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5. 一元一次不等式与一次函数 知识点 知识点 　 一元一次不等式与一次函数的关系 任何一个一元一次不等式都可以转化为 ax+b> 0( a ≠0) 或 ax+b< 0( a ≠0) 的形式 . 因此 , 解一元一次不等式可以看作 : 当一次函数 y=ax+b ( a ≠0) 的值大于 0( 或小于 0) 时 , 求自变量的取值范围 . 拓展归纳 一元一次不等式与一次函数的关系反应在函数图象上 , 即一次函数 y=ax+b ( a ≠0) 的图象在 x 轴上方时对应横坐标 ( x 的值 ) 的集合 , 就是不等式 ax+b> 0( a ≠0) 的解集 ; 一次函数 y=ax+b ( a ≠0) 的图象在 x 轴下方时对应横坐标 ( x 的值 ) 的集合 , 就是不等式 ax+b< 0( a ≠0) 的解集 . 知识点 例 1 　 作出一次函数 y= 2 x- 5 的图象 , 通过图象回答下列问题 : (1) 当 x 取哪些值时 ,2 x- 5 > 0; (2) 当 x 取哪些值时 ,2 x- 5 = 0; (3) 当 x 取哪些值时 ,2 x- 5 < 0 . 分析 : 先画出一次函数 y= 2 x- 5 的图象 , 通过观察图象与 x 轴的交点 , 确定对应横坐标的值 . 再通过图象位于 x 轴上方 ( 或下方 ) 的部分 , 确定相应自变量的取值范围 , 即相应不等式的解集 . 解 : 一次函数 y= 2 x- 5 的图象如图所示 . 由图象知 , 当 x> 2 . 5 时 ,2 x- 5 > 0; 当 x= 2 . 5 时 ,2 x- 5 = 0; 当 x< 2 . 5 时 ,2 x- 5 < 0 . 知识点 知识点 例 2 　 用画函数图象的方法解不等式 5 x+ 4 < 2 x+ 10 . 分析 : 把不等式转化为一次函数 , 通过一次函数图象确定不等式的解集 . 解 : 设 y 1 = 5 x+ 4, y 2 = 2 x+ 10 . 在同一个直角坐标系中 , 这两个一次函数的图象如图所示 . 由函数图象知 , 这两个一次函数图象的交点坐标是 (2,14) . 当 x< 2 时 , y 1 y 2 及 y 1 - 2 . 5; y< 1, 即 - 2 x- 5 < 1, 解得 x>- 3 . 可以解不等式 , 也可以画出函数 y=- 2 x- 5 的图象 , 根据图象解答 . P50 做一做 答案 方法 1: 设哥哥跑的时间为 x s, 哥哥所跑距离为 y 1 m, 弟弟所跑距离为 y 2 m, 则每人所跑距离与时间的关系式为 y 1 = 4 x , y 2 = 9 + 3 x , 画出图象如图所示 , 观察图象可得 : (1)9 s 前弟弟跑在哥哥前面 . (2)9 s 后哥哥跑在弟弟前面 . (3) 弟弟先跑过 20 m, 哥哥先跑过 100 m . 方法 2: 设哥哥跑的时间为 x s, 哥哥所跑距离为 y 1 m, 弟弟所跑距离为 y 2 m, 即 y 1 = 4 x , y 2 = 9 + 3 x. (1) 当 y 1 y 2 时 , 即 4 x> 9 + 3 x , 解得 x> 9, 即 9 s 后哥哥跑在弟弟前面 . (3) 当 y 1 = 20 时 ,20 = 4 x , 解得 x= 5 . (4) 可以解不等式 , 也可根据图象作答 . P50 随堂 练习 2 . 答案 由图象可以看出 , 当 x> 4 时 , 生产该产品才能盈利 . 3 . 解 (1) 观察图象 , 可得甲共用了 0 . 6 h, 乙共用了 0 . 5 h, 所以乙快 ;(2) 设 l 1 的关系式为 s=kt ( k ≠0), 由图象可知 l 1 过点 (0 . 6,20), 将 (0 . 6,20) 代入 s=kt , 得 20 = 0 . 6 k , 设 l 2 的关系式为 s=k't+b , 由图象可知 l 2 过点 (0,20),(0 . 5,0), 将它们分别代入 s=k't+b , 甲摩托车离 B 地的距离大于乙摩托车离 B 地的距离 . 4 . 答案不唯一 , 略 P51 做一做 答案 设通话时间为 x min, 选择甲种业务的费用为 y 1 元 , 选择乙种业务的费用为 y 2 元 , 则 y 1 = 0 . 3 x+ 10, y 2 = 0 . 4 x. 由 y 1 100, 所以当 x> 100 时 , 选择甲种业务对顾客更合算 . 由 y 1 >y 2 , 得 0 . 3 x+ 10 > 0 . 4 x , 解得 x< 100, 所以当 x< 100 时 , 选择乙种业务对顾客更合算 . P52 随堂练习 解 设 40 名员工中有 x 名女士时 , 团体八折的总费用不大于妇女节的女士 5 折总费用 , 景点原票价为 a ( a> 0) 元 . 则 40 × 0 . 8 a ≤ 0 . 5 ax+ (40 -x ) a , x ≤ 16, 所以当女士人数少于 16 人时 , 选择团体票八折 . 当女士人数是 16 人时 , 两种方案收费一样多 . 当女士人数多于 16 人时 , 妇女节女士打五折便宜 . 习题 2 . 7 1 . 解 设当制作 x 份宣传材料时 , 甲公司的收费少于乙公司的收费 , 则 20 x+ 3 000 < 30 x , x> 300 . (1) 当制作 300 份以上时 , 选择甲公司比较合算 . (2) 当制作 300 份以下时 , 选择乙公司比较合算 . (3) 当制作 300 份时 , 两公司收费相同 . 2 . 解 设买 x 台电脑时 , 甲商场比乙商场优惠 , 则 6 000 + ( x- 1) × 6 000 × 0 . 75 < 0 . 8 ×x× 6 000, x> 5 . (1) 当购买电脑台数多于 5 台时 , 到甲商场购买更优惠 . (2) 当购买电脑台数少于 5 台时 , 到乙商场购买更优惠 . (3) 当购买电脑 5 台时 , 甲、乙商场收费一样多 . 3 . 解 (1) y 1 = 0 . 58 x , y 2 = 600 + 0 . 28 x ;(2) 若 1 500 = 0 . 58 x , 得 x ≈2 586 . 若 1 500 = 600 + 0 . 28 x , 得 x ≈3 214 . 所以当支出运费 1 500 元时 , 用公路运输运送的牛奶多 . 若 x= 1 500, 则 0 . 58 x= 870,600 + 0 . 28 x= 1 020, 所以当运送 1 500 kg 牛奶时 , 选用铁路运输所需费用少 . 点拨 分别计算出不同情况下运输牛奶的重量和所需要的费用 , 然后比较即可 .