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第二章 匀变速直线运动的 研究 学案 5 　习题课：匀变速直线运动的规律应用 目标定位 1. 进一步熟练掌握匀变速直线运动的两个基本公式和三个导出公式及其特点并能熟练应用其解决问题 . 2. 能推导初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式 . 3. 会分析简单的追及和相遇问题． 知识探究 自我检测 一、匀变速直线运动基本公式的应用 1 . 两个基本公式 v ＝ v 0 ＋ at 和 x ＝ v 0 t ＋ at 2 ，涉及 5 个量，原则上已知三个量可求另外两个量，两个公式联立可以解决所有的匀变速直线运动问题 . 2 . 逆向思维法的应用： 把末速度为 0 的匀减速直线运动，可以倒过来看成是初速度为 0 的匀加速直线运动 . 知识探究 3 . 解决运动学问题的基本思路为：审题 → 画过程草图 → 判断运动性质 → 选取正方向 ( 或选取坐标轴 ) → 选用公式列方程 → 求解方程，必要时对结果进行讨论 . 例 1 　一个物体以 v 0 ＝ 8 m /s 的初速度沿光滑斜面向上滑，加速度的大小为 2 m/ s 2 ，到达最高点之后，又以相同的加速度往回运动 . 则 ( 　　 ) A . 1 s 末的速度大小为 6 m/s B . 3 s 末的速度为零 C . 前 2 s 内的位移大小是 12 m D . 前 5 s 内的位移大小是 15 m 解析　 由 t ＝ ，物体到达最高点的时间是 4 s ，又根据 v ＝ v 0 ＋ at ，物体 1 s 末的速度为 6 m/s ， A 对， B 错 . 根据 x ＝ v 0 t ＋ at 2 ，物体前 2 s 内的位移是 12 m,4 s 内的位移是 16 m ，第 5 s 内的位移是沿斜面向下的 1 m ，所以前 5 s 内的位移是 15 m ， C 、 D 对 . 答案　 ACD 二、三个导出公式的应用 1 . 速度与位移的关系 v 2 － ＝ 2 ax ，如果问题的已知量和未知量都不涉及时间，利用此式往往会使问题变得简单 . 3 . 匀变速直线运动中，任意连续相等的时间间隔 T 内的位移差为常数，即 x 2 － x 1 ＝ aT 2 . 例 2 　一列火车做匀变速直线运动，一人在轨道旁边观察火车运动，发现在相邻的两个 10 s 内，火车从他跟前分别驶过 8 节车厢和 6 节车厢，每节车厢长 8 m( 相邻车厢连接处长度不计 ) ，求： (1) 火车加速度的大小； 解析　 由题知，火车做匀减速运动，设火车加速度大小为 a ，人开始观察时火车速度大小为 v 0 ，车厢长 L ＝ 8 m ， 则 Δ x ＝ aT 2 ,8 L － 6 L ＝ aT 2 ， 答案　 0.16 m /s 2 (2) 这 20 s 内中间时刻的瞬时速度； 答案　 5.6 m/ s (3) 人刚开始观察时火车速度的大小 . 解析　 由 ＝ v 0 － aT 得 v 0 ＝ ＋ aT ＝ (5.6 ＋ 0.16 × 10) m /s ＝ 7.2 m/ s 答案　 7.2 m/s 三、初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式 1 . 初速度为 0 的匀加速直线运动，按时间等分 ( 设相等的时间间隔为 T ) 的比例式 (1) T 末、 2 T 末、 3 T 末、 … nT 末的瞬时速度之比为： v 1 ∶ v 2 ∶ v 3 ∶…∶ v n ＝ 1 ∶ 2 ∶ 3 ∶…∶ n . (2) T 内、 2 T 内、 3 T 内、 … nT 内的位移之比为： x 1 ∶ x 2 ∶ x 3 ∶…∶ x n ＝ 1 2 ∶ 2 2 ∶ 3 2 ∶…∶ n 2 . (3) 第一个 T 内、第二个 T 内、第三个 T 内、 … 第 n 个 T 内的位移之比为： x 1 ∶ x 2 ∶ x 3 ∶…∶ x n ＝ 1 ∶ 3 ∶ 5 ∶…∶ (2 n － 1) . 2 . 按位移等分 ( 设相等的位移为 x ) 的比例式 (1) 通过前 x 、前 2 x 、前 3 x … 前 nx 时的速度之比为： (2) 通过前 x 、前 2 x 、前 3 x … 前 nx 的位移所用时间之比为： (3) 通过连续相同的位移所用时间之比为： 注意　 以上比例式成立的前提是物体做初速度为零的匀加速直线运动，对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化 . 例 3 　做匀减速直线运动的物体经 4 s 后停止，若在第 1 s 内的位移是 14 m ，则最后 1 s 内的位移是 ( 　　 ) A . 3.5 m 　　　 B . 2 m 　　　 C . 1 m 　　　 D . 