2020年高考全国卷Ⅰ理数试题解析(精编版)
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资料简介
第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若 z=1+i,则|z2–2z|=( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意首先求得 2 2z z 的值,然后计算其模即可. 【详解】由题意可得:  22 1 2z i i   ,则  2 2 2 2 1 2z z i i      . 故 2 2 2 2z z    . 故选:D. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识,属于基础题. 2.设集合 A={x|x2–4≤0},B={x|2x+a≤0},且 A∩B={x|–2≤x≤1},则 a=( ) A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意首先求得集合 A,B,然后结合交集的结果得到关于 a 的方程,求解方程即可确定实数 a 的值. 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 【详解】求解二次不等式 2 4 0x   可得:  2| 2A x x   , 求解一次不等式 2 0x a  可得: | 2 aB x x      . 由于  | 2 1A B x x     ,故: 12 a  ,解得: 2a   . 故选:B. 【点睛】本题主要考查交集的运算,不等式的解法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方 形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( ) A. 5 1 4  B. 5 1 2  C. 5 1 4  D. 5 1 2  【答案】C 【解析】 【分析】 设 ,CD a PE b  ,利用 2 1 2PO CD PE  得到关于 ,a b 的方程,解方程即可得到答案. 【详解】如图,设 ,CD a PE b  ,则 2 2 2 2 4 aPO PE OE b    , 由题意 2 1 2PO ab ,即 2 2 1 4 2 ab ab  ,化简得 24( ) 2 1 0b b a a     , 解得 1 5 4 b a  (负值舍去). 故选:C. 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算,考查学生的数学计算能力,是一道容易题. 4.已知 A 为抛物线 C:y2=2px(p>0)上一点,点 A 到 C 的焦点的距离为 12,到 y 轴的距离为 9,则 p=( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】 利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为 F,由抛物线的定义知| | 122A pAF x   ,即12 9 2 p  ,解得 6p = . 故选:C. 【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径,考查学生转化与化归思想,是一道容易题. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x(单位:°C)的关系,在 20 个不同的温度 条件下进行种子发芽实验,由实验数据 ( , )( 1,2, ,20)i ix y i   得到下面的散点图: 由此散点图,在 10°C 至 40°C 之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类 型的是( ) A. y a bx  B. 2y a bx  第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 C. exy a b  D. lny a b x  【答案】D 【解析】 【分析】 根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近, 因此,最适合作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是 lny a b x  . 故选:D. 【点睛】本题考查函数模型的选择,主要观察散点图的分布,属于基础题. 6.函数 4 3( ) 2f x x x  的图像在点 (1 (1))f, 处的切线方程为( ) A. 2 1y x   B. 2 1y x   C. 2 3y x  D. 2 1y x  【答案】B 【解析】 【分析】 求得函数  y f x 的导数  f x ,计算出  1f 和  1f  的值,可得出所求切线的点斜式方程,化简即可. 【详解】   4 32f x x x  ,   3 24 6f x x x   ,  1 1f   ,  1 2f    , 因此,所求切线的方程为  1 2 1y x    ,即 2 1y x   . 故选:B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程,考查计算能力,属于基础题 7.设函数 ( ) cos π( )6f x x  在[ π,π] 的图像大致如下图,则 f(x)的最小正周期为( ) 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 A. 10π 9 B. 7π 6 C. 4π 3 D. 3π 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由图可得:函数图象过点 4 ,09     ,即可得到 4cos 09 6         ,结合 4 ,09     是函数  f x 图象 与 x 轴负半轴的第一个交点即可得到 4 9 6 2        ,即可求得 3 2   ,再利用三角函数周期公式即可 得解. 