人教版九年级数学上册22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质课件.pptx

22.1 二次函数 的图像和性质 22.1.3 二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k 的 图像 和性质 第一课时 第二课时 第三课时 人教版 数学 九 年级 上册 第一课时 二次函数 y = ax 2 + k 的图像和 性质 返回 这个函数的图象是如何画出来呢？ x y 导入新知 素养目标 3 . 能 说出抛物线 y=ax ² +k 的 开口方向 、 对称轴 、 顶点 . 1 . 会 画二次函数 y = ax 2 + k 的图象 . 2 . 理解 抛物线 y=ax² 与抛物线 y=ax ² +k 之间的 联系 . 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = x 2 , y = x 2 +1, y = x 2 -1 的图象 . 【解析】 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x 2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y = x 2 +1 … … y = x 2 -1 … … 10 5 2 1 2 5 10 8 3 0 -1 0 3 8 二次函数 y = ax 2 + k 图象的画法 探究新知 知识点 1 1. 列表： y = x 2 +1 10 8 6 4 2 -2 -5 5 x y y = x 2 -1 y = x 2 O 2. 描点，连线： 探究新知 【思考】 抛物线 y = x 2 、 y = x 2 +1 、 y = x 2 -1 的开口方向、对称轴、顶点各是什么？ 解： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = x 2 向上 x =0 （ 0,0 ） y = x 2 +1 向上 x =0 (0 ， 1) y = x 2 -1 向上 x =0 (0 ， -1) 探究新知 二次函数 y = ax 2 + k 的图象的画法 例 1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2 x 2 +1 ， y = 2 x 2 -1 的图象。 解析 先列表 ： x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y =2 x 2 +1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y = 2 x 2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 素养考点 1 探究新知 x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y = 2 x 2 +1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y = 2 x 2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 然后描点画图： 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2 x 2 -1 y = 2 x 2 +1 -1 探究新知 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2 x 2 -1 y = 2 x 2 +1 -1 抛物线 y = 2 x 2 +1 , y = 2 x 2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 【思考】 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y =2 x 2 +1 向上 x =0 （ 0,1 ） y =2 x 2 -1 向上 x =0 （ 0 ， -1 ） 解答： 探究新知 1 . 在 同一坐标系中，画出 二次函数 ， ， 的 图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点 坐标 . -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 如图所示 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 x =0 （ 0,0 ） 向下 x =0 （ 0,2 ） 向下 x =0 （ 0 ， -2 ） 巩固练习 解： 先列表 ： x ··· － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 在 同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 二次函数 y = ax 2 + k 的图象和性质 1. 