2019_2020学年新人教A版必修1数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型课件.ppt

3.2　函数模型及其应用 3.2.1　几类不同增长的函数模型 [ 目标导航 ] 课标要求 1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义 , 理解它们的增长差异性 . 2. 引导学生利用题中的数据及其蕴涵的关系建立数学模型 , 通过建立数学模型解决实际问题 . 素养达成 通过掌握常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异及增长状况培养数学抽象、直观想象的核心素养 . 新知导学 · 素养养成 1. 三种函数模型的性质 　　　函数 性质　　 y=a x (a>1) y=log a x (a>1) y=x n (n>0) 在 (0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随 x 增大逐 渐 . 随 x 增大逐 渐 . 随 x 增大 逐渐 . 上升 上升 上升 2. 三种函数的增长速度比较 (1) 在区间 (0,+∞) 上 , 函数 y=a x (a>1),y=log a x(a>1) 和 y=x n (n>0) 都是 , 但 不同 , 且不在同一个 “ 档次 ” 上 . 增函数 增长速度 (2) 随着 x 的增大 ,y=a x (a>1) 增长速度越来越快 , 会超过并远远大于 y=x n (n>0) 的增长速度 , 而 y=log a x(a>1) 的增长速度 . (3) 存在一个 x 0 , 当 x>x 0 时 , 有 . 越来越慢 log a x1 时 , 对数函数 y=log a x 是增函数 , 且当 a 减小时 , 其函数值的增长就越快 ; (3) 当 x>0,n>1 时 , 幂函数 y=x n 是增函数 , 且当 x>1 时 ,n 越大其函数值的增长就越快 . 课堂探究 · 素养提升 题型一　图象信息迁移问题 [例1] 如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息: 解析 : 看时间轴易知 (1) 正确 ; 骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线 , 所以是匀速运动 , 而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线 , 所以是变速运动 , 因此 (2) 正确 ; 两条曲线的交点的横坐标对应着 4.5, 故 (3) 正确 ,(4) 错误 . 答案 : (1)(2)(3) (1) 骑自行车者比骑摩托车者早出发 3 h, 晚到 1 h; (2) 骑自行车者是变速运动 , 骑摩托车者是匀速运动 ; (3) 骑摩托车者在出发 1.5 h 后追上了骑自行车者 ; (4) 骑摩托车者在出发 1.5 h 后与骑自行车者速度一样 . 其中正确信息的序号是 　　　　 . 方法技巧 解答图象信息迁移问题的技巧 (1) 明确横轴、纵轴的意义 ;(2) 从图象形状上判定函数模型 ;(3) 抓住特殊点的实际意义 , 特殊点一般包括最高点、最低点及折线的拐点等 . 即时训练 1 - 1: 某工厂 6 年来生产某种产品的情况是 : 前三年年产量的增长速度越来越快 , 后三年年产量的增长速度保持不变 , 则可以用来描述该厂前 t 年这种产品的年产量 c 与时间 t 的函数关系的是 ( 　　 ) 解析: 注意以下几种情形:图①表示不再增长,图②表示增速恒定不变,图③表示增长速度越来越快,图④表示增长速度逐渐变慢.故选A. 题型二　常见函数模型增长趋势的比较 [例2] 函数f(x)=2 x 和g(x)=x 3 (x≥0)的图象,如图所示.设两函数的图象交于点A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),且 x 1 g(1),f(2)y 1 解析 : 法一 　在同一平面直角坐标系中画出函数 y 3 =log 2 x, y 2 =x 2 和 y 1 =2 x 的图象 , 如图 , 在区间 (2,4) 内从上往下依次是 y 2 =x 2 ,y 1 =2 x ,y 3 =log 2 x 的图象 , 所以对于任意 x∈(2,4), x 2 >2 x >log 2 x, 即 y 2 >y 1 >y 3 . 故选 B. 法二 　可以采用特殊值代入 , 如取 x=3, 则 y 1 =8,y 2 =9,y 3 =log 2 3y 1 >y 3 . 