0 解析　 物体做匀减速直线运动至停止，可以把这个过程看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则相等时间内的位移之比为 1 ∶ 3 ∶ 5 ∶ 7 ，所以由 得，所求位移 x 1 ＝ 2 m. B 四、追及相遇问题 讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置的问题 . (1) 一个条件：即两者速度相等 . 它往往是物体间能否追上、追不上或 ( 两者 ) 距离最大、最小的临界条件，也是分析判断此类问题的切入点 . (2) 两个关系：即时间关系和位移关系 . 位移关系可通过画草图得到 . 例 4 　一辆汽车以 3 m /s 2 的加速度开始启动的瞬间，另一辆以 6 m/ s 的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过 . (1) 汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？ 解析　 因为汽车做加速运动，故汽车一定能追上自行车 . 汽车追上自行车时，两者位移相等， x 汽 ＝ x 自 ， v 汽 ＝ at ＝ 3 × 4 m /s ＝ 12 m/ s 答案　 见解析 (2) 汽车追上自行车前哪个时刻与自行车相距最远？此时的距离是多大？ 解析　 开始阶段， v 汽 < v 自 ，两者间的距离逐渐变大 . 后来 v 汽 > v 自 ，两者间的距离又逐渐减小 . 所以当 v 汽 ＝ v 自 时，两者距离最大 . 设经过时间 t 1 ，汽车速度等于自行车速度，则 at 1 ＝ v 自 ， 代入得 t 1 ＝ 2 s 此时 x 自 ＝ v 自 t 1 ＝ 6 × 2 m ＝ 12 m 最大距离 Δ x ＝ x 自 － x 汽 ＝ 6 m 答案　 见解析 课堂要点小结 1 . 熟练掌握匀变速直线运动的两个基本公式 (1) v ＝ v 0 ＋ at 2 . 对应题目中的场景灵活选用三个导出公式 3 . 会推导和应用初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式 . 4 . 追及相遇问题 要抓住一个条件、两个关系 (1) 一个条件：速度相等 . (2) 两个关系：位移关系和时间关系，特别是位移关系 . 1 2 3 4 1.( 基本公式的应用 ) 飞机的起飞过程是从静止出 发，在直跑道上加速前进，当达到一定速度时离地升空 . 已知飞机加速前进的路程为 1 600 m ，所用时间为 40 s ，若这段运动为匀加速运动，用 a 表示加速度， v 表示离地时的速度，则 ( 　　 ) A . a ＝ 2 m /s 2 ， v ＝ 80 m/ s B . a ＝ 2 m /s 2 ， v ＝ 40 m/ s C . a ＝ 1 m /s 2 ， v ＝ 40 m/ s D . a ＝ 1 m /s 2 ， v ＝ 80 m/ s 自我检测 1 2 3 4 答案　 A 1 2 3 4 2 . ( 初速度为零的比例式的应用 ) 从静止开始做匀加速直线运动的物体，在第 1 s 内、第 2 s 内、第 3 s 内的平均速度之比为 ( 　　 ) 1 2 3 4 答案　 A 1 2 3 4 3 . ( 导出公式的应用 ) 一物体做匀减速直线运动，初速度为 10 m /s ，加速度大小为 1 m/ s 2 ，则物体在停止运动前 1 s 内的平均速度为 ( 　　 ) A . 5.5 m /s B . 5 m/ s C . 1 m /s D . 0.5 m/ s 解析　 物体做匀减速直线运动到静止相当于反向的匀加速直线运动，停止运动前 1 s 内的平均速度，相当于匀加速运动第 1 秒内的平均速度， m /s ＝ 0.5 m/ s . 故选 D. D 1 2 3 4 4 . ( 追及相遇问题 ) A 、 B 两列火车，在同一轨道上同向行驶， A 车在前，其速度 v A ＝ 10 m /s ， B 车在后，其速度 v B ＝ 30 m/ s ，因大雾能见度低， B 车在距 A 车 x 0 ＝ 85 m 时才发现前方有 A 车，这时 B 车立即刹车，但 B 车要经过 180 m 才能停止，问： B 车刹车时 A 车仍按原速度行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在 B 车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？ 1 2 3 4 假设不相撞，设经过时间 t 两车速度相等，对 B 车有 v A ＝ v B ＋ a B t 解得 t ＝ 8 s 1 2 3 4 A 车位移为 x A ＝ v A t ＝ 80 m 因 x B < x 0 ＋ x A 故两车不会相撞，两车最近距离为 Δ x ＝ 5 m. 答案　 不会　 5 m