17.2 第2课时 勾股定理的逆定理的应用.ppt

17.1 勾股定理 第十七章 勾股定理 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 3 课时 利用勾股定理作图或计算 学习目标 1. 会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决 网格问题 . （重点） 2. 灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理 解决相应的折叠问题 . （难点） 欣赏下面海螺的图片： 导入新课 情景引入 在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案， 如第七届国际数学教育大会的会徽 . 这个图是怎样绘制出来的呢？ 问题 1 我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数 . 你能在数轴上分别画出表示 3,-2.5 的点吗？ 3 -2.5 问题 2 求下列三角形的各边长 . 1 2 1 2 3 ？ ？ ？ 1 复习引入 -1 0 1 2 3 问题 1 你能在数轴上表示出 的点吗？ 呢？ 用同样的方法作 呢？ 讲授新课 勾股定理与数轴 一 提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点 . 思考 根据上面问题你能在数轴上画出表示 的点吗？ √ √ 问题 2 长为 的线段能是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？ 0 1 2 3 4 步骤： l A B C 1. 在数轴上找到点 A , 使 OA =3; 2. 作直线 l ⊥ OA , 在 l 上取一点 B ，使 AB =2; 3. 以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与数轴交 于 C 点，则点 C 即为表示 的点 . O 也可以使 OA =2 ， AB =3 ，同样可以求出 C 点 . 利用勾股定理表示无理数的方法 : （ 1 ）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边 . （ 2 ）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数 . 归纳总结 “ 数学海螺” 类似地，利用勾股定理可以作出长为 线段 . 1 1 类比迁移 例 1 如图，数轴上点 A 所表示的数为 a ，求 a 的值 . 解： ∵ 图中的直角三角形的两直角边为 1 和 2 ， ∴ 斜边长为 ， 即－ 1 到 A 的距离是 ， ∴ 点 A 所表示的数为 . 易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长 . 典例精析 1. 如图，点 A 表示的实数是 （　　） 2. 如图，在矩形 ABCD 中， AB =3， AD =1， AB 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧交数轴于点 M ，则点 M 表示的数为（　　） C D 练一练 0 1 2 3 4 l A B C 3. 你能在数轴上画出表示 的点吗？ 勾股定理与网格 二 画一画 在 5×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1 ，请在给定网格中以 A 出发分别画出长度为 的线段 AB ． B B B 例 2 在如图所示的 6×8 的网格中，每个小正方形的边长都为 1 ， 写出格点△ ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长． 解：由题图得 A (2,2), B (-2,-1), C (3,-2). 由勾股定理得 ∴ △ ABC 的周长为 勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度 . 归纳 例 3 如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为 的线段？ 解：如图所示，有 8 条 . 一个点一个点的找，不要漏解 . 例 4 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点 A 、 B 、 C 都在格点上，求 AB 边上的高 . 解：如图，过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D . D 此类网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格求面积，再用面积法求高 . 归纳 如图，在 5 × 5 正方形网格中，每个小正方形的边长 均为 1 ，画出一个三角形的长分别为 . A B C 练一练 解：如图所示 . 例 5 如图，折叠长方形 ABCD 的一边 AD ，使点 D 落在 BC 边的 F 点处，若 AB =8cm ， BC =10cm ，求 EC 的长 . D A B C E F 解：在 Rt△ ABF 中 , 由勾股定理 得 BF 2 = AF 2 － AB 2 =10 2 － 8 2 =36 ， ∴ BF = 6cm.