故选 B. [ 备用例 1] 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动 , 其路程 f i (x)(i=1,2,3,4) 关于时间 x(x≥0) 的函数关系式分别为 f 1 (x)=2 x -1,f 2 (x)=x 2 ,f 3 (x)=x,f 4 (x)=log 2 (x+1), 有以下结论 : ① 当 x>0 时 , 甲在最前面 ; ② 当 x>1 时 , 乙在最前面 ; ③ 当 00) 来模拟这种电脑元件的月产量 y 千件与月份 x 的关系 . 请问 : 用以上哪个模拟函数较好 ? 说明理由 . 月份 1 2 3 产量 ( 千件 ) 50 52 53.9 (2) 某新品牌电视投放市场后第一个月销售 100 台 , 第二个月销售 200 台 , 第三个月销售 400 台 , 第四个月销售 790 台 , 则下列函数模型中能较好反映销量 y( 台 ) 与投放市场的月数 x 之间的关系是 ( 　　 ) (A)y=100x (B)y=50x 2 -50x+100 (C)y=50×2 x (D)y=100log 2 x+100 解析: (2) 由题意 , 对于 A 中的函数 , 当 x=3 或 4 时 , 误差较大 . 对于 B 中的函数 , 当 x=4 时 , 误差也较大 . 对于 C 中的函数 , 当 x=1,2,3 时 , 误差为 0,x=4 时 , 误差为 10, 误差很小 . 对于 D 中的函数 , 当 x=4 时 ,y=300, 与实际值 790 相差很大 . 综上 , 只有 C 中的函数误差最小 , 故选 C. 题型四　建立函数模型解决实际问题 [ 例 4] 一工厂生产某种零件 , 每个零件的成本为 40 元 , 出厂单价为 60 元 , 该厂为鼓励销售商订购 , 决定当一次订购量超过 100 时 , 每多订购 1 个 , 订购的全部零件的单价就降低 0.02 元 , 但最低出厂单价不低于 51 元 . (1) 一次订购量为多少个时 , 零件的实际出厂价恰好为 51 元 ? (2) 设一次订购量为 x 个时零件的实际出厂价为 p 元 , 写出 p=f(x) 的关系式 . (3) 当销售商一次订购量分别为 500,1 000 个时 , 该工厂的利润分别为多少 ?( 一个零件的利润 = 一个零件的实际出厂价 - 一个零件的成本 ) 方法技巧 数学建模中要对所给条件进行简化及合理的假设 , 从中区分出主要条件及次要条件 , 再根据要求选取合适的数学知识来求解 . 学霸经验分享区 (1) 不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律 : ① 线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律 ; ②指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律 ; ③ 对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律 ; ④ 幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律 . 因此 , 需抓住题中蕴含的数学信息 , 恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题 . (2) 若已知条件中给出一组数据选择数学模型时 , 可以在直角坐标系中将该组数据对应的点描出 , 根据点的分布特征选择数学模型 . (3) 一般来说 , 函数模型的增长速度与图象关系如下表 : 增长速度 越来越快 不变 越来越慢 图象 1. 下列函数中 , 增长速度最快的是 ( 　 　 ) (A)y=20 x (B)y=x 20 (C)y=log 20 x (D)y=20x 课堂达标 A 2. 对于两个变量 x,y 有如下几组数据 : C 解析 : 由于 0.9 接近 2 0 ,4.1 接近 2 2 , 故该组数据满足 y=2 x . x 0 1 2 3 4 y 0.9 2 4.1 7.9 16.2 则 x,y 间拟合效果最好的曲线方程是 ( 　 　 ) (A)y=log 2 x (B)y=2x (C)y=2 x (D)y=x 2 3. 某水果批发市场规定 , 批发某种水果不少于 100 kg 时 , 批发价为每千克 2.5 元 , 小王携现金 3 000 元到市场采购该种水果 , 并以批发价格买进 , 如果购买该种水果为 x kg, 小王付款后剩余现金为 y 元 , 则 y 与 x 之间的函数关系式为 　　　　 . 答案 : y=3 000-2.5x,x∈[100,1 200]