2020年内蒙古通辽市中考数学试题
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内蒙古通辽市2020年中考数学试题(原卷版).doc

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资料简介
第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 内蒙古通辽市 2020 年中考数学试题 注意事项: 1.本试卷共 6 页,26 小题,满分为 120 分,考试时间为 120 分钟. 2.根据网上阅卷需要,本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上作答,答在本试卷上的答 案无效. 3.考试结束后,将本试卷与答题卡分别封装一并上交. 一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,每小题只有一个正确答案,请在答题 卡上将代表正确答案的字母用 2B 铅笔涂黑) 1.2020 年我市初三毕业生超过 30000 人,将 30000 用科学记数法表示正确的是( ) A. 50.3 10 B. 43 10 C. 330 10 D. 3 万 【答案】B 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝 对值<1 时,n 是负数. 【详解】解:将 30000 用科学记数法表示为 3×104. 故选:B. 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10, n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 2.下列说法不正确...的是( ) A. 2a 是 2 个数 a 的和 B. 2a 是 2 和数 a 的积 C. 2a 是单项式 D. 2a 是偶数 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 2a 的意义,分别判断各项即可. 【详解】解:A、 2a =a+a,是 2 个数 a 的和,故选项正确; B、 2a =2×a,是 2 和数 a 的积,故选项正确; C、 2a 是单项式,故选项正确; 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 D、当 a 为无理数时, 2a 是无理数,不是偶数,故选项错误; 故选 D. 【点睛】本题考查了代数式的意义,注意 a 不一定为整数是解题的关键. 3.下列事件中是不可能事件.....的是( ) A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 百步穿杨 【答案】C 【解析】 【分析】 不可能事件是一定不会发生的事件,依据定义即可判断. 【详解】解:A、守株待兔,不一定就能达到,是随机事件,故选项不符合; B、瓮中捉鳖是必然事件,故选项不符合; C、水中捞月,一定不能达到,是不可能事件,选项不符合; D、百步穿杨,未必达到,是随机事件,故选项不符合; 故选 C. 【点睛】本题考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事 件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随 机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件. 4.如图,将一副三角尺按下列位置摆放,使  和  互余的摆放方式是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图形,结合互余的定义判断即可. 【详解】解:A、∠α与∠β互余,故本选项正确; B、∠α+∠β>90°,即不互余,故本选项错误; C、∠α+∠β=270°,即不互余,故本选项错误; 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 D、∠α+∠β=180°,即互补,故本选项错误; 故选 A. 【点睛】本题考查了对余角和补角的应用,主要考查学生的观察图形的能力和理解能力. 5.若关于 x 的方程 kx2﹣6x+9=0 有实数根,则 k 的取值范围是( ) A. k<1 B. k≤1 C. k<1 且 k≠0 D. k≤1 且 k≠0 【答案】B 【解析】 【详解】解:(1)当 k=0 时,-6x+9=0,解得 x= 3 2 ; (2)当 k≠0 时,此方程是一元二次方程, ∵关于 x 的方程 kx2-6x+9=0 有实数根, ∴△=(-6)2-4k×9≥0,解得 k≤1, 由(1)、(2)得,k 的取值范围是 k≤1. 故选 B. 6.根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功地找到三角形内心的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形内心的定义,三角形内心为三边的垂直平分线的交点,然后利用基本作图和选项进行判断. 【详解】解:三角形内心为三个角的角平分线的交点, 由基本作图得到 B 选项作了两个角的角平分线, 而三角形三条角平分线交于一点,从而可用直尺成功找到三角形内心. 故选:B. 【点睛】本题考查了作图-基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角; 作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).