2020年浙江省金华市中考数学试卷（解析版）.docx

第 1页（共 20页） 2020 年浙江省金华市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）实数 3 的相反数是（ ） A．﹣3 B．3 C．﹣ D． 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案． 【解答】解：实数 3 的相反数是：﹣3． 故选：A． 2．（3 分）分式 的值是零，则 x 的值为（ ） A．2 B．5 C．﹣2 D．﹣5 【分析】利用分式值为零的条件可得 x+5＝0，且 x﹣2≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：x+5＝0，且 x﹣2≠0， 解得：x＝﹣5， 故选：D． 3．（3 分）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A．a2+b2 B．2a﹣b2 C．a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2 【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相 反进行分析即可． 【解答】解：A、a2+b2 不能运用平方差公式分解，故此选项错误； B、2a﹣b2 不能运用平方差公式分解，故此选项错误； C、a2﹣b2 能运用平方差公式分解，故此选项正确； D、﹣a2﹣b2 不能运用平方差公式分解，故此选项错误； 故选：C． 4．（3 分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解． 第 2页（共 20页） 【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 5．（3 分）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸 到 1 号卡片的概率是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据概率公式直接求解即可． 【解答】解：∵共有 6 张卡片，其中写有 1 号的有 3 张， ∴从中任意摸出一张，摸到 1 号卡片的概率是 ＝ ； 故选：A． 6．（3 分）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘 AB 的垂线 a 和 b，得到 a∥b．理由是（ ） A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可． 【解答】解：由题意 a⊥AB，b⊥AB， ∴a∥b（垂直于同一条直线的两条直线平行）， 故选：B． 7．（3 分）已知点（﹣2，a）（2，b）（3，c）在函数 y＝ （k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a 【分析】根据反比例函数的性质得到函数 y＝ （k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y 随 x 第 3页（共 20页） 的增大而减小，则 b＞c＞0，a＜0． 【解答】解：∵k＞0， ∴函数 y＝ （k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y 随 x 的增大而减小， ∵﹣2＜0＜2＜3， ∴b＞c＞0，a＜0， ∴a＜c＜b． 故选：C． 8．（3 分）如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，分别切 AB，BC，AC 于点 E，F，D，P 是 上一点，则 ∠EPF 的度数是（ ） A．65° B．60° C．58° D．50° 【分析】如图，连接 OE，OF．求出∠EOF 的度数即可解决问题． 【解答】解：如图，连接 OE，OF． ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，E，F 是切点， ∴OE⊥AB，OF⊥BC， ∴∠OEB＝∠OFB＝90°， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠EOF＝120°， ∴∠EPF＝ ∠EOF＝60°， 故选：B． 第 4页（共 20页） 9．（3 分）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为 x．则列出方程正确的 是（ ） A．3×2x+5＝2x B．3×20x+5＝10x×2 C．3×20+x+5＝20x D．3×（20+x）+5＝10x+2 【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可． 