二次函数 y = ax 2 + k 的图象和性质 ( a ＞ 0) 探究新知 知识点 2 x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 再描点、连线，画出这两个函数的图象： 探究新知 【思考】 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 （ 0,0 ） （ 0,1 ） y 轴 y 轴 【想一想】 通过观察图象，二次函数 y = ax 2 +k ( a ＞0) 的性质是什么？ 探究新知 开口方向： 向上 对称轴： x =0 顶点坐标： （ 0 ， k ） 最值： 当 x =0 时，有最小值， y=k 增减性： 当 x ＜0 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x ＞0 时， y 随 x 的增大而增大 . 探究新知 二次函数 y = ax 2 +k ( a ＞0) 的性质 y -2 -2 4 2 2 -4 x 0 2. 二次函数 y = ax 2 + k 的图象和性质 ( a ＜ 0) 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象： 探究新知 根据图象回答下列问题 : (1) 图象的形状都是 . (2) 三条抛物线的开口方向 _ ___ ___ ; (3) 对称轴都是 __________ (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________ 抛物线 向下 直线 x =0 ( 0,0) ( 0 ， 2) ( 0,-2) 探究新知 (5) 顶点都是最 ____ 点，函数都有最 ____ 值，从上而下最大值分别为 _______ 、 _______﹑________ (6) 函数的增减性都相同： __________________________ __________________________ 高 大 y =0 y = -2 y =2 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大 对称轴右侧 y 随 x 增大而减小 探究新知 y = ax 2 + k a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴（ x =0 ） y 轴（ x =0 ） 顶点坐标 （ 0, k ） （ 0, k ） 最值 当 x =0 时， y 最小值 = k 当 x =0 时， y 最大值 = k 增减性 当 x ＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大 . 当 x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而减小； x ＜ 0 时， y 随 x 的增大而增大 . 注意： k 带前面的符号！ 探究新知 二次函数 y = ax 2 +k （ a ≠ 0 ） 的 性质 例 2 已知二次函数 y ＝ ax 2 + c, 当 x 取 x 1 ， x 2 （ x 1 ≠ x 2 ）时，函数值相等，则当 x ＝ x 1 + x 2 时，其函数值为 ________. 解析 由二次函数 y ＝ ax 2 + c 图象的性质可知， x 1 ， x 2 关于 y 轴对称，即 x 1 + x 2 ＝ 0. 把 x ＝ 0 代入二次函数表达式求出纵坐标为 c . c 【方法总结】 二次函数 y ＝ ax 2 + c 的图象关于 y 轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数． 二次函数 y = ax 2 + k 的性质的应用 素养考点 2 探究新知 抛物线 y = −2 x 2 +3 的顶点坐标是 , 对称轴是 ，在 侧 ， y 随着 x 的增大而增大 ； 在 侧， y 随着 x 的增大而减小 . 巩固练习 2. （ 0,3 ） y 轴 对称轴左 对称轴右 解析式 y =2 x 2 y =2 x 2 +1 y =2 x 2 -1 +1 -1 点的坐标 函数对应值表 x … … y =2 x 2 -1 … … y =2 x 2 … … y =2 x 2 +1 … … 4.5 -1.5 3.5 5.5 -1 2 1 3 x 2 x 2 2 x 2 -1 ( x , ) ( x , ) ( x , ) 2 x 2 -1 2 x 2 2 x 2 +1 从数的角度探究 二次函数 y = ax 2 + k 的图象及平移 2 x 2 +1 探究新知 知识点 4 4 x y O － 2 2 2 4 6 － 4 8 10 － 2 y = 2 x 2 ＋ 1 y = 2 x 2 － 1 观察图象可以发现，把抛物线 y =2 x 2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ； 把抛物线 y =2 x 2 向 平移 1 个单位长度 ， 就得到抛物线 y =2 x 2 -1 . 下 y =2 x 2 +1 上 从形的角度探究 探究新知 二次函数 y = ax 2 + k 的图象可以由 y = ax 2 的图象平移得到： 当 k > 0 时 , 向上平移 个单位长度得到 . 当 k < 0 时 , 向下平移 个单位长度得到 . 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减 . 