人教版九年级数学上册21.1一元二次方程课件.pptx

21.1 一元二次方程/ 21.1 一元二次方程 人教版 数学 九年级 上册21.1 一元二次方程/ 要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像 的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 【思考】上述所列的方程与我们以前学习的方程 一样吗？这种方程与以前学习的方程有哪些联系 ？ A B C 2m 设雕像下部高x m，依题意得方程 x2=2(2-x) 整理，得 x2+2x-4=0 导入新知21.1 一元二次方程/ 3.理解一元二次方程解（根）的概念，并能 解决相关问题. 1.理解一元二次方程的概念，根据一元二 次方程的一般形式，确定各项系数. 2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题. 素养目标21.1 一元二次方程/ 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一 个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒, 如果要制作的方盒的底面积为3600平 方厘米,那么铁皮各角应切去多大的 正方形? 一元二次方程的概念知识点 1 探究新知 100cm 50cm 3600cm221.1 一元二次方程/ 【分析】 设切去的正方形的边长为x cm, 则盒底的长为(100-2x)cm ,宽为 (50- 2x)cm. 根据方盒的底面积为3600cm2,得 整理，得 （100-2x）（50-2x）=3600 x2-75x+350=0 x 100cm 50cm 3600cm2 探究新知21.1 一元二次方程/ 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要 比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天， 每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 【分析】设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队 各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部 比赛 x（x-1）场。 可列方程 整理，得 x2-x=56 探究新知21.1 一元二次方程/ 【思考】x2-75x+350=0和x2-x-56=0这两个方程都不 是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程 的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 区 别 特 点 （1）这两个方程的两边都是整式； （2）都只含一个未知数x； （3）它们的未知数的最高次数都是 2 次的. 未 知 数 最 高次数为2 探究新知21.1 一元二次方程/ 像上述两个方程式这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数 是2(二次)的方程，叫做一元二次方程（必须满足 三个特征）. 一元二次方程的概念 探究新知21.1 一元二次方程/ 【想一想】 是一元二次方程吗？ 答：不是。等号左边含有分式；化简整理后， 未知数的最高次数为3次。 探究新知21.1 一元二次方程/ 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）C 不是整式方程 含两个未知数 整理x2-3x+2=0 a≠0 A. B. 3x2-5xy+y2=0 C.（x-1）（x-2）=0 D. ax2+bx+c=0 素 养 考 点 1 一元二次方程的识别 探究新知 方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后 再进行判断．三个条件：①方程两边都是整式；②只含有一个未知 数；③未知数的最高次数是2. 必须同时满足，缺一不可．21.1 一元二次方程/ 1. 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x3+ x2=36 (3) x+3y=36 (5) x+1=0 (1) x2+ x=36 (4) (6) (7) (8) 巩固练习21.1 一元二次方程/ 例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2-x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,当a-2≠0， 即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二 次方程. 利用一元二次方程的定义求字母的值素 养 考 点 2 探究新知 方法总结：根据未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用 二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．21.1 一元二次方程/ 2.方程(2a-4)x2－2bx+a=0. （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解：（1）当 2a-4≠0，即a ≠2 时是一元二次 方程. （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程. 巩固练习21.1 一元二次方程/ 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经 过整理，都可以化为 ax2+bx+c=0 的形式,我们把 ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次 方程的一般形式. 其中ax2是二次项，a是二次项系 数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 探究新知 一元二次方程的一般形式知识点 221.1 一元二次方程/ 一元二次方程的一般形式 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 二次项系数 一次项系数 常数项 二次项 一次项 探究新知21.1 一元二次方程/ 【思考】为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？ 【结论】只要满足a≠0，a,b,c可以为任意实数. 探究新知 当a=0时，ax2+bx+c=0 当a≠0，b=0时，ax2+bx+c=0 当a≠0，c=0时，ax2+bx+c=0 当a≠0，b=0,c=0时，ax2+bx+c=0 一元 二次 方程 bx+c=0（一元一次方程） ax2+c=0 ax2+bx=0 ax2=021.1 一元二次方程/ 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 【思考】一元一次方程与一元二次方程有什么区别 与联系？ Ax+b=0 (a≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0)整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 探究新知21.1 一元二次方程/ 例3 将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次 项系数和常数项. 一元二次方程一般形式的有关概念 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10 整理，得 3x2-8x-10=0 其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10. 二次项、二 次项系数、一次 项、一次项系数、 常数项都是包括 符号的. 