【解答】解：设“□”内数字为 x，根据题意可得： 3×（20+x）+5＝10x+2． 故选：D． 10．（3 分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 ABCD 与正方形 EFGH．连结 EG， BD 相交于点 O、BD 与 HC 相交于点 P．若 GO＝GP，则 的值是（ ） A．1+ B．2+ C．5﹣ D． 【分析】证明△BPG≌△BCG（ASA），得出 PG＝CG．设 OG＝PG＝CG＝x，则 EG＝2x，FG＝ x，由勾 股定理得出 BC2＝（4+2 ）x2，则可得出答案． 【解答】解：∵四边形 EFGH 为正方形， ∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°， ∵OG＝GP， ∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°， ∴∠PBG＝22.5°， 又∵∠DBC＝45°， ∴∠GBC＝22.5°， ∴∠PBG＝∠GBC， ∵∠BGP＝∠BG＝90°，BG＝BG， ∴△BPG≌△BCG（ASA）， 第 5页（共 20页） ∴PG＝CG． 设 OG＝PG＝CG＝x， ∵O 为 EG，BD 的交点， ∴EG＝2x，FG＝ x， ∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ∴BF＝CG＝x， ∴BG＝x+ x， ∴BC2＝BG2+CG2＝ ＝ ， ∴ ＝ ． 故选：B． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（4 分）点 P（m，2）在第二象限内，则 m 的值可以是（写出一个即可） ﹣1（答案不唯一）． ． 【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出 m 的取值范围，进而得出答案． 【解答】解：∵点 P（m，2）在第二象限内， ∴m＜0， 则 m 的值可以是﹣1（答案不唯一）． 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 12．（4 分）数据 1，2，4，5，3 的中位数是 3 ． 【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数． 【解答】解：数据 1，2，4，5，3 按照从小到大排列是 1，2，3，4，5， 则这组数据的中位数是 3， 故答案为：3． 13．（4 分）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为 20 cm2． 【分析】根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积． 【解答】解：该几何体的主视图是一个长为 4，宽为 5 的矩形，所以该几何体主视图的面积为 20cm2． 故答案为：20． 14．（4 分）如图，平移图形 M，与图形 N 可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 30 °． 第 6页（共 20页） 【分析】根据平行四边形的性质解答即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠D＝180°﹣∠C＝60°， ∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°， 故答案为：30． 15．（4 分）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点 A，B， C 均为正六边形的顶点，AB 与地面 BC 所成的锐角为β．则 tanβ的值是 ． 【分析】如图，作 AT∥BC，过点 B 作 BH⊥AT 于 H，设正六边形的边长为 a，则正六边形的半径为 a，边 心距＝ a．求出 BH，AH 即可解决问题． 【解答】解：如图，作 AT∥BC，过点 B 作 BH⊥AT 于 H，设正六边形的边长为 a，则正六边形的半径为， 边心距＝ a． 观察图象可知：BH＝ a，AH＝ a， 第 7页（共 20页） ∵AT∥BC， ∴∠BAH＝β， ∴tanβ＝ ＝ ＝ ． 故答案为 ． 16．（4 分）图 1 是一个闭合时的夹子，图 2 是该夹子的主视示意图，夹子两边为 AC，BD（点 A 与点 B 重 合），点 O 是夹子转轴位置，OE⊥AC 于点 E，OF⊥BD 于点 F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF， CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点 O 转动． （1）当 E，F 两点的距离最大时，以点 A，B，C，D 为顶点的四边形的周长是 16 cm． （2）当夹子的开口最大（即点 C 与点 D 重合）时，A，B 两点的距离为 cm． 