探究新知 二次函数 y = ax 2 与 y = ax 2 + k （ a ≠ 0 ）的图象的关系 二次函数 y ＝－ 3 x 2 ＋ 1 的图象是将 ( 　　 ) A ．抛物线 y ＝－ 3 x 2 向左平移 3 个单位得到 B ．抛物线 y ＝－ 3 x 2 向左平移 1 个单位得到 C ．抛物线 y ＝ 3 x 2 向上平移 1 个单位得到 D ．抛物线 y ＝－ 3 x 2 向上平移 1 个单位得到 解析 二次函数 y ＝－ 3 x 2 ＋ 1 的图象是将抛物线 y ＝－ 3 x 2 向上平移 1 个单位得到的 ． D 巩固练习 3. 1. 二次函数 y = ax 2 + k 图象的画法分几步？ 2 . 抛物线 y = ax 2 + k 中的 a 决定什么？怎样决定的？ k 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 第一种方法：平移法， 分两步即第一步画 y = ax 2 的图象；第二步把 y = ax 的图象向上（或向下）平移 ︱ k ︱ 单位 . 第二种方法：描点法， 分三步即列表、描点和连线 . a 决定开口方向和大小； k 决定顶点的纵坐标 . 【想一想】 探究新知 将 二次函数 y = x 2 ﹣1 的图象向上平移 3 个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是 ． 连接中考 巩固练习 连接中考 y = x 2 +2 　 1. 抛物线 y =2 x 2 向下平移 4 个单位，就得到抛物线 ． 　 　 2. 填表： y = 2 x 2 － 4 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = 3 x 2 y = 3 x 2 ＋ 1 y = -4 x 2 － 5 向上 向上 向下 （ 0,0 ） (0,1) (0,-5) y 轴 y 轴 y 轴 有最低点 有最低点 有最高点 课堂检测 基础巩固题 3. 已知点 （ m , n ) 在 y = ax 2 + a （ a 不为 0 ） 的图象上 ，点 (- m , n ) ___ （ 填“在”或“不在” ） y = ax 2 + a （ a 不为 0 ） 的图象上 . 4. 若 y = x 2 + （ k -2 ） 的顶点是原点，则 k ____ ； 若顶点位于 x 轴上方，则 k ____ ； 若顶点位于 x 轴下方 ， 则 k . 在 =2 >2 0 =0 1 (0,1) (-1,0),(1,0) 开口方向向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标（ 0 ， -3 ） . 课堂检测 基础巩固题 1. 对于二次函数 y =( m +1) x m 2 - m +3, 当 x >0 时 y 随 x 的增大而增大，则 m =____. 2. 已知二次函数 y =( a -2) x 2 + a 2 -2 的最高点为（ 0 ， 2 ）， 则 a =____. 3. 抛物线 y = ax 2 + c 与 x 轴交于 A （ -2,0 ） ﹑ B 两点，与 y 轴交于点 C (0 ， -4), 则三角形 ABC 的面积是 _______. 2 -2 8 能力提升 题 课堂检测 1. 开口方向由 a 的符号决定； 2. k 决定顶点位置； 3. 对称轴是 y 轴 . 二次函数 y = ax 2 + k （ a ≠0) 的图象和性质 图象 性质 与 y = ax 2 的关系 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 . 平移规律： k 正向上； k 负向下 . 课堂小结 课堂小结 第二课时 二次函数 y = a （ x - h ） 2 的图象和性质 返回 导入新知 a , c 的符号 a>0, c> 0 a>0, c < 0 a 0 a 0 时，向上平移 个单位长度得到 . 当 k < 0 时，向下平移 个单位长度得到 . 【 思考 】 函数 的图象，能否也可以由函数 平移得到？ 导入新知 素养目标 3 . 能 说出抛物线 y = a ( x - h ) 2 的开口方向、对称轴、顶点 . 1. 会画二次函数 y = a ( x - h ) 2 的图象 . 2 . 理解 抛物线 y = ax 2 与抛物线 y = a ( x - h ) 2 的联系 . 二 次函数 y = a ( x - h ) 2 的图象和性质 在 如图所示的坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 解： 先列表 ： x ··· － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 探究新知 知识点 1 x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 再描点、连线，画出这两个函数的图象： 探究新知 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向上 y 轴 x =2 (0,0) (2,0) 根据所画图象，填写下表： 【 想一想 】 通过上述例子，函数 y = a ( x-h ) 2 （ a ＞0 ） 的性质是什么？ 