2019年安徽数学中考一轮复习《第6章第1节圆的基本性质》课件.ppt

安徽中考 2014~2018 考情分析 基础知识梳理 中考真题汇编 考点详解 典例解析 针对性练习 安徽五年 全国真题 安徽中考 2014~2018 考情分析 年份 考点 题型 分值 难度星级 2014 垂径定理与圆周角定理以及相似三角形的综合 解答 10 ★★★★ 2015 垂径定理与解直角三角形的综合 解答 10 ★★★ 2016 点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识的综合 选择 4 ★★★★ 2017 圆周角定理与平行四边形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定、圆心角、弧、弦、弦心距四者关系的综合 解答 10 ★★★ 2018 尺规作图、垂径定理、勾股定理的综合 解答 10 ★★★ 说明 ： 由以上分析可以看出 ， 安徽的中考 ， 每年都会考一个有关 “ 圆的基本性质 ” 知识的题目 ， 有时是选择题或填空题 ， 有时是解答题 ， 不论是何种题型 ， 都会是综合性较强的题目 ， 这也是与圆这部分知识的特性所决定的 ， 有的题目可能会综合几何中的几乎所有重要的知识点 ， 尤其是近四年都是考的有关 “ 圆的基本性质 ” 的解答题 ， 综合了垂径定理、勾股定理、圆周角定理及相似三角形、解直角三角形的有关知识 ． 由以上可以预测 2019 年的中考 ， 也会延续近五年的中考 ， 考一个带有综合性的选择题或填空题 ， 难度在中等左右 ， 尤其可能延续近两年的中考 ， 考一个有关 “ 圆的基本性质 ” 的解答题 ， 会是一个综合性的题目 ， 难度中等 ． 基础知识梳理 ● 考点一　圆的有关概念及性质 1 ．圆的有关概念 (1) 圆：圆是到定点的距离等于 __ ____ 的点的集合；这个定点叫做圆心，这个定长叫做半径；圆心确定了圆的 ______ ，半径确定了圆的 ______ ； (2) 弧：圆上两点间的部分叫做 ______ ；小于半圆的弧叫做 ______ ，大于半圆的弧叫做 ______ ； 定长　 位置　 大小　 弧　 劣弧　 优弧　 (3) 弦：连接圆上两点间的 _______ 叫做弦；直径是圆中最长的弦； (4) 圆心角：顶点在 _______ 的角叫做圆心角； (5) 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆还有另外一个交点的角叫做 _________ ； (6) 等圆：半径 _______ 的圆叫做等圆； (7) 等弧：在同圆或等圆中，能够 __ _ _ _ _____ 的弧叫做等弧； (8) 弦心距：圆心到 ___ __ __ 的距离，叫做弦心距． 线段　 圆心　 圆周角　 相等　 完全重合　 弦　 2 ．圆的有关性质 (1) 圆的直径等于同圆或等圆半径的 __ __ __ 倍； (2) 同圆或等圆的半径 __ __ __ ； (3) 弧的度数等于它所对 __ ____ __ 的度数； (4) 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 __ __ __ 、所对的弦 __ __ __ 、所对弦的弦心距 __ __ __ ；推论：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②弦相等，③弦的弦心距相等，④弦对的弧相等，如果以上四条中有 __ __ __ 成立，那么另外三条也成立； 2 　 相等　 圆心角　 相等　 相等　 相等　 一条　 (5) 圆既是中心对称图形 (__ __ __ 是对称中心 ) ，也是轴对称图形 (__ __ ________ _ 每一条直线都是它的对称轴 ) ，还是旋转对称图形 ( 绕圆心旋转 __ _______ _ _ 都与原图形重合 ) ． 圆心　 直径所在的　 任意度数　 ● 考点二　垂径定理及其推论 定理 垂直于弦的直径 _______ 这条弦，并且平分弦所对的 ________ 推 论 推论 1 a . 平分弦 ( 不是直径 ) 的直径 ________ 于弦，并且 ________ 弦所对的两条弧 b . 弦的垂直平分线经过 ________ ，并且平分弦所对的两条弧 c . 平分弦所对的一条弧的 ________ 垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧 ________ 推论 3 过圆心；平分弦 ； 垂直于弦 ； 平分弦所对的劣弧 ； 平分弦所对的优弧 ． 