【分析】（1）当 E，F 两点的距离最大时，E，O，F 共线，此时四边形 ABCD 是矩形，求出矩形的长和宽 即可解决问题． （2）如图 3 中，连接 EF 交 OC 于 H．想办法求出 EF，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【解答】解：（1）当 E，F 两点的距离最大时，E，O，F 共线，此时四边形 ABCD 是矩形， ∵OE＝OF＝1cm， ∴EF＝2cm， ∴AB＝CD＝2cm， ∴此时四边形 ABCD 的周长为 2+2+6+6＝16（cm）， 故答案为 16． （2）如图 3 中，连接 EF 交 OC 于 H． 第 8页（共 20页） 由题意 CE＝CF＝ ×6＝ （cm）， ∵OE＝OF＝1cm， ∴CO 垂直平分线段 EF， ∵OC＝ ＝ ＝ （cm）， ∵ •OE•EC＝ •CO•EH， ∴EH＝ ＝ （cm）， ∴EF＝2EH＝ （cm） ∵EF∥AB， ∴ ＝ ＝ ， ∴AB＝ × ＝ （cm）． 故答案为 ． 三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分，各小题都必须写出解答过程） 17．（6 分）计算：（﹣2020）0+ ﹣tan45°+|﹣3|． 【分析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，再算加减 即可． 【解答】解：原式＝1+2﹣1+3＝5． 18．（6 分）解不等式：5x﹣5＜2（2+x）． 【分析】去括号，移项、合并同类项，系数化为 1 求得即可． 【解答】解：5x﹣5＜2（2+x）， 5x﹣5＜4+2x 5x﹣2x＜4+5， 3x＜9， x＜3． 19．（6 分）某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学 生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计 图表．请根据图表信息回答下列问题： 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 第 9页（共 20页） 类别 项目 人数（人） A 跳绳 59 B 健身操 ▲ C 俯卧撑 31 D 开合跳 ▲ E 其它 22 （1）求参与问卷调查的学生总人数． （2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？ （3）该市共有初中学生约 8000 人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数． 【分析】（1）从统计图表中可得，“E 组 其它”的频数为 22，所占的百分比为 11%，可求出调查学生总数； （2）“开合跳”的人数占调查人数的 24%，即可求出最喜爱“开合跳”的人数； （3）求出“健身操”所占的百分比，用样本估计总体，即可求出 8000 人中喜爱“健身操”的人数． 【解答】解：（1）22÷11%＝200（人）， 答：参与调查的学生总数为 200 人； （2）200×24%＝48（人）， 答：最喜爱“开合跳”的学生有 48 人； （3）最喜爱“健身操”的学生数为 200﹣59﹣31﹣48﹣22＝40（人）， 8000× ＝1600（人）， 答：最喜爱“健身操”的学生数大约为 1600 人． 20．（8 分）如图， 的半径 OA＝2，OC⊥AB 于点 C，∠AOC＝60°． （1）求弦 AB 的长． （2）求 的长． 第 10页（共 20页） 【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得 AC 的长，然后即可得到 AB 的长； （2）根据∠AOC＝60°，可以得到∠AOB 的度数，然后根据弧长公式计算即可． 【解答】解：（1）∵ 的半径 OA＝2，OC⊥AB 于点 C，∠AOC＝60°， ∴AC＝OA•sin60°＝2× ＝ ， ∴AB＝2AC＝2 ； （2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∵OA＝2， ∴ 的长是： ＝ ． 21．（8 分）某地区山峰的高度每增加 1 百米，气温大约降低 0.6℃，气温 T（℃）和高度 h（百米）的函数 关系如图所示． 请根据图象解决下列问题： （1）求高度为 5 百米时的气温； （2）求 T 关于 h 的函数表达式； （3）测得山顶的气温为 6℃，求该山峰的高度． 【分析】（1）根据高度每增加 1 百米，气温大约降低 0.6℃，由 3 百米时温度为 13.2°C，即可得出高度为 5 百米时的气温； （2）应用待定系数法解答即可； （3）根据（2）的结论解答即可． 