探究新知 当 x =0 时， y 最小值 =0 当 x =2 时， y 最小值 =0 当 x ＞0 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x ＜0 时， y 随 x 的增大而减小 当 x ＞2 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x ＜2 时， y 随 x 的增大而减小 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 y = a ( x-h ) 2 （ a＞0 ） 向上 x = h （ h ， 0 ） 当 x = h 时， y 最小值 =0 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x ＜ h 时， y 随 x 的增大而减小 探究新知 二次函数 y = a ( x-h ) 2 （ a ＞0 ） 的图象性质 【试一试】 画出二次函数 的图象，并说出它们的开口方向、对称轴和顶点． x ··· － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· － 2 － 4.5 － 2 0 0 － 2 － 2 － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 － 4.5 0 x y － 8 探究新知 x y O － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 当 x =-1 时， y 最大值 =0 当 x ＜-1 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x ＞-1 时， y 随 x 的增大而减小 当 x =0 时， y 最大值 =0 当 x ＜0 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x ＞0 时， y 随 x 的增大而减小 当 x =1 时， y 最大值 =0 当 x ＜1 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x ＞1 时， y 随 x 的增大而减小 向下 直线 x =- 1 ( - 1 , 0 ) 直线 x = 0 直线 x = 1 向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 1 , 0) 探究新知 函数 y = a ( x-h ) 2 （ a ＜0 ）的性质（结合图象） 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 y = a ( x-h ) 2 （ a＜0 ） 向下 x = h （ h ， 0 ） 当 x = h 时， y 最大值 =0 当 x ＜ h 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增大而减小 【 想一想 】 通过上述例子，函数 y = a ( x-h ) 2 （ a ＜0 ）的性质是什么？ 探究新知 y = a ( x-h ) 2 a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 探究新知 二次函数 y = a ( x-h ) 2 ( a ≠ 0) 的图象性质 向上 直线 x=h （ h , 0 ） 当 x = h 时， y 最小值 = 0 当 x ＜ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞ h 时， y 随 x 的增大而增大 . 向下 直线 x=h （ h , 0 ） 当 x = h 时， y 最大值 = 0 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＜ h 时， y 随 x 的增大而增大 . 例 1 若抛物线 y ＝ 3( x ＋ ) 2 的图象上的三个点， A ( － 3 ， y 1 ) ， B ( － 1 ， y 2 ) ， C (0 ， y 3 ) ，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系为 ________________ ． 解： ∵ 抛物线 y ＝ 3( x ＋ ) 2 的对称轴为 x ＝－ ， a ＝ 3 ＞ 0 ， 开口向上， ∴ 当 x ＜－ 时， 即在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而减小；当 x ＞－ 时，即在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而增大． ∵ 点 A 的坐标为 ( － 3 ， y 1 ) ， ∴ 点 A 在抛物线上关于 x =- 的对称点 A ′ 的坐标为 ( ， y 1 ) ． 又 ∵ － 1 ＜ 0 ＜ ， ∴ y 2 ＜ y 3 ＜ y 1 . y 2 ＜ y 3 ＜ y 1 二次函数 y = a （ x-h ） 2 的图象和性质 素养考点 1 探究新知 方法点拨 利用函数的性质比较函数值的大小时，首先 确定 函数的 对称轴 ，然后判断所给点与对称轴的位置关系，若同侧，直接比较大小；若异侧，先依对称性转化到同侧 ，再比较 大小 . 