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小结与复习 第十七章 勾股定理 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 要点梳理 1. 如果直角三角形两直角边分别为 a ， b ，斜边 为 c ，那么 a 2 + b 2 = c 2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 . 在 直角三角形 中才可以运用 2. 勾股定理的应用条件 一、勾股定理 3. 勾股定理表达式的常见变形： a 2 ＝ c 2 － b 2 , b 2 ＝ c 2 － a 2 ， A B C c a b 二、勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a 2 + b 2 = c 2 ，那么这个三角形是直角三角形 . 满足 a 2 + b 2 = c 2 的三个正整数，称为勾股数 . 2. 勾股数 3. 原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题 . A B C c a b 例 1 在Rt△ ABC 中，∠ ACB =90°， CD ⊥ AB 于 D ， AC =20， BC =15 . （1）求 AB 的长； （2）求 B D 的长． 解：（1）∵在Rt△ ABC 中，∠ ACB =90°， （2）方法一：∵ S △ ABC = AC • BC = AB • CD ， ∴20×15=25 CD ， ∴ CD =12． ∴在Rt△ BC D 中， 考点一 勾股定理及其应用 考点讲练 方法二：设 BD = x , 则 AD =25- x . 解得 x =9.∴ BD =9. 方法总结 对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上的高常需结合面积的两种表示法起来考查，若是同本题 (2) 中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解 . 针对训练 1. Rt△ ABC 中，斜边 BC =2，则 AB 2 + AC 2 + BC 2 的值为 （　　） A . 8 B . 4 C . 6 D . 无法计算 A 3. 一直角三角形的三边分别为2、3、 x ，那么以 x 为边长的正方形的面积为 ___________. 2. 如图，∠ C =∠ ABD =90°， AC =4， BC =3， BD =12，则 AD 的长为 ______ ． 13或5 13 4．已知Rt△ ABC 中，∠ C =90°，若 a + b =14cm， c =10cm，求△ ABC 的面积 . 解：∵ a + b =14， ∴ ( a + b ) 2 =196 . 又∵ a 2 + b 2 = c 2 = 1 00 ， ∴2 ab =196- ( a 2 + b 2 ) =96， ∴ ab =24． 例 2 我国古代数学著作 《 九章算术 》 中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 解：如图，设水池的水深 AC 为 x 尺， 则这根芦苇长 AD = AB = （ x +1 ）尺， 在直角三角形 ABC 中， BC =5 尺 由勾股定理得 BC 2 + AC 2 = AB 2 , 即 5 2 + x 2 = ( x +1) 2 25+ x 2 = x 2 +2 x +1 ， 2 x =24 ， ∴ x =12 ， x +1=13. 答：水池的水深 12 尺，这根芦苇长 13 尺 . D B C A 例 3 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C 1 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 解析： 蚂蚁由 A 点沿长方体的表面爬行到 C 1 点，有三种方式： ①沿 ABB 1 A 1 和 A 1 B 1 C 1 D 1 面；②沿 ABB 1 A 1 和 BCC 1 B 1 面；③沿 AA 1 D 1 D 和 A 1 B 1 C 1 D 1 面，把三种方式分别展成平面图形如下： 解：  在Rt△ ABC 1 中，  在Rt△ A C C 1 中，  在Rt△ A B 1 C 1 中， ∴ 沿路径 走路径最短，最短路径长为 5 . 化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短 . 方法总结 针对训练 5. 现有一长5米的梯子架靠在建筑物的墙上，它们的底部在地面的水平距离是3米，则梯子可以到达建筑物的高度是 ______ 米． 4 在 Rt△ ABO 中， OA ＝2 米， DC ＝ OB ＝1.4 米， ∴ AB 2 ＝2 2 －1.4 2 ＝2.04 . ∵ 4－2.6＝1.4，1.4 2 ＝1.96， 2. 04＞1.96， 答：卡车可以通过，但要小心． 解：如图，过半圆直径的中点 O ，作直径的垂线交下底边于点 D ，取点 C ，使 CD ＝1.4 米，过 C 作 OD 的平行线交半圆直径于 B 点，交半圆于 A 点 . 6 . 如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是 一个 半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装 满家 具后，高 4 米，宽 2.8 米，请问这辆送家具的卡车能 否通 过这个通道？ 7. 在 O 处的某海防哨所发现在它的北偏东 60° 方向相距 1000 米的 A 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的 B 处 . （ 1 ） 此时快艇航行了多少米 ( 即 AB 的长 ) ？ 北 东 O A B 60° 45° C 解：根据题意得 ∠ AOC =30 °， ∠ COB =45 °， AO =1000 米 . ∴ AC =500 米， BC = OC . 在 Rt △ AOC 中，由勾股定理得 ∴ BC = OC = 在 O 处的某海防哨所发现在它的北偏东 60° 方向相距 1000 米的 A 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的 B 处 . （ 2 ）距离哨所多少米（即 OB 的长） ？ 