第二课时 函数的最大(小)值
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课标要求
1.
理解函数的最大
(
小
)
值及其几何意义
.
2.
会求一些简单函数的最大值或最小值
.
3.
体会数形结合思想、分类讨论思想在求函数最值问题中的应用
.
素养达成
通过利用函数的单调性求函数最值
,
培养学生逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养
;
通过数形结合求函数最值
,
培养学生直观想象的核心素养
.
新知导学
·
素养养成
1.最大值
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于任意的x∈I,都有f(x)
M;
②存在x
0
∈I,使得
.
那么,称M是函数y=f(x)的最大值.
(2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最
点的
坐标.
思考
1:若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?
答案:
不一定,只有定义域内存在一点x
0
,使f(x
0
)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.
≤
f(x
0
)=M
高
纵
2.最小值
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足;
①对于任意的x∈I,都有f(x)
M;
②存在x
0
∈I,使得
.
那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
(2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最
点的
坐标.
思考2:
已知函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调,如何求函数的最值?
答案:
如果函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调递增,则 f(x)
max
=f(b),f(x)
min
=f(a);如果函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调递减,则f(x)
max
=f(a),f(x)
min
=f(b).
≥
f(x
0
)=M
低
纵
思考
3:
函数的最大
(
小
)
值与函数值域有什么关系
?
答案:
(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质,针对的是整个定义域.
(2)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在.
(3)若函数的最值存在,则一定是值域中的元素.
名师点津
关于函数最值的说明
(1)
最大
(
小
)
值必须是一个函数值
,
是值域中的一个元素
,
如函数
y=x
2
(x∈
R
)
的最小值是
0,
有
f(0)=0.
(2)
最大
(
小
)
值定义中的
“
任意
”
是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式
,
即对于定义域内的全部元素
,
都有
f(x)≤M(f(x)≥M)
成立
,
也就是说
,
函数
y=f(x)
的图象不能位于直线
y=M
的上
(
下
)
方
.
(3)
最大
(
小
)
值定义中的
“
存在
”
是说定义域中至少有一个实数满足等号成立
,
也就是说
y=f(x)
的图象与直线
y=M
至少有一个交点
.
课堂探究
·
素养提升
(2)
求函数
f(x)
在
[1,4]
上的最值
.
方法技巧
利用函数单调性求最值的步骤
:①
确定函数的单调性
;②
借助最值与单调性的关系写出函数的最值
.
(2)
求
f(x)
在区间
[2,5]
上的最值
.
②求函数
f(x)
在
[3,5]
上的值域
.
②
对于①中的函数在区间
A
上的值域是
[4,5],
求区间长度最大的
A(
注
:
区间长度
=
区间的右端点
-
区间的左端点
);
③
若①中的函数的定义域是
[2,+∞),
解不等式
f(a
2
-a)≥f(2a+4).
解:
作出函数f(x)的图象(如图).
由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(±1)=1.
当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0,
故f(x)的最大值为1,最小值为0.
方法技巧
(1)
分段函数的最大
(
小
)
值是各段函数在其定义域上的最大
(
小
)
值中较大
(
小
)
的一个
.
(2)
分段函数的最值问题
,
若函数在各段上均为单调函数
,
可根据函数单调性确定最值
.
若函数在各段上不具有单调性
,
可借助函数图象求最值
.
即时训练
2
-
1:
已知函数
f(x)=|x|(x+1),
试画出函数
f(x)
的图象
,
并根据图象解决下列两个问题
.
(1)
写出函数
f(x)
的单调区间
;
解:
因为y=-x
2
+4x-1=-(x-2)
2
+3(x≥0)且y=x-1(x
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