专题六 代数几何综合题 课堂本.ppt

专题六 代数几何综合题 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广，综合性最强的题型。近5年广东中考查分两类：①2014年前，考查以二次函数为背景，引出几何问题，存在性问题，分类讨论思想为主；②2014年后，考查以几何动态为背景，引出二次函数，求最值或点坐标等。解决这类问题常见方法有：①从特殊问题探路，向一般问题推证；②借助动手实践，通过具体操作确认；③适当建立联系，通过计算进行说明。 例 1 （2016•滨州）如图，已知抛物线y=﹣ x 2 ﹣ x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C . （1）求点A，B，C的坐标； （2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积； （3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）令y=0得﹣ x 2 ﹣ x+2=0， ∴x 2 +2x﹣8=0， 解得x =﹣4或2， ∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0）， 当x =0时，y=2，∴点C坐标（0，2）． 1．（2016•新疆）如图，对称轴为直线x= 的抛物线经过点A（6，0）和B（0，﹣4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式； （3）当（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形． 题组训练 （3）平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF不能为菱形，理由如下： 当平行四边形OEAF的面积为24时，即 ﹣4x 2 +28x﹣24=24， 化简，得 x 2 ﹣7x+12=0，解得x=3或4， 当x =3时，EO=EA，平行四边形OEAF为菱形． 当x =4时，EO≠EA，平行四边形OEAF不为菱形． ∴平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形． 2．（2016•上海）如图，抛物线y=ax 2 +bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D． （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积； （3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标． 解：（1）∵抛物线y=ax 2 +bx﹣5与y轴交于点C， ∴C（0，﹣5）， ∴OC=5． ∵OC=5OB， ∴OB=1， 又点B在x轴的负半轴上 ， ∴B（﹣1，0）． ∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0）， ∴ ， 解得 ， ∴ 这条抛物线的表达式为y =x 2 ﹣4x﹣5． 3．（2016•赤峰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）． （1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式； （2）求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存在请求出Q点坐标． 解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0）； ∴ 设二次函数的解析式为y =a（x﹣2）（x+2）…①， 把C（3，5）代入①得a=1； ∴ 二次函数的解析式为：y =x 2 ﹣4； 设一次函数的解析式为：y =kx+b（k≠0）…② 把A（﹣2，0），C（3，5）代入②得 ， 解得 ， ∴ 一次函数的解析式为：y =x+2； 例 2 （2016•广东）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP． （1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ （2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明； （3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值． 解：（1）四边形APQD为平行四边形； （2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°， ∵OQ⊥BD， ∴∠PQO=45°， ∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°， ∴OB=OQ， ∴△AOB≌△OPQ（SAS）， ∴OA=OP，∠AOB=∠PQO， ∴∠AOP=∠BOQ=90°， ∴OA⊥OP； 4．（2016•上海）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB． （1）求线段CD的长； （2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长； （3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE= x，DF = y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围 ． 解：（1）作DH⊥AB于H，如图1， 易得四边形BCDH为矩形， ∴DH=BC=12，CD=BH， 在Rt△ADH中，AH = =9， ∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7， ∴CD=7； （2）①EA=EG时，则∠AGE=∠GAE， ∵∠AGE=∠DAB， ∴∠GAE=∠DAB， ∴G点与D点重合，即ED=EA， 作EM⊥AD于M，如图1，则AM= AD= ， ∵∠MAE=∠HAD， ∴ Rt△AME∽Rt△AHD ， ∴AE：AD=AM：AH，即AE：15= ：9，解得AE= ； ②GA=GE时，则∠GAE=∠AEG， ∵∠AGE=∠DAB， 而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG， ∴∠GAE=∠ADG， ∴∠AEG=∠ADG， ∴AE=AD=15． 综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为 或15； （3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9HE=AE﹣AH=x﹣9， 在Rt△HDE中，DE = ， ∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA， ∴△EAG∽△EDA， ∴EG：AE= AE：ED，即EG：x =x： ， ∴EG= ， ∴DG=DE﹣EG= ﹣ ， ∵DF∥AE， ∴△DGF∽△EGA， ∴DF：AE= DG：EG，即y：x =（ ﹣ ） ： ， ∴y= （9＜x＜ ）． 5．（2016•南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°． （1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系； （2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF； （3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离． （1）解：结论AE=EF=AF． 理由：如图1中，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°， ∴△ABC，△ADC是等边三角形， ∴∠BAC=∠DAC=60° ∵BE=EC， ∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC， ∵∠EAF=60°， ∴∠CAF=∠DAF=30°， ∴AF⊥CD， ∴AE=AF（菱形的高相等）， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE=EF=AF． （2）证明：如图2中， ∵∠BAC=∠EAF=60°， ∴∠BAE=∠CAE， 又BA=AC，∠B=∠ACF， 在△BAE和△CAF中， ∴△BAE≌△CAF， ∴BE=CF． （ 3 ）解：过点 A 作 AG⊥BC 于点 G ，过点 F 作 FH⊥EC 于点 H ， ∵∠ EAB=15° ，∠ ABC=60° ， ∴∠ AEB=45° ， 在 Rt△AGB 中，∵∠ ABC=60°AB=4 ， ∴ BG=2 ， AG=2 ， 在 Rt△AEG 中，∵∠ AEG=∠EAG=45° ， ∴ AG=GE=2 ，∴ EB=EG﹣BG=2 ﹣2 ， ∵△ AEB≌△AFC ， ∴ AE=AF ， EB=CF=2 ﹣2 ， 在 Rt△CHF 中， ∵∠ HCF=180°﹣∠BCD=60° ， CF=2 ﹣2 ， ∴ FH=CF•sin60°= （ 2 ﹣2 ） • =3﹣ ． ∴点 F 到 BC 的距离为 3﹣ ． 谢谢！！