探究新知 1. 已知 二次函数 y =-( x + h ) 2 ,当 x -3时， y 随 x 的增大而减小，当 x =0时， y 的值是（ ） A .-1 B.-9 C.1 D.9 巩固练习 B 向右平移 1 个单位 二次函数 y = ax 2 与 y = a ( x - h ) 2 的关系 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系 ？ x y O － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 向左平移 1 个单位 探究新知 知识点 2 可以看作互相平移得到 . 左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变 . y = a ( x - h ) 2 当向 左 平移 ︱ h ︱ 个单位 时 y = a ( x + h ) 2 当向 右 平移 ︱ h ︱ 个单位 时 y = ax 2 探究新知 二次函数 y = a （ x - h ) 2 的图象 与 y = ax 2 的图象的关系 例 2 抛物线 y ＝ ax 2 向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求 a 的值和平移后的函数关系式． 解： 二次函数 y ＝ ax 2 的图象向右平移 3 个单位后的二次函数关系式可表示为 y ＝ a ( x － 3) 2 ， 把 x ＝－ 1 ， y ＝ 4 代入，得 4 ＝ a ( － 1 － 3) 2 ， ， 因此平移后二次函数关系式为 y ＝ ( x － 3) 2 . 方法总结： 根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后， a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”． 二次函数平移性质的应用 素养考点 2 探究新知 2. 将 二次函数 y ＝－ 2 x 2 的图象平移后，可得到 二次函数 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的图象，平移的方法是 ( 　　 ) A ．向上平移 1 个单位　　 B ．向下平移 1 个单位 C ．向左平移 1 个单位　　 D ．向右平移 1 个单位 解析 抛物线 y ＝－ 2 x 2 的顶点坐标是 (0 ， 0) ， 抛物线 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的顶点坐标是 ( － 1 ， 0) ． 则由二次函数 y ＝－ 2 x 2 的图象向左平移 1 个单位即可得到二次函数 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的图象 ． C 巩固练习 已知 二次函数 y =﹣（ x ﹣ h ） 2 （ h 为常数 ）， 当自变量 x 的值满足 2 ≤ x ≤ 5 时，与其对应的函数值 y 的最大值为 ﹣1， 则 h 的值为（　 ） A．3 或 6 B．1 或 6 C ．1 或 3 D．4 或 6 连接中考 巩固练习 连接中考 B 　 1 . 把 抛物线 y =- x 2 沿着 x 轴方向 平移 3 个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 . 2. 二次函数 y =2( x - ) 2 图象的对称轴是直线 _______ ， 顶点是 ________. 3. 若 （ - ， y 1 ）（ - ， y 2 ）（ ， y 3 ） 为二次函数 y =( x -2) 2 图象上的三点，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系为 _______________. y =-( x +3) 2 或 y =-( x -3) 2 y 1 ＞ y 2 ＞ y 3 课堂检测 基础巩固题 4. 指出下列函数图象的开口方向 , 对称轴和顶点坐标 . 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线 x = 3 ( 3 , 0 ) 直线 x = 2 直线 x = 1 向下 向上 (2 , 0 ) ( 1 , 0) 课堂检测 基础巩固题 在 同一坐标系中，画出函数 y ＝ 2 x 2 与 y ＝ 2( x -2) 2 的图象，分别指出两个图象之间的相互关系． 解： 图象如图 . 函数 y =2( x -2) 2 的图象由函数 y =2 x 2 的图象向 右 平移 2 个单位得到 . y O x y = 2 x 2 2 课堂检测 能力提升题 在 直角坐标系中画出函数 y ＝ ( x -3) 2 的图象． (1) 指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2) 说明该函数图象与二次函数 y ＝ x 2 的图象的关系； (3) 根据图象说明，何时 y 随 x 的增大而减小，何时 y 随 x 的增大而增大，何时 y 有最大 ( 小 ) 值，是多少 ? 