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绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无
效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合 }3,2,1,0,1,2{ U ， },1,0,1{A },2,1{B 则 )( BACU （ ）
A． }3,2{ B． }3,2,2{ C． }3,0,1,2{ D． }3,2,0,1,2{
2．若 为第四象限角，则
A． 02cos B． 02cos C． 02sin D． 02sin
3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单配货，由于订单
量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积
压 500 份订单未配货，预计第二天的新订单 1600 份的概率为 0.05，志愿者每人每天能完成 50 份订
单的配货，为使第二天 积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者
A．10 名 B．18 名 C．24 名 D．32 名
4．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心
石），环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一
层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则
三层共有扇面形石板（不含天心石）
A．3699 块 B．3474 块 C．3402 块 D．3339 块
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5．若过点 )1,2( 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 032 yx 的距离为
A．
5
5 B．
5
52 C．
5
53 D．
5
54
6．数列 }{ na 中， 21 a ， nmnm aaa ，若 515
1021 22 kkk aaa ，则 k
A．2 B．3 C．4 D．5
7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为 M ，在俯视
图中对应的点为 N ，则该端点在侧视图中对应的点为
A． E B． F C．G D． H
8．设 O 为坐标原点，直线 ax 与双曲线 )0,0(1: 2
2
2
2
ba
b
y
a
xC 的两条渐近线分别交于 ED、 两
点，若 ODE 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值为
A．4 B．8 C．16 D．32
9 设函数 12ln12ln)( xxxf ，则 )(xf
A．是偶函数，且在 ),2
1( 单调递增 B．是奇函数，且在 )2
1,2
1( 单调递减
C．是偶函数，且在 )2
1,( 单调递增 D．是奇函数，且在 )2
1,( 单调递减
10. 已知 ABC△ 是面积为
4
39 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的表面上，若球O 的表面积为 16 ，
则球 O 到平面 ABC 的距离为（ ）
A． 3 B．
2
3 C．1 D．
2
3
11. 若 yxyx 3322 ，则（ ）
A. 0)1ln( xy B． 0)1ln( xy C． 0ln yx D． 0ln yx
12．0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列 naaa 21 满足 ),2,1)(1,0( iai ，且存在
正整数 m ，使得 ),2,1( iaa imi 成立，则称其为 0-1 周期序列，并称满足 ),2,1( iaa imi 的最
小 正 整 数 m 为 这 个 序 列 的 周 期 ． 对 于 周 期 为 m 的 0-1 序 列 naaa 21 ，
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m
i
kii mkaamkC
1
)1,,2,1(1)( 是描述其性质的重要指标．下列周期为 5 的 0-1 序列中，满足
)4,3,2,1(5
1)( kkC 的序列是
A．11010… B．11011… C．10001… D．11001…
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知单位向量 ba, 的夹角为 45°， k ba 与 a 垂直，则 k _______．
14．4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名
同学，则不同的安排方法共有______种．
15．设复数 21, zz 满足 izzzz 32 2121 ， ，则 21 zz ______．
16．设有下列四个命题：
1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
4P ：若直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，则 lm ．
则下述命题中所有真命题的序号是________．
① 41 pp ② 21 pp ③ 32 pp ④ 43 pp
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）
ABC△ 中， 2 2 2sin sin sin sin sinA B C B C ．
（1）求 A ；
（2）若 3BC ，求 ABC△ 周长的最大值．
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18．（12 分）
某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加． 为调查该地区某种野
生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作
为样区，调查得到样本数据 20,,2,1, iyx ii ，其中 ix 和 iy 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积（单
位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得
20
1
60
i
ix ，
20
1
1200
i
iy ，
20
1
2
80
i
i xx ，
20
1
2
9000
i
i yy ， 080
20
1
i
ii yyxx ．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物
数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本 20,,2,1, iyx ii 的相关系数（精确到 0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区
这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yyxx
yyxx
r
1
2
1
2
1 ， 414.12 ．
19．（12 分）
已知椭圆 1C : 012
2
2
2
ba
b
y
a
x 的右焦点 F 与抛物线 2C 的焦点重合， 1C 的中心与的 2C 的顶
点重合． 过 F 且与 x 轴垂直的直线交 1C 于 A ， B 两点，交 2C 于C ， D 两点，且 ABCD 3
4 ．
（1）求 1C 的离心率；
（2）设 M 是 1C 与 2C 的公共点，若 5MF ，求 1C 与 2C 的标准方程．
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20．（12 分）
如图，已知三棱柱 111 CBAABC 的底面是正三角形，侧面 CCBB 11 是矩形， M ， N 分别为 BC ，
11CB 的中点， P 为 AM 上一点，过 11CB 和 P 的平面交 AB 于 E ，交 AC 于 F ．
（1）证明： MNAA ∥1 ，且平面 FCEBAMNA 111 平面 ；
（2）设 O 为△ 111 CBA 的中心，若 FCEBAO 11平面∥ ，且 ABAO ，求直线 EB1 与平面 AMNA1
所成角的正弦值．
21．（12 分）
已知函数 2sin sin 2f x x x ．
（1）讨论 f x 在区间 0, 的单调性；
（2）证明： 3 3
8f x ；
（3）设 *nN ，证明： 2 2 2 2 3sin sin 2 sin 4 sin 2 4
n
n
nx x x x ．
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（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计
分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知曲线 1C ， 2C 的参数方程分别为
1C ：
2
2
4cos
4sin
x
y
（ 为参数）， 2C ：
1
1
x t t
y t t
（ t 为参数）．
（1）将 1C ， 2C 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 1C ， 2C 的交点为 P ，求圆心在
极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 2 2 1f x x a x a ．
（1）当 2a 时，求不等式 4f x 的解集；
（2）若 4f x ，求 a 的取值范围．
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