31.4
用列举法求简单事件概率
第
1
课时 用列表法求简单事件的概率
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第三十一章
随机事件的概率
学习目标
1.
理解一元二次方程的概率
.
（难点）
2.
根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数
.
3.
理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题
.
(
重点）
导入新课
情境引入
我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这是一个
游戏双方获胜概率大小
的
问
题
.
思考：那么求出概率
大小有什么方法呢
小明
小颖
小凡
连续抛掷两枚均匀的硬币，如果两枚正面朝上，则小明获胜；如果两枚反面朝上，则小颖获胜；如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，小凡获胜
.
做一做：
小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票
.
三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影
.
游戏规则如下：
问题引入
这个游戏公平吗？
讲授新课
用列表法求概率
一
互动探究
问题
1
同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：
(1)
两枚两面一样；
(2)
一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；
开始
正
反
正
反
正
反
P(
两面都一样
)=
P(
两面不一样
)=
还有别的方法求下列事件的概率吗？
①
①
①
②
②
①
①
②
②
②
①
②
第
1
枚硬币
第
2
枚硬币
反
正
正
反
正
正
反
正
正
反
反
反
还可以用列表法求概率
问题
2
怎样列表格？
一个因素所包含的可能情况
另一个因素所包含的可能情况
两个因素所组合的所有可能情况
,
即
n
列表法中表格构造特点
:
说明：
如果第一个因素包含
2
种情况；第二个因素包含
3
种情况；那么所有情况
n
=2×3=6.
典例精析
例
1
同时抛掷
2
枚均匀的骰子一次，骰子各面上的点数分别是
1
，
2
，
···，
6.
试分别计算如下各随机事件的概率
.
(1)
抛出的点数之和等于
8
；
(2)
抛出的点数之和等于
12.
分析：
首先要弄清楚一共有多少个可能结果
.
第
1
枚骰子可能掷出
1,2
，···，
6
中的每一种情况，第
2
枚骰子也可能掷出
1,2
，···，
6
中的每一种情况
.
可以用
“
列表法
”
列出所有可能的结果如下：
第
2
枚
骰子
第
1
枚骰子
结
果
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
解：从上表可以看出，同时抛掷两枚骰子一次，所有可能出现的结果有
36
种
.
由于骰子是均匀的，所以每个结果出现的可能性相等
.
(1)
抛出点数之和等于
8
的结果有
(2,6),(3,5),(4,4),(5,3)
和
(6,2)
这
5
种，所以抛出的点数之和等于
8
的这个事件发生的概率为
(2)
抛出点数之和等于
12
的结果仅有
(6,6)
这
1
种，所以抛出的点数之和等于
12
的这个事件发生的概率为
当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用
列表法
.
归纳总结
例
2
：
一只不透明的袋子中装有
1
个白球和
2
个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？
1
2
结果
第一次
第二次
解：利用表格列出所有可能的结果：
白
红
1
红
2
白
红
1
红
2
（白，白）
（白，红
1
）
（白，红
2
）
（红
1
，白）
（红
1
，红
1
）
（红
1
，红
2
）
（红
2
，白）
（红
2
，红
1
）
（红
2
，红
2
）
变式：
一只不透明的袋子中装有
1
个白球和
2
个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后
不再放回袋中
，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？
解：利用表格列出所有可能的结果：
白
红
1
红
2
白
红
1
红
2
（白，红
1
）
（白，红
2
）
（红
1
，白）
（红
1
，红
2
）
（红
2
，白）
（红
2
，红
1
）
结果
第一次
第二次
例
3.
同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（
1
）两个骰子的点数相同
（
2
）两个骰子的点数之和是
9
（
3
）至少有一个骰子的点数为
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
第
一
个
第
二
个
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
解：由列表得，同时掷两个骰子，可能出现的结果有
36
个，它们出现的可能性相等。
（
1
）满足两个骰子的点数相同（记为事件
A
）的结果有
6
个，则
P
（
A
）
= =
（
2
）满足两个骰子的点数之和是
9
（记为事件
B
）的结果有
4
个，则
P
（
B
）
= =
（
3
）满足至少有一个骰子的点数为
2
（记为事件
C
）的结果有
11
个，则
P
（
C
）
=
当
一次试验所有可能出现的结果较多
时，用
表格
比较方便！
真知灼见
源于实践
想一想：
什么时候用“
列表法
”方便，什么时候用“
树形图
”方便？
当一次试验涉及
两个因素
时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用
列表法
当一次试验涉及
3
个因素或
3
个以上的因素
时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用
树形图
例
4
甲乙两人要去风景区游玩，仅直到每天开往风景区有
3
辆汽车，并且舒适程度分别为上等、中等、下等
3
种，当不知道怎样区分这些车，也不知道它们会以怎样的顺序开来
.
于是他们分别采用了不同的乘车办法：甲乘第
1
辆开来的车
.
乙不乘第
1
辆车，并且仔细观察第
2
辆车的情况，如比第
1
辆车好，就乘第
3
辆车
.
试问甲、乙两人的乘车办法，哪一种更有利于乘上舒适度较好的车？
解：容易知道
3
辆汽车开来的先后顺序有如下
6
种可能情况：
（上中下），
（上下中），
（上下），
（中下上），
（下上中），
（下中上）
.
假定
6
种顺序出现的可能性相等， 在各种可能顺序之下，甲乙两人分别会乘坐的汽车列表如下：
顺序
甲
乙
上中下
上下中
中上下
中下上
下上中
下中上
上
下
上
中
中
上
中
上
下
上
下
中
甲乘到上等、中等、下等
3
种汽车的概率都是 ；
乙乘坐到上等汽车的概率是 ，乘坐到下等汽车的概率只有
答：乙的乘车办法有有利于乘上舒适度较好的车
.
当堂练习
1.
小明与小红玩一次
“
石头、剪刀、布
”
游戏，则小明赢的概率是（
）
2.
某次考试中，每道单项选择题一般有
4
个选项，某同学有两道题不会做，于是他以
“
抓阄
”
的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是（
）
C
D
A. B. C. D.
A. B. C. D.
3.
如果有两组牌，它们的牌面数字分别是
1
，
2
，
3,
那么从每组牌中各摸出一张牌
.
（
1
）摸出两张牌的数字之和为
4
的概念为多少？
（
2
）摸出为两张牌的数字相等的概率为多少？
3
2
（
2,3
）
（
3,3
）
（
3,2
）
（
3,1
）
（
2,2
）
（
2,1
）
（
1,3
）
（
1,2
）
（
1,1
）
1
3
2
1
第二张牌
的牌面数字
第一张牌的
牌面数字
解：
（
1
）
P
（数字之和为
4
）
=
.
（
2
）
P
（数字相等）
=
4.
在
6
张卡片上分别写有
1
－
6
的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字的概率是多少？
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
第
一
张
第
二
张
解：由列表得，两次抽取卡片后，可能出现的结果有
36
个，它们出现的可能性相等
.
满足第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字（记为事件
A
）的结果有
14
个，则
P
（
A
）
= =
4.
在
6
张卡片上分别写有
1
－
6
的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字的概率是多少？
课堂小结
列举法
关键
常用
方法
直接列举法
列表法
画树状图法
（
下节课学习
）
适用对象
两个试验因素或分两步进行的试验
.
基本步骤
列表；
确定
m
、
n
值
代入概率公式计算
.
在于正确列举出试验结果的各种可能性
.
确保试验中每种结果出现的可能性大小相等
.
前提条件
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