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重庆市 2020 年初中学业水平暨高中招生考试
数学试题（A 卷）
一、选择题
1.下列各数中，最小的数是（ ）
A. －3 B. 0 C. 1 D. 2
2.下列图形是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.在今年举行的第 127 届“广交会”上，有近 26000 家厂家进行“云端销售”．其中数据 26000 用科学记数法表
示为（ ）
A. 326 10 B. 32.6 10 C. 42.6 10 D. 50.26 10
4.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 1 个黑色三角形，第②个图案中有 3 个黑色
三角形，第③个图案中有 6 个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为
（ ）
A. 10 B. 15 C. 18 D. 21
5.如图，AB 是 O 的切线，A 切点，连接 OA，OB，若 20B ，则 AOB 的度数为（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
6.下列计算中，正确的是（ ）
A. 2 3 5 B. 2 2 2 2 C. 2 3 6 D. 2 3 2 3
7.解一元一次方程 1 1( 1) 12 3x x 时，去分母正确的是（ ）
A. 3( 1) 1 2x x B. 2( 1) 1 3x x
C. 2( 1) 6 3x x D. 3( 1) 6 2x x
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8.如图，在平面直角坐标系中， ABC 的顶点坐标分别是 (1,2)A ， (1,1)B ， (3,1)C ，以原点为位似中心，
在原点的同侧画 DEF ，使 DEF 与 ABC 成位似图形，且相似比为 2：1，则线段 DF 的长度为（ ）
A. 5 B. 2 C. 4 D. 2 5
9.如图，在距某居民楼 AB 楼底 B 点左侧水平距离 60m的C 点处有一个山坡，山坡 CD 的坡度（或坡比）
1:0.75i ，山坡坡底 C 点到坡顶 D 点的距离 45mCD ，在坡顶 D 点处测得居民楼楼顶 A 点的仰角为 28°，
居民楼 AB 与山坡 CD 的剖面在同一平面内，则居民楼 AB 的高度约为（ ）
（参考数据：sin 28 0.47 ， cos28 0.88 ， tan 28 0.53 ）
A. 76.9m B. 82.1m C. 94.8m D. 112.6m
10.若关于 x 的一元一次不等式结
3 1 32
x x
x a
的解集为 x a ；且关于 y 的分式方程 3 4 12 2
y a y
y y
有
正整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之积是（ ）
A. 7 B. －14 C. 28 D. －56
11.如图，三角形纸片 ABC，点 D 是 BC 边上一点，连接 AD，把 ABD△ 沿着 AD 翻折，得到 AED ，DE
与 AC 交于点 G，连接 BE 交 AD 于点 F.若 DG GE ， 3AF ， 2BF ， ADG 的面积为 2，则点 F
到 BC 的距离为( )
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A.
5
5
B. 2 5
5
C. 4 5
5
D. 4 3
3
12.如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点与坐标原点重合，点 E 是 x 轴上一点，连
接 AE．若 AD 平分 OAE ，反比例函数 ( 0, 0)ky k xx
的图象经过 AE 上的两点 A，F，且 AF EF ，
ABE△ 的面积为 18，则 k 的值为（ ）
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
二、填空题
13.计算： 0( 1) | 2| __________．
14.若多边形的内角和是外角和的 2 倍，则该多边形是_____边形.
