基本作图 [2017· 衢州 ] 下列四种基本尺规作图分别表示 ① 作一个角等于已知角； ② 作一个角的平分线； ③ 作一条线段的垂直平分线； ④ 过直线外一点作已知直线的垂线．则对应选项中作法错误的是 ( 　 　 ) A ．① B. ② C. ③ D. ④ C 【 解析 】 ① 利用有三条边对应相等的两个三角形全等及全等三角形对应角相等可作一个角等于已知角； ② 利用有三条边对应相等的两个三角形全等及全等三角形对应角相等可作一个角的平分线； ③ 根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上及两点确定一条直线可作已知线段的垂直平分线，但是这里只确定了一个点，不能确定直线，③错误； ④ 根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上及两点确定一条直线可过直线外一点作已知直线的垂线． 1 ． [2017· 邵阳 ] 如图 25 － 4 所示，已知 ∠ AOB ＝ 40° ，现按照以下步骤作图： ①在 OA ， OB 上分别截取线段 OD ， OE ，使 OD ＝ OE ； 图 25 － 4 20 ° 2 ．如图 25 － 5 ，在 △ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， AC ＜ BC ， D 为 BC 上一点，且到 A ， B 两点的距离相等． (1) 用直尺和圆规，作出点 D 的位置 ( 不写作法，保留作图痕迹 ) ； (2) 连结 AD ，若 ∠ B ＝ 37° ，求 ∠ CAD 的度数． 图 25 － 5 解 ： (1) 点 D 的位置如答图所示 ( D 为 AB 垂直平分线与 BC 的交点 ) ； (2) 在 Rt △ ABC 中， ∵∠ B ＝ 37° ，∴∠ CAB ＝ 53°. 又 ∵ AD ＝ BD ，∴∠ BAD ＝ ∠ B ＝ 37°. ∴∠ CAD ＝ ∠ CAB － ∠ BAD ＝ 16°. 变式跟进 2 答图 3 ．如图 25 － 6 ，已知 △ ABC . (1) 作 ∠ BAC 的平分线交 BC 于点 D ( 要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 ) ； (2) 若 AB ＝ AC ＝ 5 ， BC ＝ 6 ，求 AD 的长． 图 25 － 6   解 ： (1) 如答图所示， AD 即为所求； (2)∵ AB ＝ AC ＝ 5 ， AD 平分 ∠ BAC ， 【 点悟 】 　本题考查了线段垂直平分线的作法以及线段垂直平 分线上的点到线段两端点的距离相等的性质． 变式跟进 3 答图 利用尺规作三角形 已知：如图 25 － 7 ，线段 a ， c ，∠ α . 求作： △ ABC ，使 BC ＝ a ， AB ＝ c ，∠ ABC ＝ ∠ α . 【 解析 】 先画出与 α 相等的角，再画出 a ， c 的长，连结 AC ，则△ ABC 即为所求作的三角形． 图 25 － 7 解 ： ① 如答图 ① ，以 α 的顶点 B ′ 为圆心，任意长为半径画弧，交 α 的两边于点 A ′ ， C ′ ； ② 如答图 ② ，作射线 BH ，以 B 为圆心，以 B ′ C ′ 为半径画弧，交 BH 于点 F ，以 F 为圆心， C ′ A ′ 长为半径画弧，两弧交于点 E ，连结 BE ； ③ 以 B 为圆心， a 为半径画弧交射线 BH 于点 C ，以 B 为圆心， c 为半径画弧交 BE 的延长线于点 A ，连结 AC ，则 △ ABC 即为所求作的三角形． ① 　　　　　　　　　② 例 2 答图 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图 25 － 8 ，线段 c ，直线 l 及 l 外一点 A . 求作： Rt △ ABC ，使直角边为 AC ( AC ⊥ l ，垂足为 C ) ，斜边 AB ＝ c .   图 25 － 8 解 ： 如答图， Rt △ ABC 即为所求．       