若一条直线具备这五项中任意两项 ， 则必具备另外三项 平分　 两条弧　 垂直　 平分　 圆心　 直径　 相等　 【 温馨提示 】 (1) 推论 3 中 ， 由前两个得后三个时 ， 被平分的弦不是直径 ； (2) 等弧指能完全重合的弧 ， 其度数一定相同 ， 但度数相同的弧不一定是等弧 ； (3) 在与垂径定理有关的计算中 ， 一般是将半径、半弦、弦心距结合构造直角三角形 ， 利用勾股定理求解 ． ● 考点三　圆周角定理及其推论和圆内接四边形的性质 1 ．定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ________ ，都等于这条弧所对的圆心角的 ________. 2 ．推论：半圆 ( 或直径 ) 所对的 ________ 是直角， 90° 的圆周角所对的弦是 ________. 3 ．圆内接四边形对角互补，它的任意一个外角等于这个角的对角． 相等　 一半　 圆周角　 直径　 【 温馨提示 】 “ 圆的有关性质 ” 常作的辅助线 ： (1) 有弦时 ， 过圆心作弦的垂线段、过弦的一个端点作半径 ， 这样由 “ 弦的一半 ， 表示弦心距的垂线段、圆的半径 ” 构成了直角三角形 ； (2) 有直径时 ， 做出这条直径对的圆周角 ， 这个圆周角是直角 ； 如果有圆周角是直角 ， 作出它对的弦 ， 这条弦就是直径 ． 【 答案 】 　 D 【 答案 】 　 D 【 点拨 】 　 垂径定理与勾股定理是一对不可分割的好兄弟 ， 通常利用半径不变的结论把弦的一半、弦心距和半径构造直角三角形进行解答 ， 同时 “ 见直径 ， 有直角 ” 也是解决圆的题目的一种重要的思路 ． 三、圆周角定理及其推论和圆内接四边形的性质 【 例 3 】 　 (2018 · 黄冈 ) 如图，△ ABC 内接于⊙ O ， AB 为⊙ O 的直径，∠ CAB ＝ 60° ，弦 AD 平分∠ CAB ，若 AD ＝ 6 ，则 AC ＝ __________. 【 点拨 】 　 本题考查的是圆周角定理的推论 ， 熟知该定理及其推论是解答此题的关键 ． 【 例 4】 　如图，已知等腰直角三角形 ABC ，点 P 是斜边 BC 上一点 ( 不与 B ， C 重合 ) ，四边形 APBE 是 ⊙ O 的内接四边形，连接 PE ，且 PE 经过 O 点． (1) 求证： △ APE 是等腰直角三角形； (2) 若 ⊙ O 的直径 2 ，求 PC 2 ＋ PB 2 的值． 【 解析 】 　 (1) 由题意知 PE 是直径 ， 由直径联想到 ∠ PAE ＝ 90° ， 只要证出 AP ＝ AE ， 即可证明 △ APE 是等腰直角三角形 ， 观察图形 ， 可想到证 △ ACP ≌△ ABE ， 易得条件 ∠ CAP ＝ ∠ BAE ， CA ＝ AB ， 由圆内接四边形对角互补 ， 可得 ∠ APC ＝ ∠ AEB ； (2) 由 (1) 得 △ ACP ≌△ ABE ， 可得 CP ＝ BE ， 易得 EB 2 ＋ PB 2 ＝ PE 2 ， 从而可得到 PC 2 ＋ PB 2 ＝ 4. 【 答案 】 　 (1) 证明： ∵△ ABC 是等腰直角三角形， ∴ AC ＝ AB ， ∠ CAB ＝ 90° ，又 ∵ PE 经过 O 点， ∴ PE 是 ⊙ O 的直径， ∴∠ PAE ＝ 90° ， ∴∠ CAP ＝ ∠ BAE ，又 ∵∠ CPA ＋ ∠ APB ＝ 180° ， ∠ APB ＋ ∠ AEB ＝ 180° ， ∴∠ APC ＝ ∠ AEB ， ∴△ ACP ≌△ ABE ， ∴ AP ＝ AE ， ∴△ APE 是等腰直角三角形； (2) 解： ∵ 由 (1) 得 △ ACP ≌△ ABE ， ∴ CP ＝ BE ，又 ∵∠ PBE ＝ 90° ， PE ＝ 2 ， ∴ EB 2 ＋ PB 2 ＝ PE 2 ＝ 4 ，即 PC 2 ＋ PB 2 ＝ 4. 【 点拨 】 　 在涉及圆的性质问题时 ， 通常是运用圆周角定理或垂径定理得到相等的角、相等的线段或垂直关系 ， 使问题得以解决 ． 在有特殊三角形的情形下 ， 应考虑这些特殊三角形的性质与圆中对应线段、对应角之间的关系 ． 熟练掌握圆的基本性质 ， 及一些基本图形的特征是关键 ， 要学会转化的思想 ． C 　 2 ．如图，四边形 ABCD 为⊙ O 的内接四边形，延长 AB 与 DC 相交于点 G ， AO ⊥ CD ，垂足为 E ，连接 BD ，∠ GBC ＝ 50° ，则∠ DBC 的度数为 ( 　　 ) A ． 50° B ． 60° C ． 80° D ． 85° C 　 3 ． (2018 · 临沂 ) 如图，在 △ ABC 中，∠ A ＝ 60° ， BC ＝ 5 cm. 