【解答】解：（1）由题意得，高度增加 2 百米，则气温降低 2×0.6＝1.2（°C）， ∴13.2﹣1.2＝12， 第 11页（共 20页） ∴高度为 5 百米时的气温大约是 12°C； （2）设 T 关于 h 的函数表达式为 T＝kh+b， 则： ， 解得 ， ∴T 关于 h 的函数表达式为 T＝﹣0.6h+15； （3）当 T＝6 时，6＝﹣0.6h+15， 解得 h＝15． ∴该山峰的高度大约为 15 百米． 22．（10 分）如图，在△ABC 中，AB＝4 ，∠B＝45°，∠C＝60°． （1）求 BC 边上的高线长． （2）点 E 为线段 AB 的中点，点 F 在边 AC 上，连结 EF，沿 EF 将△AEF 折叠得到△PEF． ①如图 2，当点 P 落在 BC 上时，求∠AEP 的度数． ②如图 3，连结 AP，当 PF⊥AC 时，求 AP 的长． 【分析】（1）如图 1 中，过点 A 作 AD⊥BC 于 D．解直角三角形求出 AD 即可． （2）①证明 BE＝EP，可得∠EPB＝∠B＝45°解决问题． ②如图 3 中，由（1）可知：AC＝ ＝ ，证明△AEF∽△ACB，推出 ＝ ，由此求出 AF 即可解决问题． 【解答】解：（1）如图 1 中，过点 A 作 AD⊥BC 于 D． 第 12页（共 20页） 在 Rt△ABD 中，AD＝AB•sin45°＝4 × ＝4． （2）①如图 2 中， ∵△AEF≌△PEF， ∴AE＝EP， ∵AE＝EB， ∴BE＝EP， ∴∠EPB＝∠B＝45°， ∴∠PEB＝90°， ∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°． ②如图 3 中，由（1）可知：AC＝ ＝ ， ∵PF⊥AC， ∴∠PFA＝90°， ∵△AEF≌△PEF， ∴∠AFE＝∠PFE＝45°， ∴∠AFE＝∠B， ∵∠EAF＝∠CAB， ∴△AEF∽△ACB， 第 13页（共 20页） ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴AF＝2 ， 在 Rt△AFP，AF＝FP， ∴AP＝ AF＝2 ． 23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝﹣ （x﹣m）2+4 图象的顶点为 A，与 y 轴交 于点 B，异于顶点 A 的点 C（1，n）在该函数图象上． （1）当 m＝5 时，求 n 的值． （2）当 n＝2 时，若点 A 在第一象限内，结合图象，求当 y≥2 时，自变量 x 的取值范围． （3）作直线 AC 与 y 轴相交于点 D．当点 B 在 x 轴上方，且在线段 OD 上时，求 m 的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）求出 y＝2 时，x 的值即可判断． （3）由题意点 B 的坐标为（0，﹣ m2+4），求出几个特殊位置 m 的值即可判断． 【解答】解：（1）当 m＝5 时，y＝﹣ （x﹣5）2+4， 当 x＝1 时，n＝﹣ ×42+4＝﹣4． （2）当 n＝2 时，将 C（1，2）代入函数表达式 y＝﹣ （x﹣m）2+4，得 2＝﹣ （1﹣m）2+4， 解得 m＝3 或﹣1（舍弃）， ∴此时抛物线的对称轴 x＝3， 根据抛物线的对称性可知，当 y＝2 时，x＝1 或 5， ∴x 的取值范围为 1≤x≤5． （3）∵点 A 与点 C 不重合， ∴m≠1， 第 14页（共 20页） ∵抛物线的顶点 A 的坐标是（m，4）， ∴抛物线的顶点在直线 y＝4 上， 当 x＝0 时，y＝﹣ m2+4， ∴点 B 的坐标为（0，﹣ m2+4）， 抛物线从图 1 的位置向左平移到图 2 的位置，m 逐渐减小，点 B 沿 y 轴向上移动， 当点 B 与 O 重合时，﹣ m2+4＝0， 解得 m＝2 或﹣2 ， 当点 B 与点 D 重合时，如图 2，顶点 A 也与 B，D 重合，点 B 到达最高点， ∴点 B（0，4）， ∴﹣ m2+4＝4，解得 m＝0， 当抛物线从图 2 的位置继续向左平移时，如图 3 点 B 不在线段 OD 上， ∴B 点在线段 OD 上时，m 的取值范围是：0≤m＜1 或 1＜m＜2 ． 24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过 OB， OC 的中点 D，E 作 AE，AD 的平行线，相交于点 F，已知 OB＝8． （1）求证：四边形 AEFD 为菱形． （2）求四边形 AEFD 的面积． （3）若点 P 在 x 轴正半轴上（异于点 D），点 Q 在 y 轴上，平面内是否存在点 G，使得以点 A，P，Q，G 第 15页（共 20页） 为顶点的四边形与四边形 AEFD 相似？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，试说明理由． 