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2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如
需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.已知集合 A={x||x|1，x∈Z}，则 A∩B=（ ）
A. B. {–3，–2，2，3）
C. {–2，0，2} D. {–2，2}
【答案】D
【解析】
【分析】
解绝对值不等式化简集合 ,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为 3, 2, 1,0,1,2A x x x Z ，
1, 1B x x x Z x x 或 1,x x Z ，
所以 2, 2A B .
故选：D.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.
2.（1–i）4=（ ）
A. –4 B. 4
C. –4i D. 4i
【答案】A
【解析】
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【分析】
根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
【详解】 4 2 2 2 2 2(1 ) [(1 ) ] (1 2 ) ( 2 ) 4i i i i i .
故选：A.
【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.
3.如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 a1，a2，…，a12.设 1≤i0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合．过
F 且与 x 轴重直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|= 4
3 |AB|．
（1）求 C1的离心率；
（2）若 C1 的四个顶点到 C2 的准线距离之和为 12，求 C1 与 C2 的标准方程．
【答案】（1） 1
2
；（2） 1C ：
2 2
116 12
x y ， 2C ： 2 8y x .
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出 2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 ,A C 在第一象限，运用代入法求出
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, , ,A B C D 点的纵坐标，根据 4| | | |3CD AB ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；
（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合
已知进行求解即可；
【详解】解：（1）因为椭圆 1C 的右焦点坐标为： (c,0)F ,所以抛物线 2C 的方程为 2 4y cx ，其中
2 2c a b .
不妨设 ,A C 在第一象限，因为椭圆 1C 的方程为：
2 2
2 2 1x y
a b
，
所以当 x c 时，有
2 2 2
2 2 1c y bya b a
，因此 ,A B 的纵坐标分别为
2b
a
，
2b
a
；
又因为抛物线 2C 的方程为 2 4y cx ，所以当 x c 时，有 2 4 2y c c y c ，
所以 ,C D 的纵坐标分别为 2c ， 2c ，故
22| | bAB a
，| | 4CD c .
由 4| | | |3CD AB 得
284 3
bc a
，即 23 2 2( )c c
a a
，解得 2c
a
（舍去）， 1
2
c
a
.
所以 1C 的离心率为 1
2 .
（2）由（1）知 2a c ， 3b c ，故
2 2
1 2 2: 14 3
x yC c c
，所以 1C 的四个顶点坐标分别为 (2 ,0)c ，( 2 ,0)c ，
(0, 3 )c ， (0, 3 )c ， 2C 的准线为 x c .
由已知得3 12c c c c ，即 2c .
所以 1C 的标准方程为
2 2
116 12
x y ， 2C 的标准方程为 2 8y x .
【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的
坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.
20.如图，已知三棱柱 ABC–A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1 的中
点，P 为 AM 上一点．过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F．
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（1）证明：AA1//MN，且平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F；
（2）设 O 为△A1B1C1 的中心，若 AO=AB=6，AO//平面 EB1C1F，且∠MPN= π
3
，求四棱锥 B–EB1C1F 的体
积．
【答案】（1）证明见解析；（2） 24 .
【解析】
【分析】
（1）由 ,M N 分别为 BC ， 1 1B C 的中点， 1//MN CC ，根据条件可得 1 1/ /AA BB ，可证 1MN AA// ，要证平
面 1 1EB C F 平面 1A AMN ，只需证明 EF 平面 1A AMN 即可；
（2）根据已知条件求得 1 1EB C FS四边形 和 M 到 PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得 1 1B EB C FV .
【详解】（1） ,M N 分别为 BC ， 1 1B C 的中点，
1//MN BB
又 1 1/ /AA BB
1//MN AA
在等边 ABC 中， M 为 BC 中点，则 BC AM
又侧面 1 1BBC C 为矩形，
1BC BB
1//MN BB
MN BC
由 MN AM M ， ,MN AM 平面 1A AMN
BC ⊥平面 1A AMN
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又 1 1 //B C BC ，且 1 1B C 平面 ABC ， BC 平面 ABC ，
1 1 //B C 平面 ABC
又 1 1B C 平面 1 1EB C F ，且平面 1 1EB C F 平面 ABC EF
1 1 / /B C EF
//EF BC
又 BC 平面 1A AMN
EF 平面 1A AMN
EF 平面 1 1EB C F
平面 1 1EB C F 平面 1A AMN
（2）过 M 作 PN 垂线，交点为 H ，
画出图形，如图
//AO 平面 1 1EB C F
AO 平面 1A AMN ，平面 1A AMN 平面 1 1EB C F NP
//AO NP
又 //NO AP
6AO NP
O 为 1 1 1A B C△ 的中心.
1 1
1 1sin 60 6 sin 60 33 3ON AC
故： 3ON AP ，则 3 3 3AM AP ，
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平面 1 1EB C F 平面 1A AMN ，平面 1 1EB C F 平面 1A AMN NP ，
MH 平面 1A AMN
MH 平面 1 1EB C F
又在等边 ABC 中 EF AP
BC AM
即 3 6 2
3 3
AP BCEF AM
由（1）知，四边形 1 1EB C F 为梯形
四边形 1 1EB C F 的面积为：
1 1
1 1 2 6= 6 242 2EB C F
EF BCS NP 四边形
1 1 1 1
1
3B EB C F EB C FV S h 四边形 ，
h 为 M 到 PN 的距离 2 3 sin 60 3MH ，
1 24 3 243V .
