秘密★启用前
试卷类型：A
2021 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学
2021.03.16
本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上．用
2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不
按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．复数 2
1
iz i
在复平面内对应的点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合 { ( 1)( 2) 0}A x x x ∣ ，则 R A ð （）
A．{ 2 1}x x ∣ B．{ 1 2}x x ∣ C．{ 2x x ∣ 或 1}x
D．{ 1x x ∣ 或 2}x
3．2020 年 11 月 10 日，我国“奋斗者”号载人深潜器在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到惊人的10909m ，
创造了我国载人深潜的新记录．当“奋斗者”号下潜至某一深度时，处于其正上方海面处的科考船用声呐装置
向“奋斗者”号发射声波．已知声波在海水中传播的平均速度约为1450m / s ，若从发出至回收到声波所用时
间为 6s ，则“奋斗者”号的实际下潜深度约为（）
A． 2900m B． 4350mC．5800m D．8700m
4． 1a b 是 2 2a b 的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数 3( ) sinf x x x 在[ 1,1] 上的图像大致为（）
A． B． C． D．
6．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，
结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从
四个阴数和五个阳数中随机选取 3 个数，则选取的 3 个数之和为奇数的方法数为（）
A．30B．40C．44D．70
7．已知 ( 1,0), (0,2)A B ，直线 :2 2 3 0l x ay a 上存在点 P ，满足| | | | 5PA PB ，则 l 的倾
斜角的取值范围是（）
A． 2,3 3
B． 20, ,3 3
C． 3,4 4
D． 30, ,4 4
8．已知 e 2.71828 是自然对数的底数，设 2 13 23 , 2 , e ln 2e ea b c ，则（）
A． a b c B．b a c C．b c a D． c a b
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知点 O 为坐标原点，直线 1y x 与抛物线 2: 4C y x 相交于 ,A B 两点，则（）
A．| | 8AB B．OA OB
C． AOB 的面积为 2 2 D．线段 AB 的中点到直线 0x 的距离为 2
10．已知函数 2( ) sin 2 2cosf x x x ，则（）
A． ( )f x 的最大值为 3B． ( )f x 的图像关于直线
8x 对称
C． ( )f x 的图像关于点 ,18
对称 D． ( )f x 在 ,4 4
上单调递增
1l．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 4，EF 是棱 AB 上的一条线段，且 1EF ，点Q 是棱 1 1A D 的
中点，点 P 是棱 1 1C D 上的动点，则下面结论中正确的是（）
A． PQ 与 EF 一定不垂直 B．二面角 P EF Q 的正弦值是 10
10
C． PEF 的面积是 2 2 D．点 P 到平面QEF 的距离是常量
12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，
再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．将数列 1,2 进行构造，第 1 次得到数列 1,3,2；第 2 次
得到数列 1,4,3,5,2；…；第 *n nN 次得到数列 1， 1 2 3, , , , kx x x x ，2；…记
1 21 2n ka x x x ，数列 na 的前 n 项为 nS ，则（）
A． 1 2nk B． 1 3 3n na a C． 23 32na n n D． 13 3 2 34
n
nS n
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．设向量 (1, ), (2,1)a m b ，且 (2 ) 7b a b ，则 m __________．
14．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，这 5 次试验的数
据如下表：
零件数 x （个） 10 20 30 40 50
加工时间 (min)y 62 a 75 81 89
若用最小二乘法求得回归直线方程为 0.67 54.9y x ，则 a 的值为___________．
15．已知圆 2 2( 1) 4x y 与双曲线
2 2
2 2: 1x yC a b
的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为
, , ,M N P Q，且| | 2| |MN PQ ，则C 的离心率为_______．
16．已知三棱锥 P ABC 的底面 ABC 是边长为 6 的等边三角形， 21PA PB PC ，先在三棱锥
P ABC 内放入一个内切球 1O ，然后再放入一个球 2O ，使得球 2O 与球 1O 及三棱锥 P ABC 的三个侧面
都相切，则球 1O 的体积为________，球 2O 的表面积为__________．（第一空 2 分，第二空 3 分）
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
已知 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 3, cos2 cos( )b B A C ，
sin sin 6sina A c C B ．
（1）求 B ；
（2）求 ABC 的周长．
18．（12 分）
已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，公差 20,d a 是 1 5,a a 的等比中项， 5 25S ．
（1）求 na 的通项公式；
（2）若数列 nb 满足 1n n nb b S ，求 2 20b b ．
19．（12 分）
在边长为 2 的菱形 ABCD 中， 60BAD ，点 E 是边 AB 的中点（如图 1），将 ADE 沿 DE 折起到
1A DE 的位置，连接 1 1,A B AC ，得到四棱锥 1A BCDE （如图 2）．
（1）证明：平面 1A BE 平面 BCDE ；
（2）若 1A E BE ，连接 CE ，求直线CE 与平面 1ACD 所成角的正弦值．
20．（12 分）
某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投 5 个球，每一个球可以选择在 A 区投篮也可
以选择在 B 区投篮，在 A 区每投进一球得 2 分，投不进球得 0 分；在 B 区每投进一球得 3 分，投不进球得
0 分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在 A 区和 B 区每次投篮进球的概率分别为 2
3
和 1
2
，且各次投篮
的结果互不影响．
（1）若甲投篮得分的期望值不低于 7 分，则甲选择在 A 区投篮的球数最多是多少个？
（2）若甲在 A 区投 3 个球且在 B 区投 2 个球，求甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率．
21．（12 分）
已知点 (1,0)A ，点 B 是圆 2 2
1 :( 1) 16O x y 上的动点，线段 AB 的垂直平分线与 1BO 相交于点C ，点C
的轨迹为曲线 E ．
（1）求 E 的方程
（2）过点 1O 作倾斜角互补的两条直线 1 2,l l ，若直线 1l 与曲线 E 交于 ,M N 两点，直线 2l 与圆 1O 交于 ,P Q
两点，当 , , ,M N P Q四点构成四边形，且四边形 MPNQ 的面积为8 3 时，求直线 1l 的方程．
22．（12 分）
已知函数 2( ) ln ( )f x x x ax x a R ．
（1）证明：曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线 l 恒过定点；
（2）若 ( )f x 有两个零点 1 2,x x ，且 2 12x x ，证明： 2 2
1 2
4
ex x ．
微信/支付宝扫码支付