∴ CF = BC － BF = 4. 设 EC = x cm ，则 EF = DE =(8－ x ) cm ， 在 Rt△ ECF 中 , 根据勾股定理 得 x 2 + 4 2 = ( 8－ x ) 2 ， 解得 x =3. 即 EC 的长为 3cm. 勾股定理与图形的计算 三 要用到方程思想 【变式题】 如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的 B ′ 处，点 A 的对应点为 A ′ ，且 B ′ C ＝ 3 ，求 AM 的长 . 解：连接 BM ， MB ′. 设 AM ＝ x ， 在 Rt△ ABM 中， AB 2 ＋ AM 2 ＝ BM 2 . 在 Rt△ MDB ′ 中， MD 2 ＋ DB ′ 2 = MB ′ 2 . ∵ MB ＝ MB ′ ， ∴ AB 2 ＋ AM 2 ＝ MD 2 ＋ DB ′ 2 ， 即 9 2 ＋ x 2 ＝ (9 － x ) 2 ＋ (9 － 3) 2 ， 解得 x ＝ 2. 即 AM ＝ 2. 折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法 : (1) 设一条未知线段的长为 x ( 一般设所求线段的长为 x ) ； (2) 用已知线数或含 x 的代数式表示出其他线段长； (3) 在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于 x 的方程； (4) 解这个方程，从而求出所求线段长 . 归纳总结 例 6 如图，四边形 ABCD 中∠ A =60°，∠ B =∠ D =90°， AB =2， CD =1，求四边形 ABCD 的面积． 解：如图，延长 AD 、 BC 交于 E ． ∵∠ B =90°，∠ A =60°， ∴∠ E =90°－60°=30°， 在Rt△ ABE 和Rt△ CDE 中， ∵ AB =2， CD =1， ∴ AE =2 AB =2×2=4， CE =2 CD =2×1=2， 由勾股定理得 E D C B A 补形法求面积 当堂练习 1. 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A 、 B 都是格点，则线段 AB 的长度为（ ） A.5 B.6 C.7 D.25 A 2. 小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点 D ，然后点 D 做一条垂直于数轴的线段 CD ， CD 为3个单位长度，以原点为圆心，以到点 C 的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（　　）A . 2和3之间 B . 3和4之间 C . 4和5之间 D . 5和6之间 B 3. 如图，网格中的小正方形边长均为1，△ ABC 的三个顶点均在格点上，则 AB 边上的高为 _______. 解：∵ AB = AD =8cm，∠ A =60°， ∴△ ABD 是等边三角形 . ∵∠ ADC =150° , ∴∠ CDB =150°－60°=90°， ∴△ BCD 是直角三角形 . 又∵四边形的周长为32cm， ∴ CD + BC =32- AD - AB =32-8-8=16 ( cm ). 设 CD = x ，则 BC =16- x ， 由勾股定理得8 2 + x 2 = ( 16- x ) 2 解得 x =6cm . ∴S △ BCD = ×6×8=24 ( cm ) 2 . 4. 如图，在四边形 ABCD 中， AB = AD =8cm，∠ A =60°，∠ ADC =150°，已知四边形 ABCD 的周长为32cm，求△ BCD 的面积． 5. 如图，在矩形 ABCD 中， AB =8， BC =4，将矩形沿 AC 折叠，点 D 落在点 D ′处，求重叠部分△ AFC 的面积 . 解：易证△ AFD ′ ≌ △ CFB ， ∴ D ′ F = BF ， 设 D ′ F = x ，则 AF =8- x ， 在Rt△ AFD ′中， ( 8- x ) 2 = x 2 +4 2 ， 解得 x =3 . ∴ AF = AB - FB =8-3=5， ∴S △ AFC = AF • BC =10． 6. 问题背景： 在△ ABC 中， AB 、 BC 、 AC 三边的长分别为 , 求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ ABC （即△ ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）求△ ABC 的面积； 图  能力提升： （2）若△ ABC 三边的长分别为 ( a ＞0 ) ，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为 a ）画出相应的△ ABC ，并求出它的面积． 解：如图 , 思维拓展： ∴ △ ABC 即为所求， 图② A B C 课堂小结 利用勾股定理 作图或计算 在数轴上表示出无理数的点 利用勾股定理解决网格中的问题 利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算 通常与网格求线段长或面积结合起来 通常用到方程思想 更多精彩视频内容，敬请关注微信公众号：我是好教师 微信扫描二维码下载更多资源