【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为
求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
21.已知函数 f（x）=2lnx+1．
（1）若 f（x）≤2x+c，求 c 的取值范围；
（2）设 a>0 时，讨论函数 g（x）= ( ) ( )f x f a
x a
的单调性．
【答案】（1） 1c ；（2） ( )g x 在区间 (0, )a 和 ( , )a 上单调递减，没有递增区间
【解析】
【分析】
（1）不等式 ( ) 2f x x c 转化为 ( ) 2 0f x x c ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进
行求解即可；
（2）对函数 ( )g x 求导，把导函数 ( )g x 的分子构成一个新函数 ( )m x ，再求导得到 ( )m x ，根据 ( )m x 的正
负，判断 ( )m x 的单调性，进而确定 ( )g x 的正负性，最后求出函数 ( )g x 的单调性.
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【详解】（1）函数 ( )f x 的定义域为： (0, )
( ) 2 ( ) 2 0 2ln 1 2 0( )f x x c f x x c x x c ，
设 ( ) 2ln 1 2 ( 0)h x x x c x ，则有 2 2(1 )( ) 2 xh x x x
，
当 1x 时， ( ) 0, ( )h x h x 单调递减，
当 0 1x 时， ( ) 0, ( )h x h x 单调递增，
所以当 1x 时，函数 ( )h x 有最大值，
即 max( ) (1) 2ln1 1 2 1 1h x h c c ，
要想不等式 ( ) 在 (0, ) 上恒成立，
只需 max( ) 0 1 0 1h x c c ；
（2） 2ln 1 (2ln 1) 2(ln ln )( ) ( 0x a x ag x xx a x a
且 )x a
因此 2
2( ln ln )( ) ( )
x a x x x ag x x x a
，设 ( ) 2( ln ln )m x x a x x x a ，
则有 ( ) 2(ln ln )m x a x ，
当 x a 时， ln lnx a ，所以 ( ) 0m x ， ( )m x 单调递减，因此有 ( ) ( ) 0m x m a ，即
( ) 0g x ，所以 ( )g x 单调递减；
当 0 x a 时， ln lnx a ，所以 ( ) 0m x ， ( )m x 单调递增，因此有 ( ) ( ) 0m x m a ，即 ( ) 0g x ，
所以 ( )g x 单调递减，
所以函数 ( )g x 在区间 (0, )a 和 ( , )a 上单调递减，没有递增区间.
【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学
运算能力，是中档题.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将
所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多
答按所答第一题评分．
[选修 4—4：坐标系与参数方程]
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22.已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为 C1：
2
2
4cos
4sin
x
y
，
（θ为参数），C2：
1,
1
x t t
y t t
（t 为参数）.
（1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过
极点和 P 的圆的极坐标方程.
【答案】（1） 1 : 4C x y ； 2 2
2 : 4C x y ；（2） 17 cos5
.
【解析】
【分析】
（1）分别消去参数 和 t 即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点 P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极
坐标方程.
【详解】（1）由 2 2cos sin 1 得 1C 的普通方程为： 4x y ；
由
1
1
x t t
y t t
得：
2 2
2
2 2
2
1 2
1 2
x t t
y t t
，两式作差可得 2C 的普通方程为： 2 2 4x y .
（2）由 2 2
4
4
x y
x y
得：
5
2
3
2
x
y
，即 5 3,2 2P
；
设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中 0a ，
则
2 2
25 302 2a a
，解得： 17
10a ，所求圆的半径 17
10r ，
所求圆的直角坐标方程为：
2 2
217 17
10 10x y
，即 2 2 17
5x y x ，
所求圆的极坐标方程为 17 cos5
.
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐
标方程等知识，属于常考题型.
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[选修 4—5：不等式选讲]
23.已知函数 2( ) | 2 1|f x x a x a .
（1）当 2a 时，求不等式 ( ) 4f x
的解集；
（2）若 ( ) 4f x
，求 a 的取值范围.
【答案】（1） 3
2x x
或 11
2x
；（2） , 1 3, .
【解析】
【分析】
（1）分别在 3x 、 3 4x 和 4x 三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）当 2a 时， 4 3f x x x .
当 3x 时， 4 3 7 2 4f x x x x ，解得： 3
2x ≤ ；
当 3 4x 时， 4 3 1 4f x x x ，无解；
当 4x 时， 4 3 2 7 4f x x x x ，解得： 11
2x ；
综上所述： 4f x 的解集为 3
2x x
或 11
2x .
（2） 22 2 22 1 2 1 2 1 1f x x a x a x a x a a a a （当且仅当
22 1a x a 时取等号），
21 4a ，解得： 1a 或 3a ，
a 的取值范围为 , 1 3, .
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
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