北 东 O A B 60° 45° C 解： 在 Rt △ BOC 中，由勾股定理得 例 4 在△ ABC 中， AB = c ， BC = a ， AC = b ， ，2 c - b =12，求△ ABC 的面积． 解：由题意可设 a =3 k ，则 b =4 k ， c =5 k ， ∵2 c - b =12， ∴10 k -4 k =12， ∴ k =2， ∴ a =6， b =8， c =10， ∵6 2 +8 2 =10 2 ， ∴ a 2 + b 2 = c 2 ， ∴△ ABC 为直角三角形， ∴△ ABC 的面积为 ×6×8=24． 考点二 勾股定理的逆定理及其应用 例 5 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东 60 ° 方向以每小时 8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 n mile 的速度前进， 2 h 后，甲船到 M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 n mile ，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 解：甲船航行的距离为 BM = 16 （ n mile ） , 乙船航行的距离为 BP = 30 （ n mile ）． ∵ 16 2 +30 2 =1156 ， 34 2 =1156, ∴ BM 2 + BP 2 = MP 2 , ∴△ MBP 为直角三角形，∴∠ MBP =90° , ∴乙船是沿着南偏东 30 ° 方向航行的． 8 . 下列各组数中，是勾股数的为（　　） A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，9 9. 已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有 ________ ． 针对训练 (2)(4) C 10. 如图，在四边形 ABCD 中， AB =20cm， BC =15cm， CD =7cm， AD =24cm，∠ ABC =90°．猜想∠ A 与∠ C 关系并加以证明． 解：猜想∠ A +∠ C =180°． 连接 AC . ∵∠ ABC =90°， ∴在Rt△ ABC 中，由勾股定理得 ∵ AD 2 + DC 2 =625=25 2 = AC 2 ， ∴△ ADC 是直角三角形，且∠ D =90°， ∵∠ DAB +∠ B +∠ BCD +∠ D = 36 0°， ∴∠ DAB +∠ BCD =180°， 即∠ A +∠ C =180°． 考点三 勾股定理与折叠问题 例 6 如图，在长方形 ABCD 中， AB =3cm， AD =9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF ，求△ ABE 的面积 . 解：∵长方形折叠，使点 B 与点 D 重合， ∴ ED = BE . 设 AE = x cm，则 ED = BE = ( 9- x ) cm， 在Rt△ ABE 中， AB 2 + AE 2 = BE 2 ， ∴3 2 + x 2 = ( 9- x ) 2 ， 解得 x =4 . ∴△ ABE 的面积为3×4× =6 ( cm 2 ). 方法总结 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解． 针对训练 11. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm ， BC ＝ 8 cm ， 将△ ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕是 DE ，则 CD 的长为 ． 1.75cm 考点四 本章解题思想方法 方程思想 例 7 如图，在△ ABC 中， AB =17， BC =9， AC =10， AD⊥BC 于 D. 试求△ ABC 的面积． 解：在Rt△ ABD 和Rt△ ACD 中， AB 2 - BD 2 = AD 2 ， AC 2 - CD 2 = AD 2 ， 设 DC = x ，则 BD =9+ x ， 故17 2 - ( 9+ x ) 2 =10 2 - x 2 ， 解得 x =6 . ∴ AD 2 = AC 2 − CD 2 = 64 ， ∴ AD =8 . ∴ S △ ABC = ×9×8=36． 解：当高 AD 在△ ABC 内部时，如图①. 在Rt△ ABD 中，由勾股定理， 得 BD 2 ＝ AB 2 － AD 2 ＝20 2 －12 2 ＝16 2 ， ∴ BD ＝16 . 在Rt△ ACD 中，由勾股定理， 得 CD 2 ＝ AC 2 － AD 2 ＝15 2 －12 2 ＝81， ∴ CD ＝9.∴ BC ＝ BD ＋ CD ＝25， ∴△ ABC 的周长为25＋20＋15＝60. 例 8 在△ ABC 中， AB ＝20， AC ＝15， AD 为 BC 边上的高，且 AD ＝12，求△ ABC 的周长． 分类讨论思想 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高 AD 在△ ABC 内的情形，忽视高 AD 在△ ABC 外的情形． 当高 AD 在△ ABC 外部时，如图②. 同理可得 BD ＝16， CD ＝9. ∴ BC ＝ BD － CD ＝7， ∴△ ABC 的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ ABC 的周长为42或60. 方法总结 例 9 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图 . 在 AA 1 上的点 Q 处有一只蜘蛛， QA 1 =3cm，在 BB 1 上的点P处有一只苍蝇， PB =2cm．求蜘蛛爬行的最短路径长 ( π取3 ). 解：如图 , 沿 AA 1 剪开 , 过 Q 作 QM ⊥ BB 1 于 M , 连接 QP . 则 PM =8-3-2=3 ( cm ) ， QM = A 1 B 1 = ×2×π×2=6 ( cm ) ， 在Rt△ QMP 中，由勾股定理得 答：蜘蛛爬行的最短路径长是 cm． 转化思想 课堂小结 勾股定理　 直角三角形边 长的数量关系　　 勾股定理 的逆定理　　 直角三角 形的判定　　 互逆定理 更多精彩视频内容，敬请关注微信公众号：我是好教师 微信扫描二维码下载更多资源