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通州区 2019 年初三第一次模拟考试 数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B C A B B C 二、填空题（本题共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分） 9. 答案不唯一，如 1 10. 60 11. 40 12. 答案不唯一，如 4 ， 4 13. 40 14. E，两点之间线段最短 15. 10 16. 4 三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27，28 题，每小题 7 分） 17. 解：原式= 32 6 1 2 33     ………………… 4 分 = 2 2 3 1 2 3   =1 . ………………… 5 分 18. 解：解不等式①， 3 4 2x x   ， ………………… 1 分 2x   ， 2x  . ………………… 2 分 解不等式②， 2 3x  ≥ ， ………………… 3 分 5x≥ . ………………… 4 分 ∴不等式组的解集为 5x≥ . ………………… 5 分 19． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） ………………… 2 分 （2）完成下面的证明． 证明：连接 FG、DE. ∵△ADE ≌ △CFG， ………………… 3 分 ∴∠DAE = ∠FCG． ………………… 4 分 ∴CG∥AB（同位角相等，两直线平行）（填推理的依据）． ………………… 5 分 20.解：（1）一元二次方程  2 2 1 0x x n    有两个不相等的实数根， ∴ △=  22 4 1 0n       ， ………………… 1 分 即 4 4 4 0n   ， ∴ 0n  . ………………… 2 分 （2）∵ n 为取值范围内的最小整数， ∴ 1n  . ………………… 3 分 ∴ 2 2 0x x  ∴  2 0x x   ∴ 1 0x  ， 2 2x   . ………………… 5 分 21.（1）证明：∵ AD ∥ BE ， AE ∥ BD ， ∴四边形 EADB 是平行四边形. ……………… 1 分 ∵AB 平分∠EAD， ∴ EAB DAB   . ∵ AE ∥ BD ， ∴ EAB DBA   . ∴ DAB DBA   . ∴ AD BD . ∴四边形 EADB 是菱形. ……………… 2 分 （2）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC= 2 3 ， ∴ tan 60 3BC AC    . ∴ 2AC  . ……………… 3 分 ∴ 1 1 2 2 3 2 32 2ACBS AC BC      . ……………… 4 分 ∵ AE ∥ BC ， ∴ 2 3ECB ACBS S   . ……………… 5 分 22. 解：（1）把 A（1，2）代入函数 ( 0)my xx   中， ∴ 2 1 m . ∴ 2m  . ……………… 1 分 （2）①过点 C 作 x 轴的垂线，交直线 l 于点 E，交 x 轴于点 F. 当点 C 是线段 BD 的中点时， 1CE CF  . ∴点 C 的纵坐标为 1. ……………… 2 分 把 1y  代入函数 2y x  中， 得 2x  . ∴点 C 的坐标为（2，1）. ……………… 3 分 把 C（2，1）代入函数 2y x b  中， 得 3b   . ……………… 4 分 ② 3b  . ……………… 5 分 23． （1）证明：∵AE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径， ∴ 90BAE   ， 90ACB   . ……………… 1 分 ∴ 90BAC CAE     . ∴ 90BAC B     . ∴ B CAE   . ……………… 2 分 ∵AF=AE， 90ACB   ， ∴ CAD CAE   . ∴ B CAD   . ……………… 3 分 （2）解：连接 CD. ∵ B CAD   ， ∴  AC CD . ……………… 4 分 ∴ AC CD . ∵ 90ACE  ，CE＝2， 30CAE CAF B      ， ∴tan CECAE AC   . ∴tan30 = 2 AC . ∴ 2 3AC  . ……………… 5 分 过点 C 作 CG⊥AD 于点 G. ∴cos AGCAF AC   . ∴cos30 = 2 3 AG . ∴ 3AG  . ∵AC＝CD， 90ACB  ， ∴ 2 6AD AG  . ……………… 6 分 另解一：连接 BD. 先求 AB 的长，再求 AD. 另解二：连接 CD. 先求 AE 的长，再证 FC=FD. 24. （1）补全表格： 7.6 . ……………… 1 分 （2）描点，画图象. ……………… 3 分 （3）结合画出的函数图象，解决问题： ①1.5； ……………… 4 分 ②画出直线 3y x , ……………… 5 分 2.6-2.9（在范围内即可） ……………… 6 分 25. （1） 组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲 6.7 6 3.41 90% 20% 乙 7.1 7.5 1.69 80% 10% ……………… 2 分 （2）甲 ……………… 3 分 （3）甲或乙 ……………… 4 分 甲组：甲组的合格率、优秀率均高于乙组. （乙组的平均分、中位数均高于甲组，且乙组的成绩比甲组的成绩稳定．） ……………… 6 分 26. 解：（1）∵二次函数 2y x ax b   在 0x  和 4x  时的函数值相等． ∴对称轴为直线 2x  . ……………… 1 分 （2）① 不妨设点 M 在点 N 的左侧. ∵对称轴为直线 2x  ， 2MN  ， ∴点 M 的坐标为（1，1），点 N 的坐标为（3，1）.……………… 2 分 ∴ 22 ax    ，1 1 a b   . ∴ 4a  ， 4b  . ……………… 4 分 ② 1 5b ≤ . ……………… 6 分 27. 解：（1）连接 AE. ∵点 B 关于射线 AD 的对称点为 E ， ∴AE=AB， BAF EAF     . ∵ ABC△ 是等边三角形， ∴ AB AC ， 60BAC ACB     . ∴ 60 2EAC    ， AE AC . ……………… 1 分 ∴  1 180 60 2 602ACE          . ∴ 60 60BCF ACE ACB           . ……………… 2 分 另解：借助圆. （2） AF EF CF  证明：如图，作 60FCG   交 AD 于点 G，连接 BF. ……………… 3 分 ∵ BAF BCF     ， ADB CDF   ， ∴ 60ABC AFC     . ∴△FCG 是等边三角形. ∴GF = FC. ……………… 4 分 ∵ ABC△ 是等边三角形， ∴ BC AC ， 60ACB  . ∴ ACG BCF     . 在△ACG 和△BCF 中， CA CB ACG BCF CG CF       ， ， ， ∴△ACG≌△BCF. ∴ AG BF . ……………… 5 分 ∵点 B 关于射线 AD 的对称点为 E ， ∴ BF EF . ……………… 6 分 ∴ AF AG GF  . ∴ AF EF CF  . ……………… 7 分 另一种证法：作 60FAH  交 FC 的延长线于点 H，连接 BF. 28. （1）解：  2,1C ，  2,0D ， ……………… 2 分 （2）由题意可知，点 B 在直线 y x 上. ∵直线 y x 与直线 y x b  平行. 过点 A 作直线 y x 的垂线交 x 轴于点 G， ∴点 G 是点 A 关于直线 y x 的对称点. ……………… 3 分 ∴  2,0G . 过点 B 作直线 y x 的垂线交 x 轴于点 H. ∴△OBH 是等腰直角三角形. ∴点 G 是 OH 的中点. ∴直线 y x b  过点 G. ……………… 4 分 ∴ 2b   . ∴b 的取值范围是 2 0b- ≤ ≤ . ……………… 5 分 （3） 2 2n≤ ≤ 或 2 2n ≤ ≤ . ……………… 7 分