【详解】由图可得:函数图象过点 4 ,09     , 将它代入函数  f x 可得: 4cos 09 6         又 4 ,09     是函数  f x 图象与 x 轴负半轴的第一个交点, 所以 4 9 6 2        ,解得: 3 2   所以函数  f x 的最小正周期为 2 2 4 3 3 2 T       故选:C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力,还考查了三角函数周期公式,属于中档题. 8. 2 5( )( )x xy x y  的展开式中 x3y3 的系数为( ) A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 求得 5( )x y 展开式的通项公式为 5 1 5 r r r rT C x y   ( r N 且 5r  ),即可求得 2yx x     与 5( )x y 展开式 的乘积为 6 5 r r rC x y 或 4 2 5 r r rC x y  形式,对 r 分别赋值为 3,1 即可求得 3 3x y 的系数,问题得解. 【详解】 5( )x y 展开式的通项公式为 5 1 5 r r r rT C x y   ( r N 且 5r  ) 所以 2yx x     与 5( )x y 展开式的乘积可表示为: 5 6 1 5 5 r r r r r r rxT xC x y C x y     或 2 2 5 4 2 1 5 5 r r r r r r rT C x yx C yy y xx       在 6 1 5 r r r rxT C x y   中,令 3r  ,可得: 3 3 3 4 5xT C x y ,该项中 3 3x y 的系数为10, 在 4 2 1 5 2 r r r rT C xx yy     中,令 1r  ,可得: 5 2 1 3 3 2T Cy xx y ,该项中 3 3x y 的系数为 5 所以 3 3x y 的系数为10 5 15  故选:C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式,还考查了赋值法、转化能力及分析能力,属 于中档题. 9.已知   π( )0, ,且 3cos2 8cos 5   ,则sin  ( ) A. 5 3 B. 2 3 C. 1 3 D. 5 9 【答案】A 【解析】 【分析】 用二倍角的余弦公式,将已知方程转化为关于 cos 的一元二次方程,求解得出 cos ,再用同角间的三角 函数关系,即可得出结论. 【详解】 3cos2 8cos 5   ,得 26cos 8cos 8 0    , 即 23cos 4cos 4 0    ,解得 2cos 3    或 cos 2  (舍去), 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 又 2 5(0, ), sin 1 cos 3         . 故选:A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值,熟记公式是解题的关键,考查计算求解能 力,属于基础题. 10.已知 , ,A B C 为球O 的球面上的三个点,⊙ 1O 为 ABC 的外接圆,若⊙ 1O 的面积为 4π , 1AB BC AC OO   ,则球O 的表面积为( ) A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知可得等边 ABC 的外接圆半径,进而求出其边长,得出 1OO 的值,根据球截面性质,求出球的半径, 即可得出结论. 【详解】设圆 1O 半径为 r ,球的半径为 R ,依题意, 得 2 4 , 2r r    , 由正弦定理可得 2 sin60 2 3AB r   , 1 2 3OO AB   ,根据圆截面性质 1OO  平面 ABC , 2 2 2 2 1 1 1 1 1, 4OO O A R OA OO O A OO r        , 球O 的表面积 24 64S R   . 故选:A 【点睛】本题考查球的表面积,应用球的截面性质是解题的关键,考查计算求解能力,属于基础题. 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 11.已知⊙M: 2 2 2 2 2 0x y x y     ,直线 l : 2 2 0x y   , P 为 l 上的动点,过点 P 作⊙M 的切线 ,PA PB ,切点为 ,A B ,当| | | |PM AB 最小时,直线 AB 的方程为( ) A. 2 1 0x y   B. 2 1 0x y   C. 2 1 0x y   D. 2 1 0x y   【答案】D 【解析】 【分析】 由 题 意 可 判 断 直 线 与 圆 相 离 , 根 据 圆 的 知 识 可 知 , 四 点 , , ,A P B M 共 圆 , 且 AB MP , 根 据 2 2PAMPM AB S PA  △ 可知,当直线 MP l 时, PM AB 最小,求出以 MP 为直径的圆的方程, 根据圆系的知识即可求出直线 AB 的方程. 【详解】圆的方程可化为   2 21 1 4x y    ,点 M 到直线 l 的距离为 2 2 2 1 1 2 5 2 2 1 d       ,所以 直线 l 与圆相离. 依圆的知识可知,四点 , , ,A P B M 四点共圆,且 AB MP ,所以 12 2 22PAMPM AB S PA AM PA      △ ,而 2 4PA MP  , 当直线 MP l 时, min 5MP  , min 1PA  ,此时 PM AB 最小. ∴  1: 1 12MP y x   即 1 1 2 2y x  ,由 1 1 2 2 2 2 0 y x x y        解得, 1 0 x y     . 所以以 MP 为直径的圆的方程为     1 1 1 0x x y y     ,即 2 2 1 0x y y    , 两圆的方程相减可得: 2 1 0x y   ,即为直线 AB 的方程. 故选:D. 【点睛】本题主要考查直线与圆,圆与圆的位置关系的应用,以及圆的几何性质的应用,意在考查学生的 转化能力和数学运算能力,属于中档题. 12.若 2 42 log 4 2loga ba b   ,则( ) A. 2a b B. 2a b C. 2a b D. 2a b 【答案】B 【解析】 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 【分析】 设 2( ) 2 logxf x x  ,利用作差法结合 ( )f x 的单调性即可得到答案. 