也考查了三角形的内心. 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 7.如图, ,PA PB 分别与 O 相切于 ,A B 两点, 72P   ,则 C  ( ) A. 108 B. 72 C. 54 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】 连接 OA、OB,根据切线的性质定理,结合四边形 AOBP 的内角和为 360°,即可推出∠AOB 的度数,然后 根据圆周角定理,即可推出∠C 的度数. 【详解】解:连接 OA、OB, ∵直线 PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B, ∴OA⊥PA,OB⊥PB, ∵∠P=72°, ∴∠AOB=108°, ∵C 是⊙O 上一点, ∴∠ACB=54°. 故选:C. 【点睛】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理,关键在于熟练运用切线的性质,通过 作辅助线构建四边形,最后通过圆周角定理即可推出结果. 8.如图, AD 是 ABC 的中线,四边形 ADCE 是平行四边形,增加下列条件,能判断 ADCE 是菱形的是 ( ) 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 A. 90BAC   B. 90DAE   C. AB AC D. AB AE 【答案】A 【解析】 【分析】 根据菱形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解:A、若 90BAC   ,则 AD=BD=CD=AE,∵四边形 ADCE 是平行四边形,则此时四边形 ADCE 为菱形,故选项正确; B、若 90DAE   ,则四边形 ADCE 是矩形,故选项错误; C、若 AB AC ,则∠ADC=90°,则四边形 ADCE 是矩形,故选项错误; D、若 AB AE ,而 AB>AD,则 AE≠AD,无法判断四边形 ADCE 为菱形,故选项错误. 故选 A. 【点睛】本题考查了菱形的判定,还涉及到平行四边形的性质,矩形的判定,等腰三角形的性质,解题的 关键是掌握判定定理. 9.如图,OC 交双曲线 ky x  于点 A,且 : 5: 3OC OA  ,若矩形 ABCD 的面积是 8,且 //AB x 轴,则 k 的值是( ) A. 18 B. 50 C. 12 D. 200 9 【答案】A 【解析】 【分析】 过点 A 和点 C 分别作 x 轴的垂线,垂足为 E 和 F,得到△OAE∽△OCF,设点 A(m,n),求出 AB 和 BC, 利用矩形 ABCD 的面积为 8 求出 mn,即 k 值. 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 【详解】解:过点 A 和点 C 分别作 x 轴的垂线,垂足为 E 和 F, ∴AE∥CF, ∴△OAE∽△OCF, ∵OC:OA=5:3, ∴OF:OE=CF:AE=5:3, 设点 A(m,n),则 mn=k, ∴OE=m,AE=n, ∴OF= 5 3 m ,CF= 5 3 n , ∴AB=OF-OE= 2 3 m ,BC=CF-AE= 2 3 n , ∵矩形 ABCD 的面积为 8, ∴AB·BC= 2 3 m × 2 3 n =8, ∴mn=18=k, 故选 A. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,反比例函数表达式,矩形的性质,解题的关键是利用相似 三角形的性质表示出线段的长. 10.从下列命题中,随机抽取一个是真命题的概率是( ) (1)无理数都是无限小数; (2)因式分解   2 1 1ax a a x x    ; (3)棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ; (4)弧长是 20 cm ,面积是 2240 cm 的扇形的圆心角是120 . A. 1 4 B. 1 2 C. 3 4 D. 1 【答案】C 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 【解析】 【分析】 分别判断各命题的真假,再利用概率公式求解. 【详解】解:(1)无理数都是无限小数,是真命题, (2)因式分解   2 1 1ax a a x x    ,是真命题, (3)棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ,是真命题, (4)设扇形半径为 r,圆心角为 n, ∵弧长是 20 cm ,则 180 n rπ = 20 ,则 3600nr  , ∵面积是 2240 cm ,则 2 360 n r = 240 ,则 2nr  360×240, 则 2 360 240 243600 nr rnr    ,则 n=3600÷24=150°, 故扇形的圆心角是150,是假命题, 则随机抽取一个是真命题的概率是 3 4 , 故选 C. 【点睛】本题考查了命题的真假,概率,扇形的弧长和面积,无理数,因式分解,正方体展开图,知识点 较多,难度一般,解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假. 二、填空题(本题包括 7 小题,每小题 3 分,共 21 分,将答案直接填在答题卡对应题的横线上) 11.