【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可． （2）连接 DE，求出△ADE 的面积即可解决问题． （3）首先证明 AK＝3DK，①当 AP 为菱形的一边，点 Q 在 x 轴的上方，有图 2，图 3 两种情形．②当 AP 为菱形的边，点 Q 在 x 轴的下方时，有图 4，图 5 两种情形．③如图 6 中，当 AP 为菱形的对角线时，有图 6 一种情形．分别利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：如图 1 中， ∵AE∥DF，AD∥EF， ∴四边形 AEFD 是平行四边形， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC＝AB＝OC＝OB，∠ACE＝∠ABD＝90°， ∵E，D 分别是 OC，OB 的中点， ∴CE＝BD， ∴△CAE≌△ABD（SAS）， ∴AE＝AD， ∴四边形 AEFD 是菱形． （2）解：如图 1 中，连接 DE． 第 16页（共 20页） ∵S△ADB＝S△ACE＝ ×8×4＝16， S△EOD＝ ×4×4＝8， ∴S△AED＝S 正方形 ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD＝64﹣2×16﹣8＝24， ∴S 菱形 AEFD＝2S△AED＝48． （3）解：如图 1 中，连接 AF，设 AF 交 DE 于 K， ∵OE＝OD＝4，OK⊥DE， ∴KE＝KD， ∴OK＝KE＝KD＝2 ， ∵AO＝8 ， ∴AK＝6 ， ∴AK＝3DK， ①当 AP 为菱形的一边，点 Q 在 x 轴的上方，有图 2，图 3 两种情形： 如图 2 中，设 AG 交 PQ 于 H，过点 H 作 HN⊥x 轴于 N，交 AC 于 M，设 AM＝t． ∵菱形 PAQG∽菱形 ADFE， ∴PH＝3AH， ∵HN∥OQ，QH＝HP， ∴ON＝NP， ∴HN 是△PQO 的中位线， ∴ON＝PN＝8﹣t， ∵∠MAH＝∠PHN＝90°﹣∠AHM，∠PNH＝∠AMH＝90°， ∴△HMA∽△PNH， 第 17页（共 20页） ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴HN＝3AM＝3t， ∴MH＝MN﹣NH＝8﹣3t， ∵PN＝3MH， ∴8﹣t＝3（8﹣3t）， ∴t＝2， ∴OP＝2ON＝2（8﹣t）＝12， ∴P（12，0）． 如图 3 中，过点 H 作 HI⊥y 轴于 I，过点 P 作 PN⊥x 轴交 IH 于 N，延长 BA 交 IN 于 M． 同法可证：△AMH∽△HNP， ∴ ＝ ＝ ＝ ，设 MH＝t， ∴PN＝3MH＝3t， ∴AM＝BM﹣AB＝3t﹣8， ∵HI 是△OPQ 的中位线， ∴OP＝2IH， ∴HIHN， ∴8+t＝9t﹣24， ∴t＝4， ∴OP＝2HI＝2（8+t）＝24， ∴P（24，0）． ②当 AP 为菱形的边，点 Q 在 x 轴的下方时，有图 4，图 5 两种情形： 如图 4 中，QH＝3PH，过点 H 作 HM⊥OC 于 M，过 D 点 P 作 PN⊥MH 于 N． 第 18页（共 20页） ∵MH 是△QAC 的中位线， ∴MH＝ AC＝4， 同法可得：△HPN∽△QHM， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴PN＝ HM＝ ， ∴OM＝PN＝ ，设 HN＝t，则 MQ＝3t， ∵MQ＝MC， ∴3t＝8﹣ ， ∴t＝ ， ∴OP＝MN＝4+t＝ ， ∴点 P 的坐标为（ ，0）． 如图 5 中，QH＝3PH，过点 H 作 HM⊥x 轴于 M 交 AC 于 I，过点 Q 作 QN⊥HM 于 N． 第 19页（共 20页） ∵IH 是△ACQ 的中位线， ∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4， 同法可得：△PMH∽△HNQ， ∴ ＝ ＝ ＝ ，则 MH＝ NQ＝ ， 设 PM＝t，则 HN＝3t， ∵HN＝HI， ∴3t＝8+ ， ∴t＝ ， ∴OP＝OM﹣PM＝QN﹣PM＝4﹣t＝ ， ∴P（ ，0）． ③如图 6 中，当 AP 为菱形的对角线时，有图 6 一种情形： 过点 H 作 HM⊥y 轴于于点 M，交 AB 于 I，过点 P 作 PN⊥HM 于 N． 第 20页（共 20页） ∵HI∥x 轴，AH＝HP， ∴AI＝IB＝4， ∴PN＝IB＝4， 同法可得：△PNH∽△HMQ， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴MH＝3PN＝12，HI＝MH﹣MI＝4， ∵HI 是△ABP 的中位线， ∴BP＝2IH＝8， ∴OP＝OB+BP＝16， ∴P（16，0）， 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（12，0）或（24，0）或（ ，0）或（ ，0）或（16，0）．