【详解】设 2( ) 2 logxf x x  ,则 ( )f x 为增函数,因为 2 2 4 22 log 4 2log 2 loga b ba b b     所以 ( ) (2 )f a f b  2 2 22 log (2 log 2 )a ba b    2 2 2 22 log (2 log 2 )b bb b   2 1log 1 02     , 所以 ( ) (2 )f a f b ,所以 2a b . 2( ) ( )f a f b  2 2 2 22 log (2 log )a ba b    22 2 2 22 log (2 log )b bb b    22 22 2 logb b b  , 当 1b  时, 2( ) ( ) 2 0f a f b   ,此时 2( ) ( )f a f b ,有 2a b 当 2b  时, 2( ) ( ) 1 0f a f b    ,此时 2( ) ( )f a f b ,有 2a b ,所以 C、D 错误. 故选:B. 【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用,涉及到构造函数,利用函数的单调性比较大小,是一道中 档题. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若 x,y 满足约束条件 2 2 0, 1 0, 1 0, x y x y y           则 z=x+7y 的最大值为______________. 【答案】1 【解析】 【分析】 首先画出可行域,然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示, 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 目标函数 7z x y  即: 1 1 7 7y x z   , 其中 z 取得最大值时,其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大, 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值, 联立直线方程: 2 2 0 1 0 x y x y        ,可得点 A 的坐标为: ( )1,0A , 据此可知目标函数的最大值为: max 1 7 0 1z     . 故答案为:1. 【点睛】求线性目标函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,当 b>0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值 最大,在 y 轴截距最小时,z 值最小;当 b<0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值最小,在 y 轴 上截距最小时,z 值最大. 14.设 ,a b 为单位向量,且| | 1 a b ,则| |a b  ______________. 【答案】 3 【解析】 【分析】 整理已知可得:  2 a b a b      ,再利用 ,a b   为单位向量即可求得 2 1a b    ,对 a b r r 变形可得: 2 2 2a b a a b b          ,问题得解. 【详解】因为 ,a b   为单位向量,所以 1a b  r r 所以  2 2 2 2 2 2 1a b a b a a b b a b                    解得: 2 1a b    所以  2 2 2 2 3a b a b a a b b               故答案为: 3 【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力,属于中档题. 15.已知 F 为双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的右焦点,A 为 C 的右顶点,B 为 C 上的点,且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3,则 C 的离心率为______________. 【答案】2 【解析】 【分析】 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 根据双曲线的几何性质可知, 2bBF a  , AF c a  ,即可根据斜率列出等式求解即可. 【详解】依题可得, 3BF AF  ,而 2bBF a  , AF c a  ,即 2 3 b a c a  ,变形得 2 2 23 3c a ac a   , 化简可得, 2 3 2 0e e   ,解得 2e  或 1e  (舍去). 故答案为: 2 . 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法,以及双曲线的几何性质的应用,属于基础题. 16.如图,在三棱锥 P–ABC 的平面展开图中,AC=1, 3AB AD  ,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°, 则 cos∠FCB=______________. 【答案】 1 4  【解析】 【分析】 在 ACE△ 中,利用余弦定理可求得CE ,可得出 CF ,利用勾股定理计算出 BC 、 BD ,可得出 BF ,然 后在 BCF 中利用余弦定理可求得 cos FCB 的值. 【详解】 AB AC , 3AB  , 1AC  , 由勾股定理得 2 2 2BC AB AC   , 同理得 6BD  , 6BF BD   , 在 ACE△ 中, 1AC  , 3AE AD  , 30CAE   , 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 由余弦定理得 2 2 2 32 cos30 1 3 2 1 3 12CE AC AE AC AE           , 1CF CE   , 在 BCF 中, 2BC  , 6BF  , 1CF  , 由余弦定理得 2 2 2 1 4 6 1cos 2 2 1 2 4 CF BC BFFCB CF BC           . 