15.现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3 的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝
上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回．．，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取
的数字分别记为 m，n，则点 P（m，n）在第二象限的概率为__________．
16.如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，对角线 AC 的中点为 O，分别以点 A，C 为圆心，以 AO 的长为半
径画弧，分别与正方形的边相交．则图中的阴影部分的面积为__________．（结果保留 ）
17.A，B 两地相距 240 km，甲货车从 A 地以 40km/h 的速度匀速前往 B 地，到达 B 地后停止，在甲出发的
同时，乙货车从 B 地沿同一公路匀速前往 A 地，到达 A 地后停止，两车之间的路程 y（km）与甲货车出发
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时间 x（h）之间的函数关系如图中的折线CD DE EF 所示．其中点 C 的坐标是 0 240， ，点 D 的坐标
是 2.4 0， ，则点 E 的坐标是__________．
18.火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三
种方式经营，6 月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为 3：5：2．随着促进消费政策的出
台，该火锅店老板预计 7 月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 2
5
，则摆摊的
营业额将达到 7 月份总营业额的 7
20
，为使堂食、外卖 7 月份的营业额之比为 8：5，则 7 月份外卖还需增
加的营业额与 7 月份总营业额之比是__________．
三、解答题
19.计算：（1） 2( ) ( 2 )x y x x y ； （2）
2
2
91 3 6 9
m m
m m m
．
20.为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测
试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取 20 名学生的测试成绩（满分 10 分，6 分及 6 分以上为合格）进
行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级 20 名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8 分及以上人数所占百分比如下表所示：
年级 平均数 众数 中位数 8 分及以上人数所占百分比
七年级 7.5 a 7 45%
八年级 7.5 8 b c
八年级 20 名学生的测试成绩条形统计图如图：
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根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的 a，b，c 的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一
条理由即可）；
（3）该校七、八年级共 1200 名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是
多少？
21.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，分别过点 A，C 作 AE BD ，CF BD ，
垂足分别为 E，F．AC 平分 DAE ．
（1）若 50AOE ，求 ACB 的度数；
（2）求证： AE CF ．
22.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以
下是我们研究函数 2
6
1
xy
x
性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充．．完整，并在图中补全．．该函数图象；
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 …
2
6
1
xy
x
…
15
13
24
17
12
5
－3 0 3 12
5
24
17 15
13 …
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在
相应的括号内打“×”；
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①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为 y 轴；( )
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当 1x 时，函数取得最大值 3；当 1x 时，函数
取得最小值－3；( )
③当 1x 或 1x 时，y 随 x 的增大而减小；当 1 1x 时，y 随 x 的增大而增大；( )
（3）已知函数 2 1y x 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 2
6 2 1
1
x x
x
的解集
（保留 1 位小数，误差不超过 0.2）．
23.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用
整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以 5 余数为 4，且除以 3 余数为 2，则称这个数为“差一数”．
例如：14 5 2 4 ，14 3 4 2 ，所以 14 是“差一数”；
19 5 3 4 ，但19 3 6 1 ，所以 19 不是“差一数”．
（1）判断 49 和 74 是否为“差一数”？请说明理由；
（2）求大于 300 且小于 400 的所有“差一数”．
24.为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技
小组对 A、B 两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年 A、B 两个品种各种植了 10 亩．收获后 A、B 两个
品种的售价均为 2.4 元/kg，且 B 品种的平均亩产量比 A 品种高 100 千克，A、B 两个品种全部售出后总收入
为 21600 元．
（1）求 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计 A、B 两个品种平
均亩产量将在去年的基础上分别增加 a%和 2a%．由于 B 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基
础上上涨 a%，而 A 品种的售价保持不变，A、B 两个品种全部售出后总收人将增加 20 %9 a ，求 a 的值．
25.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 2y x bx c 与直线 AB 相交于 A，B 两点，其中 3, 4A ，
0, 1B ．
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（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点 P 为直线 AB 下方抛物线上的任意一点，连接 PA，PB，求 PAB△ 面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移 2 个单位长度得到抛物线 2
1 1 1 1 0y a x b x c a ，平移后的抛物线与原抛物
线相交于点 C，点 D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 E，使以点 B，C，D，E
为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
26.如图，在 Rt ABC 中， 90BAC ， AB AC ，点 D 是 BC 边上一动点，连接 AD，把 AD 绕点 A
逆时针旋转 90°，得到 AE，连接 CE，DE．点 F 是 DE 的中点，连接 CF．
（1）求证： 2
2CF AD ；
（2）如图 2 所示，在点 D 运动的过程中，当 2BD CD 时，分别延长 CF，BA，相交于点 G，猜想 AG 与
BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点 D 运动的过程中，在线段 AD 上存在一点 P，使 PA PB PC 的值最小．当 PA PB PC 的
值取得最小值时，AP 的长为 m，请直接用含 m 的式子表示 CE 的长．
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