【 点悟 】 　利用尺规作图一般的作法是先分析题目，再作出图形；作直角、中点和角平分线等要保留作图痕迹． 变式跟进答图 尺规作图与几何证明的综合运用 　 [2017· 舟山 ] 如图 25 － 9 ，已知 △ ABC ，∠ B ＝ 40°. (1) 在图中，用尺规作出 △ ABC 的内切圆 O ，并标出 ⊙ O 与边 AB ， BC ， AC 的切点 D ， E ， F ( 保留痕迹，不必写作法 ) ； (2) 连结 EF ， DF ，求 ∠ EFD 的度数． 图 25 － 9 例 3 答图 【 解析 】 (1) 因为内切圆圆心到三角形三边的距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以要确定三角形的内心，首先要作出三角形两个内角的平分线，其交点即为所求的内切圆圆心 O ，再过点 O 作三角形一边的垂线，以点 O 为圆心，垂线段为半径作圆，即为内切圆，圆与三角形另两边的交点即为切点； (2) 连结 OD ， OE ，构造四边形 BDOE ，根据切线的性质，可得 ∠ ODB ＝ ∠ OEB ＝ 90° ，由四边形内角和求得 ∠ DOE 的度数，再根据圆心角与圆周角的关系求得 ∠ EFD . 解 ： (1) 如答图，⊙ O 即为所求； (2) 连结 OD ， OE ，则 OD ⊥ AB ， OE ⊥ BC ，∴∠ ODB ＝ ∠ OEB ＝ 90° ， 又 ∵∠ B ＝ 40° ，∴∠ DOE ＝ 140° ，∴∠ EFD ＝ 70°. [2016· 盐城 ] 如图 25 － 10 ，在 △ ABC 中，∠ B ＝ 90°. (1) 尺规作图：按下列要求完成作图，保留作图痕迹，并标明字母： ①作线段 AC 的垂直平分线 l ，交 AC 于点 O ； ②连结 BO 并延长，在 BO 的延长线上截取 OD ，使得 OD ＝ OB ； ③连结 DA ， DC . (2) 判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由． 图 25 － 10 变式跟进答图 【 解析 】 (1)① 利用线段垂直平分线的作法得出即可； ②利用射线的作法得出点 D 位置； ③连结 DA ， DC 即可； (2) 利用直角三角形斜边与其边上中线的关系可得出 AO ＝ CO ＝ BO ＝ DO ，进而得出答案． 解 ： (1) 如答图所示； (2) 四边形 ABCD 是矩形．理由： 必明 2 易错点 1 ．尺规作图的工具是没有刻度的直尺和圆规，注意要求是没有刻度，不能用刻度尺去作线段或用量角器作直角． 2 ．尺规作图的基本步骤包括：已知，求作，分析作法，证明，得出结论．步骤顺序不作要求，但作图时一定要保留作图痕迹，作图后不要忘记写结论． 尺规作图易漏解 [ 德州中考 ] 在公路 l 1 同侧、 l 2 异侧有两个城镇 A ， B ，如图 25 － 11. 电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A ， B 的距离必须相等，到两条公路 l 1 ， l 2 的距离也必须相等，发射塔 C 应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点 C 的位置 ( 保留作图痕迹，不要求写作法 ) ． 图 25 － 11 【 错解 】 由题意可知，点 C 应满足两个条件：一是在线段 AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点 C 应是这两条线的交点． (1) 作两条公路夹角的平分线 OD ； (2) 作线段 AB 的垂直平分线 FG . 则射线 OD 与直线 FG 的交点 C 1 就是所求的位置． 【 错因 】 忽略了作两条公路另一个夹角的平分线 OE ，则漏掉了射线 OE 与直线 FG 的交点 C 2 . 【 正解 】 作图如答图，则射线 OD ， OE 与直线 FG 的交点 C 1 ， C 2 就是所求的位置． 易错警示答图