故答案为: 1 4  . 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查计算能力,属于中等题. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.设{ }na 是公比不为 1 的等比数列, 1a 为 2a , 3a 的等差中项. (1)求{ }na 的公比; (2)若 1 1a  ,求数列{ }nna 的前 n 项和. 【答案】(1) 2 ;(2) 1 (1 3 )( 2) 9 n n nS    . 【解析】 【分析】 (1)由已知结合等差中项关系,建立公比 q的方程,求解即可得出结论; (2)由(1)结合条件得出{ }na 的通项,根据{ }nna 的通项公式特征,用错位相减法,即可求出结论. 【详解】(1)设{ }na 的公比为 q, 1a 为 2 3,a a 的等差中项, 2 1 2 3 12 , 0, 2 0a a a a q q       , 1, 2q q    ; (2)设{ }nna 的前 n 项和为 nS , 1 1 1, ( 2)n na a    , 2 11 1 2 ( 2) 3 ( 2) ( 2)n nS n            ,① 2 3 12 1 ( 2) 2 ( 2) 3 ( 2) ( 1)( 2) ( 2)n n nS n n               ,② 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 ①  ②得, 2 13 1 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)n n nS n          1 ( 2) 1 (1 3 )( 2)( 2)1 ( 2) 3 n n n nn         , 1 (1 3 )( 2) 9 n n nS     . 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质,以及错位相减法求和,考查计算求 解能力,属于基础题. 18.如图, D 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心, AE 为底面直径, AE AD . ABC 是底面的内接正 三角形, P 为 DO 上一点, 6 6PO DO . (1)证明: PA  平面 PBC ; (2)求二面角 B PC E  的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2) 2 5 5 . 【解析】 【分析】 (1)要证明 PA  平面 PBC ,只需证明 PA PB , PA PC 即可; (2)以 O 为坐标原点,OA 为 x 轴,ON 为 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系,分别算出平面 PCB 的法 向量为 n  ,平面 PCE 的法向量为 m  ,利用公式 cos , | || | n mm n n m        计算即可得到答案. 【详解】(1)由题设,知 DAE△ 为等边三角形,设 1AE  , 则 3 2DO  , 1 1 2 2CO BO AE   ,所以 6 2 6 4PO DO  , 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 2 2 2 26 6, ,4 4PC PO OC PB PO OB      又 ABC 为等边三角形,则 2sin60 BA OA ,所以 3 2BA  , 2 2 23 4PA PB AB   ,则 90APB   ,所以 PA PB , 同理 PA PC ,又 PC PB P ,所以 PA  平面 PBC ; (2)过 O 作 ON ∥BC 交 AB 于点 N,因为 PO 平面 ABC ,以 O 为坐标原点,OA 为 x 轴,ON 为 y 轴建 立如图所示的空间直角坐标系, 则 1 2 1 3 1 3( ,0,0), (0,0, ), ( , ,0), ( , ,0)2 4 4 4 4 4E P B C    , 1 3 2( , , )4 4 4PC     , 1 3 2( , , )4 4 4PB    , 1 2( ,0, )2 4PE    , 设平面 PCB 的一个法向量为 1 1 1( , , )n x y z , 由 0 0 n PC n PB         ,得 1 1 1 1 1 1 3 2 0 3 2 0 x y z x y z         ,令 1 2x  ,得 1 11, 0z y   , 所以 ( 2,0, 1)n   , 设平面 PCE 的一个法向量为 2 2 2( , , )m x y z 由 0 0 m PC m PE         ,得 2 2 2 2 2 3 2 0 2 2 0 x y z x z        ,令 2 1x  ,得 2 2 32, 3z y   , 所以 3(1, , 2)3m   第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 故 2 2 2 5cos , 5| | | | 103 3 n mm n n m            , 设二面角 B PC E  的大小为 ,则 2 5cos 5   . 【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小,考查学生空间想象能力,数学运算 能力,是一道容易题. 19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛 的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰; 当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、 乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 1 2 , (1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率. 