能够将△ ABC 完全覆盖的最小圆形片的直径是 __ __ __cm. 5 ． (2018 · 临沂模拟 ) 已知：如图，在 △ ABC 中， BC ＝ AC ＝ 6 ，以 BC 为直径的⊙ O 与边 AB 相交于点 D ， DE ⊥ AC ，垂足为点 E . (1) 求证：点 D 是 AB 的中点； (2) 求点 O 到直线 DE 的距离． (1) 证明 ： 连接 CD ， ∵ BC 是圆的直径 ， ∴∠ BDC ＝ 90 ° ， ∴ CD ⊥ AB ， 又 ∵ AC ＝ BC ， ∴ AD ＝ BD ， 即点 D 是 AB 的中点 ； 中考真题汇编 1 ． (2018 · 安徽 ) 如图，⊙ O 为锐角△ ABC 的外接圆，半径为 5. (1) 用尺规作图作出∠ BAC 的平分线，并标出它与劣弧 BC 的交点 E ( 保留作图痕迹 ， 不写作法 ) ； (2) 若 (1) 中的点 E 到弦 BC 的距离为 3 ，求弦 CE 的长． 解 ： (1) 如图所示 ： 2 ． (2017 · 安徽 ) 如图，在四边形 ABCD 中， AD ＝ BC ， ∠ B ＝∠ D ， AD 不平行于 BC ，过点 C 作 CE ∥ AD 交△ ABC 的外接圆 O 于点 E ，连接 AE . (1) 求证：四边形 AECD 为平行四边形； (2) 连接 CO ，求证： CO 平分∠ BCE . 证明 ： (1) 由圆周角定理得 ， ∠ B ＝∠ E ， 又∠ B ＝∠ D ， ∴∠ E ＝∠ D ， ∵ CE ∥ AD ， ∴∠ D ＋∠ ECD ＝ 180 ° ， ∴∠ E ＋∠ ECD ＝ 180 ° ， ∴ AE ∥ CD ， ∴ 四边形 AECD 为平行四边形 ； (2) 作 OM ⊥ BC 于 M ， ON ⊥ CE 于 N ， ∵ 四边形 AECD 为平行四边形 ， ∴ AD ＝ CE ， 又 AD ＝ BC ， ∴ CE ＝ CB ， ∴ OM ＝ ON ， 又 OM ⊥ BC ， ON ⊥ CE ， ∴ CO 平分 ∠ BCE. 3 ． (2015 · 安徽 ) 在 ⊙ O 中，直径 AB ＝ 6 ， BC 是弦，∠ ABC ＝ 30° ，点 P 在 BC 上，点 Q 在⊙ O 上，且 OP ⊥ PQ . (1) 如图 1 ，当 PQ ∥ AB 时，求 PQ 的长度； (2) 如图 2 ，当点 P 在 BC 上移动时，求 PQ 长的最大值． 4 ． (2014 · 安徽 ) 如图，在 ⊙ O 中，半径 OC 与弦 AB 垂直，垂足为 E ，以 OC 为直径的圆与弦 AB 的一个交点为 F ， D 是 CF 延长线与⊙ O 的交点，若 OE ＝ 4 ， OF ＝ 6 ，求⊙ O 的半径和 CD 的长． 5 ． (2018 · 广州 ) 如图， AB 是 ⊙ O 的弦， OC ⊥ AB ，交⊙ O 于点 C ，连接 OA ， OB ， BC ，若∠ ABC ＝ 20° ，则∠ AOB 的度数是 ( 　　 ) A ． 40° 　　　 B ． 50° 　　　 C ． 70° 　　　 D ． 80° D 　 B 　 7 ． (2018 · 盐城 ) 如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为⊙ O 的弦，∠ ADC ＝ 35° ，则∠ CAB 的度数为 ( 　　 ) A ． 35° B ． 45° C ． 55° D ． 65° C 　 15 ° 　 30 ° 或 110 ° 　 10 ． (2018 · 烟台 ) 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点 O ， A ， B ， C 在格点 ( 两条网格线的交点叫格点 ) 上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A ， B ， C 三点的圆的圆心坐标为 ___________. ( － 1 ，－ 2) 　 11 ． (2018 · 北京 ) 如图， AB 是⊙ O 的直径，过⊙ O 外一点 P 作⊙ O 的两条切线 PC ， PD ，切点分别为 C ， D ，连接 OP ， CD ． (1) 求证： OP ⊥ CD ； (2) 连接 AD ， BC ． 若∠ DAB ＝ 50° ，∠ CBA ＝ 70° ， OA ＝ 2 ，求 OP 的长． (1) 证明 ： 如图 ， 连接 OC ， OD ． ∵ PC ， PD 为⊙ O 的两条切线 ， ∴ PC ＝ PD ． 又∵ OC ＝ OD ， ∴ OP 垂直平分 CD ， 即 OP ⊥ CD ； 12 ． (2018 · 天津 ) 已知 AB 是 ⊙ O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，∠ BAC ＝ 38°.