素 养 考 点 3 探究新知21.1 一元二次方程/ 方法点拨 （1）一元二次方程的一般形式不是唯一 的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数. （2）一元二次方程的二次项、二次项系 数、一次项、一次项系数、常数项等都是针 对一般形式而言的. （3）指出一元二次方程各项系数时，不 要漏掉前面的符号. 探究新知21.1 一元二次方程/ 3.将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项 系数、一次项系数、常数项： （1）5x2-1=4x; (2)4 x2=81 解：(1)把5x2-1=4x化为一般形式5x2-4x-1=0 ， 二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1. (2)把4 x2 =81化为一般形式4x2-81=0 ，二次 项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81． 巩固练习21.1 一元二次方程/ （3）4x(x+2)=25 (4)(3x-2)(x+1)=8x-3 解：(3)把4x(x+2)=25 化为一般形式4x2+8x-25=0 ， 二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25． (4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化为一般形式3x2-7x+1=0 ，二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1． 巩固练习21.1 一元二次方程/ 一元二次方程解的概念知识点 3 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值 叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫 做一元二次方程的根. 探究新知21.1 一元二次方程/ 例4 已知关于x的一元二次方程 (m-1)x2＋3x-5m＋4=0 有一个根为2，求m. 分析: 一个根为2，即x=2,只需把x=2代入原方程. 解：依题意把x＝2代入原方程，得 4（m-1）+6-5m+4=0, 整理，得 -m+6=0, 解，得 m=6. 素 养 考 点 4 利用一元二次方程的解确定字母的值 探究新知 方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方 程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系 数的方程来解决问题.21.1 一元二次方程/ 4.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值. 解：依题意把x=3代入原方程，得 32+3a+a=0 9+4a=0， 巩固练习 整理， 即21.1 一元二次方程/ 1.已知一元二次方程x2+k-3=0有一个根为1，则k的 值为（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 巩固练习 连 接 中 考 B21.1 一元二次方程/ 2.宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾 馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间 房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的 费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房 价定为x元．则有（　　） 解析：设房价定为x元。依 题意，得 A.（180+x-20）（50- ）=10890 B.（x-20）（50- ）=10890 C. x（50- ）-50×20=10890 D.（x+180）（50- ）-50×20=10890 巩固练习 （x-20）（50- ）=10890 B 连 接 中 考21.1 一元二次方程/ 1. 下列哪些是一元二次方程？ 3x+2=5x-2 x2=0 (x+3)(2x-4)=x2 3y2=(3y+1)(y-2) x2=x3+x2-1 3x2=5x-1 课堂检测 基 础 巩 固 题21.1 一元二次方程/ 2.填空： 课堂检测 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -21 3 13 -54 0 -53 -2 基 础 巩 固 题21.1 一元二次方程/ 3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 　　　时，是一元一次方程．当 k 　　　时，是一元二次方程．≠±1 ＝－1 课堂检测 4.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则m的 值为_______． 基 础 巩 固 题21.1 一元二次方程/ (1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形 中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之 三.求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中π取3）. 1 50cm 200cm 解：设由于圆的半径为x cm，则它 的面积为 3x2 cm2. 整理，得 x2-2500=0 课堂检测 根据题意，得 200×150-3x2=200×150× 能 力 提 升 题21.1 一元二次方程/ (2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥 有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽 车拥有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的年 平均增长率为x. 整理，得 25x2+50x-11=0. 根据题意有 75（1+x）2 =108 课堂检测 能 力 提 升 题21.1 一元二次方程/ 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一 个根为1, 求a+b+c的值. 解：依题意把x=1代入原方程，得 a×12+b×1+c=0, 即 a+b+c=0. 拓 广 探 索 题 课堂检测21.1 一元二次方程/ 【思考】1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? 解：a+b+c=0可转化为 a×12+b×1+c=0 因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. 课堂检测 拓 广 探 索 题21.1 一元二次方程/ 2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出 方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? 课堂检测 解：a-b+c=0可转化为 a×（-1）2+b×（-1）+c=0 因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是-1. 4a+2b +c=0可转化为 a×22+b×2+c=0 因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是2. 拓 广 探 索 题21.1 一元二次方程/课堂小结 一元二次 方 程 概 念 ① 是整式方程； ② 含一个未知数；（一元） ③ 最高次数是2.（二次） 一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要 条件； 解（根） 使方程左右两边相等的未知数的值. 定义 判断 等号两边都是整式，只含一个未知 数且未知数的最高次数是2的方程21.1 一元二次方程/课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习