【答案】(1) 1 16 ;(2) 3 4 ;(3) 7 16 . 【解析】 【分析】 (1)根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率; (2)计算出四局以内结束比赛的概率,然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率; (3)列举出甲赢的基本事件,结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率,由对称性可知乙赢的概率 和甲赢的概率相等,再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 【详解】(1)记事件 :M 甲连胜四场,则   41 1 2 16P M      ; (2)记事件 A 为甲输,事件 B 为乙输,事件C 为丙输, 则四局内结束比赛的概率为         41 14 2 4P P ABAB P ACAC P BCBC P BABA            , 所以,需要进行第五场比赛的概率为 31 4P P   ; (3)记事件 A 为甲输,事件 B 为乙输,事件C 为丙输, 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 记事件 :M 甲赢,记事件 :N 丙赢, 则甲赢的基本事件包括: BCBC 、 ABCBC 、 ACBCB 、 BABCC 、 BACBC 、 BCACB 、 BCABC 、 BCBAC , 所以,甲赢的概率为   4 51 1 972 2 32P M              . 由对称性可知,乙赢的概率和甲赢的概率相等, 所以丙赢的概率为   9 71 2 32 16P N     . 【点睛】本题考查独立事件概率的计算,解答的关键就是列举出符合条件的基本事件,考查计算能力,属 于中等题. 20.已知 A、B 分别为椭圆 E: 2 2 2 1x ya   (a>1)的左、右顶点,G 为 E 的上顶点, 8AG GB   ,P 为直线 x=6 上的动点,PA 与 E 的另一交点为 C,PB 与 E 的另一交点为 D. (1)求 E 的方程; (2)证明:直线 CD 过定点. 【答案】(1) 2 2 19 x y  ;(2)证明详见解析. 【解析】 【分析】 (1)由已知可得:  ,0A a ,  ,0B a ,  0,1G ,即可求得 2 1AG GB a    ,结合已知即可求得: 2 9a  , 问题得解. (2)设  06,P y ,可得直线 AP 的方程为:  0 39 yy x  ,联立直线 AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为 2 0 0 2 2 0 0 3 27 6,9 9 y y y y        ,同理可得点 D 的坐标为 2 0 0 2 2 0 0 3 3 2,1 1 y y y y        ,即可表示出直线 CD 的方 程,整理直线 CD 的方程可得:   0 2 0 4 3 23 3 yy x y       ,命题得证. 【详解】(1)依据题意作出如下图象: 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 由椭圆方程 2 2 2: 1( 1)xE y aa    可得:  ,0A a ,  ,0B a ,  0,1G   ,1AG a ,  , 1GB a   2 1 8AG GB a     , 2 9a  椭圆方程为: 2 2 19 x y  (2)证明:设  06,P y , 则直线 AP 的方程为:    0 0 36 3 yy x   ,即:  0 39 yy x  联立直线 AP 的方程与椭圆方程可得:   2 2 0 19 39 x y yy x       ,整理得:  2 2 2 2 0 0 09 6 9 81 0y x y x y     ,解得: 3x   或 2 0 2 0 3 27 9 yx y    将 2 0 2 0 3 27 9 yx y    代入直线  0 39 yy x  可得: 0 2 0 6 9 yy y   所以点C 的坐标为 2 0 0 2 2 0 0 3 27 6,9 9 y y y y        . 同理可得:点 D 的坐标为 2 0 0 2 2 0 0 3 3 2,1 1 y y y y        第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 直线 CD 的方程为: 0 0 2 2 2 0 00 0 2 22 2 0 00 0 2 2 0 0 6 2 9 12 3 3 3 27 3 31 1 9 1 y y y yy yy xy yy y y y                      , 整理可得:       2 2 2 0 00 0 0 0 2 2 24 2 0 0 00 0 8 32 3 3 8 3 3 1 1 16 9 6 3 y yy y y yy x xy y yy y                    整理得:     0 0 0 22 2 00 0 4 2 4 3 3 23 3 3 3 y y yy x xyy y          故直线 CD 过定点 3 ,02      【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想,还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力,属 于难题. 21.已知函数 2( ) exf x ax x   . (1)当 a=1 时,讨论 f(x)的单调性; (2)当 x≥0 时,f(x)≥ 1 2 x3+1,求 a 的取值范围. 【答案】(1)当  ,0x  时,    ' 0,f x f x 单调递减,当  0,x  时,    ' 0,f x f x 单调递增 .(2) 27 ,4 e    【解析】 【分析】 (1)由题意首先对函数二次求导,然后确定导函数的符号,最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 x=0的情况,然后分离参数,构造新函数,结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定 实数 a 的取值范围. 