课堂检测 拓广探索题 解： （ 1 ） 开口 向上 ，对称轴为 x = 3 ， 顶点坐标为 （ 3 ， 0 ） . （ 3 ） 当 x ＞ 3 时， y 随 x 的增大而增大，当 x ＜ 3 时， y 随 x 的增大而减小，当 x = 3 时， y 有最小值，为 0 . -2 2 4 y O -2 2 x 4 -4 （ 2 ） 该函数图象由二次函数 y = x 2 的图象向 右 平移 3 个单位得到 . 复习 y = ax 2 + k 探索 y = a ( x-h ) 2 的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 直线 x = h （ h ,0 ） a >0, 开口向上 a 0 k 0 a 0 h< 0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当 x < h 时， y 随 x 增大而增大；当 x > h 时， y 随 x 增大而减小 . 当 x < h 时， y 随 x 增大而减小；当 x > h 时， y 随 x 增大而增大 . 向上 向下 直线 x=h 直线 x=h （ h , k ） x=h 时， y 最小值 =k x=h 时， y 最大值 =k （ h,k ） 探究新知 二次函数 y=a ( x-h ) 2 +k 的图象和性质 例 1 已知二次函数 y ＝ a ( x － 1) 2 － c 的图象如图所示，则一次函数 y ＝ ax ＋ c 的大致图象可能是 ( 　　 ) 解析 根据二次函数开口向上则 a ＞ 0 ， 根据 － c 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出 c ＞ 0 ， 故一次函数 y ＝ ax ＋ c 的大致图象经过第一、二、三象限 ． A 利用二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k 的性质识别图象 素养考点 1 探究新知 在 同一坐标系内，一次函数 y = ax +2与二次函数 y=x ² +a 的图象可能是（ ） 巩固练习 2. C -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 向左平移一个单位 向下平移一个单位 向左平移一个单位， 再向下平移一个单位 二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k 的图象与平移 探究新知 知识点 2 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 向左平移 1 个单位 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 【 思考 】 还 可以 怎样 移动抛物线 来得到 抛物线 ？ 平移 方法 ： 向下平移 1 个单位 探究新知 y=a ( x-h ) 2 +k y=ax 2 平移关系 ？ 二次函数 y=a ( x-h ) 2 +k 的几种图象： 这些图象与抛物线 y=ax 2 有什么关系？ 探究新知 方法点拨 一般地 , 抛物线 y = a ( x － h ) ² ＋ k 与 y = ax ² 形状相同 , 位置不同 . 把抛物线 y = ax ² 向上 ( 下 ) 向右 ( 左 ) 平移 , 可以得到抛物线 y = a ( x － h ) ² ＋ k . 平移的方向、距离要根据 h 、 k 的值来决定 . 向左 ( 右 ) 平移 | h | 个单位 向上 ( 下 ) 平移 |k| 个单位 y = ax 2 y = a ( x － h ) 2 y = a ( x － h ) 2 + k y = ax 2 y = a ( x － h ) 2 + k 向上 ( 下 ) 平移 |k| 个单位 y=ax ² +k 向左 ( 右 ) 平移 |h| 个单位 平移方法 : 探究新知 (1) 当 a > 0 时 , 开口向上 ; 当 a < 0 时， 开口向下 ; (2) 对称轴是直线 x = h ; (3) 顶点是 ( h , k ). 探究新知 抛物线 y = a ( x － h ) 2 + k 的特点 可以看作 互相平移 得到的 . y = ax 2 y = ax 2 + k y = a ( x - h ) 2 y = a ( x - h ) 2 + k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减 . 二次项系数 a 不变 . 探究新知 二次函数 y = ax 2 与 y = a （ x - h ) 2 + k 的关系 如果 一条抛物线的形状 与 形状相同，且顶点坐标是（ 4 ， 2 ），试求这个函数关系式 . 巩固练习 3. 例 2 要修建一个圆形喷水池 , 在池中心竖直安装一根水管 . 在水管的顶端安装一个喷水头 , 使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高 , 高度为 3m, 水柱落地处离池中心 3m, 水管应多长 ? 二次函数的应用 素养考点 2 探究新知 C(3,0) B(1 ， 3) A x O y 1 2 3 1 2 3 解 : 如图建立直角坐标系 , 点 (1,3) 是图中这段抛物线的顶点 . 