【详解】(1)当 1a  时,   2x xx ef x   ,  ' 2 1xf x e x   , 由于  '' 2 0xf x e   ,故  'f x 单调递增,注意到  ' 0 0f  ,故: 当  ,0x  时,    ' 0,f x f x 单调递减, 当  0,x  时,    ' 0,f x f x 单调递增. (2)由   31 12f x x  得, 2 31 12 xe ax x x  … ,其中 0x  , ①.当 x=0 时,不等式为:1 1 ,显然成立,符合题意; 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 ②.当 0x  时,分离参数 a 得, 3 2 1 12 xe x x a x    … , 记   3 2 1 12 xe x x g x x      ,     2 3 12 12' xx e x x g x x         , 令    21 1 02 xe x xh x x    , 则  ' 1xh x e x   ,  '' 1 0xh x e   , 故  'h x 单调递增,    ' ' 0 0h x h  , 故函数  h x 单调递增,    0 0h x h  , 由   0h x  可得: 21 1 02 xe x x   … 恒成立, 故当  0,2x 时,  ' 0g x  ,  g x 单调递增; 当  2,x  时,  ' 0g x  ,  g x 单调递减; 因此,     2 max 72 4 eg x g      , 综上可得,实数 a 的取值范围是 27 ,4 e    . 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数 的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2) 利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决 生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第 一题计分。 [选修 4—4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为 cos , sin k k x t y t     (t 为参数 ) .以坐标原点为极点, x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为 4 cos 16 sin 3 0      . (1)当 1k  时, 1C 是什么曲线? (2)当 4k  时,求 1C 与 2C 的公共点的直角坐标. 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 【答案】(1)曲线 1C 表示以坐标原点为圆心,半径为 1 的圆;(2) 1 1( , )4 4 . 【解析】 【分析】 (1)利用 2 2sin cos 1t t  消去参数 t ,求出曲线 1C 的普通方程,即可得出结论; (2)当 4k  时, 0, 0x y  ,曲线 1C 的参数方程化为 2 2 cos ( sin x t t y t    为参数),两式相加消去参数 t , 得 1C 普通方程,由 cos , sinx y     ,将曲线 2C 化为直角坐标方程,联立 1 2,C C 方程,即可求解. 【详解】(1)当 1k  时,曲线 1C 的参数方程为 cos (sin x t ty t    为参数), 两式平方相加得 2 2 1x y  , 所以曲线 1C 表示以坐标原点为圆心,半径为 1 的圆; (2)当 4k  时,曲线 1C 的参数方程为 4 4 cos ( sin x t t y t     为参数), 所以 0, 0x y  ,曲线 1C 的参数方程化为 2 2 cos ( sin x t t y t    为参数), 两式相加得曲线 1C 方程为 1x y  , 得 1y x  ,平方得 2 1,0 1,0 1y x x x y       , 曲线 2C 的极坐标方程为 4 cos 16 sin 3 0      , 曲线 2C 直角坐标方程为 4 16 3 0x y   , 联立 1 2,C C 方程 2 1 4 16 3 0 y x x x y        , 整理得12 32 13 0x x   ,解得 1 2 x  或 13 6x  (舍去), 1 1,4 4x y   , 1 2,C C 公共点的直角坐标为 1 1( , )4 4 . 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化,极坐标方程与直角坐标方程互化,合理消元是解题的关系, 要注意曲线坐标的范围,考查计算求解能力,属于中档题. [选修 4—5:不等式选讲] 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 23.已知函数 ( ) | 3 1| 2 | 1|f x x x    . (1)画出 ( )y f x 的图像; (2)求不等式 ( ) ( 1)f x f x  的解集. 【答案】(1)详解解析;(2) 7, 6      . 【解析】 【分析】 (1)根据分段讨论法,即可写出函数  f x 的解析式,作出图象; (2)作出函数  1f x 的图象,根据图象即可解出. 【详解】(1)因为   3, 1 15 1, 13 13, 3 x x f x x x x x                ,作出图象,如图所示: (2)将函数  f x 的图象向左平移1个单位,可得函数  1f x 的图象,如图所示: 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 由  3 5 1 1x x     ,解得 7 6x   . 所以不等式的解集为 7, 6      . 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象,以及利用图象解不等式,意在考查学生的数形结合能力,属于 基础题.

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