因此 可设这段抛物线对应的函数是 ∵ 这段抛物线经过 点 (3,0) ， ∴ 0= a (3 － 1) 2 ＋ 3. 解得 : 因此抛物线的解析式为 : y = a ( x － 1) 2 ＋ 3 (0≤ x ≤3). 当 x =0 时 , y =2.25. 答 : 水管长应为 2.25m . 3 4 a = － y = ( x － 1) 2 ＋ 3 (0≤ x ≤3) 3 4 － 探究新知 如 图所示，已知一个大门呈抛物线型，其地面宽度 AB =18m ，一个同学站在门内，在离门脚 B 点 1m 远的 D 处，垂直地面立起一根 1.7m 长的木杆，其顶端恰好定在抛物线形门上 C 处，请你求出大门的高 h 的值 . 巩固练习 4. 巩固练习 解 : 如 图 , 建立 平面 直角坐标 系 , 设抛物线解析式为 y = ax 2 + k. 由题意得 B （ 9, 0 ）， C （ 8, 1.7 ） . 把 B 、 C 两 点的坐标代入 y = ax 2 + k ， 得 解得 ∴ y =- 0.1 x 2 +8.1 , ∴ h = k =8.1 , 即大门高 8.1m. 点拔 : 此题还 可以以 AB 所在直线为 x 轴 , A 点或 B 点为原点 , 建立平面直角坐标系 , 求得抛物线的解析式，进而得出顶点坐标 , 顶点的纵坐标即为 h 的值 . 1 . 抛物线 y =3（ x ﹣1） 2 +1 的顶点坐标是（　 ） A ．（1，1） B．（﹣1，1） C ．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1） 连接中考 巩固练习 连接中考 A 2 . 将 抛物线 y =﹣5 x 2 + 1 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A． y =﹣5（ x + 1） 2 ﹣ 1 B ． y =﹣5（ x ﹣1） 2 ﹣ 1 C． y =﹣5（ x + 1） 2 +3 D． y =﹣5（ x ﹣1） 2 +3 巩固练习 A 连接中考 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y =2( x +3) 2 +5 向上 ( 1, － 2 ) 向下 向下 ( 3 , 7) ( 2 , － 6 ) 向上 直线 x = － 3 直线 x =1 直线 x =3 直线 x =2 ( － 3, 5 ) y = － 3( x － 1) 2 － 2 y = 4( x － 3) 2 ＋ 7 y= － 5(2 － x ) 2 － 6 1. 完成下表 : 基础巩固题 课堂检测 2. 把抛物线 y = - 3 x 2 先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，那么所得抛物线是 ___________________. 4. 抛物线 y = - 3( x - 1) 2 +2 的图象如何得到 y = - 3 x 2 . 3. 抛物线 y= - 3 x 2 +2 的图象向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到抛物线的解析式为 _____________ . 答： 先向左平移一个单位，再向下平移两个单位 . 基础巩固题 课堂检测 5. 已知一个二次函数图象的顶点为 A (-1,3), 且它是由二次函数 y =5 x 2 平移得到，请直接写出该二次函数 的解析式 . y = a ( x - h ) 2 + k y = 5 ( x +1 ) 2 + 3 基础巩固题 课堂检测 已知 二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（ 1 ，－ 2 ），求这个二次函数的关系式． 解 ： 由函数顶点坐标是（ 1 ， -2 ）， 设二次函数的关系式为 y = a ( x -1) 2 -2. 图象过点 (0 ， 0) ，则 0= a (0-1) 2 -2 ， 解 得 a =2 ∴这个二次函数的关系式为 y =2( x -1) 2 -2. 能力提升题 课堂检测 小 敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线 y = x 2 +3.5 的一部分 ( 如图 ) ，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离 l 是 ( ) A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m B 解析： 由图可以知道，小敏与篮底的距离就是 AB . 因为 AB = OA + OB , OA =2.5m ，所以要求 OB 即可，而 OB 就是篮圈中心的横坐标，设为 a ，则篮圈中心的坐标就是（ a ， 3.5 ），点在抛物线上，即： 3.5= a 2 +3.5 ，整理得： a 2 =2.25, 即 a =±1.5, a =-1.5 （舍去），故 a =1.5 ，因此 AB =4 . 拓广探索题 课堂检测 向右 ( h >0)[ 或向左 ( h 0)[ 或向 下 ( k 0)[ 或向左 ( h 0)[ 或向 下 ( k 0)[ 或向左 ( h 0)[ 或向 下 ( k