计算: (1) 0(3.14 )  ______;(2) 2cos45  ______;(3) 21  ______. 【答案】 (1). 1 (2). 2 (3). -1 【解析】 【分析】 根据零指数幂,特殊角的三角函数值,乘方运算法则分别计算即可. 【详解】解: 0(3.14 )  1, 2cos45  2× 2 2 = 2 , 21  -1, 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 故答案为:1, 2 ,-1. 【点睛】本题考查了零指数幂,特殊角的三角函数值,乘方运算,掌握运算法则是关键. 12.若数据 3,a,3,5,3 的平均数是 3,则这组数据中(1)众数是______;(2)a 的值是______;(3)方 差是______. 【答案】 (1). 3 (2). 1 (3). 1.6 【解析】 【分析】 根据平均数的定义先求出 a 的值,再根据众数的定义、以及方差公式进行计算即可得出答案. 【详解】解:根据题意得, 3+a+3+5+3=3×5, 解得:a=1, 则一组数据 1,3,3,3,5 的众数为 3, 方差为:          2 2 2 2 21 1 3 3 3 3 3 3 3 5 35            = 8 5 =1.6, 故答案为:(1)3;(2)1;(3)1.6 【点睛】此题考查了众数、平均数和方差,用到的知识点是众数、平均数和方差的求法,注意计算不要出 错. 13.如图,点 O 在直线 AB 上, 5317 28AOC     ,则 BOC 的度数是______. 【答案】126 42 32  【解析】 【分析】 根据补角的定义,进行计算即可. 【详解】解:由图可知:∠AOC 和∠BOC 互补, ∵ 53 17 28AOC     , ∴∠BOC=180°-53 17 28  =126 42 32  , 故答案为:126 42 32  . 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 【点睛】本题考查了补角的定义,和角的计算,关键是掌握角的运算方法. 14.如图,用大小相同的小正方形拼大正方形,拼第 1 个正方形需要 4 个小正方形,拼第 2 个正方形需要 9 个小正方形……,按这样的方法拼成的第 1n  个正方形比第 n 个正方形多_____个小正方形. 【答案】2n+3 【解析】 【分析】 首先根据图形中小正方形的个数规律得出变化规律,进而得出答案. 【详解】解:∵第一个图形有 22=4 个正方形组成, 第二个图形有 32=9 个正方形组成, 第三个图形有 42=16 个正方形组成, ∴第 n 个图形有(n+1)2 个正方形组成,第 n+1 个图形有(n+2)2 个正方形组成 ∴(n+2)2-(n+1)2 =2n+3 故答案为:2n+3. 【点睛】此题主要考查了图形的变化类,根据图形得出小正方形的变化规律是解题关键. 15.有一个人患了新冠肺炎,经过两轮传染后共有 169 人患了新冠肺炎,每轮传染中平均一个人传染了______ 个人. 【答案】12 【解析】 【分析】 设平均一人传染了 x 人,根据有一人患了流感,经过两轮传染后共有 169 人患了流感,列方程求解 【详解】解:设平均一人传染了 x 人, x+1+(x+1)x=169 解得:x=12 或 x=-14(舍去). ∴平均一人传染 12 人. 故答案为:12. 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 【点睛】本题考查理解题意的能力,关键是看到两轮传染,从而可列方程求解. 16.如图,在 ABC 中, 90 ,ACB AC BC    ,点 P 在斜边 AB 上,以 PC 为直角边作等腰直角三角形 PCQ , 90PCQ   ,则 2 2 2, ,PA PB PC 三者之间的数量关系是_____. 【答案】PA2+PB2=PQ2 【解析】 【分析】 把 AP2 和 PB2 都用 PC 和 CD 表示出来,结合 Rt△PCD 中,可找到 PC 和 PD 和 CD 的关系,从而可找到 PA2, PB2,PQ2 三者之间的数量关系; 【详解】解:过点 C 作 CD⊥AB,交 AB 于点 D ∵△ACB 为等腰直角三角形,CD⊥AB, ∴CD=AD=DB, ∵PA2=(AD-PD)2=(CD-PD)2=CD2-2CD•PD+PD2, PB2=(BD+PD)2=(CD+PD)2=CD2-2CD•PD+PD2, ∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2(CD2+PD2), 在 Rt△PCD 中,由勾股定理可得 PC2=CD2+PD2, ∴PA2+PB2=2PC2, ∵△CPQ 为等腰直角三角形,且∠PCQ=90°, ∴2PC2=PQ2, ∴PA2+PB2=PQ2, 故答案为 PA2+PB2=PQ2. 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质,勾股定理的应用,关键是作出辅助线,利用三线合一进行论 证. 17.如图①,在 ABC 中, , 120AB AC BAC    ,点 E 是边 AB 的中点,点 P 是边 BC 上一动点,设 ,PC x PA PE y   .图②是 y 关于 x 的函数图象,其中 H 是图象上的最低点..那么 a b的值为_______. 【答案】7 【解析】 【分析】 过 B 作 AC 的平行线,过 C 作 AB 的平行线,交于点 D,证明四边形 ABCD 为菱形,得到点 A 和点 D 关于 BC 对称,从而得到 PA+PE=PD+PE,推出当 P,D,E 共线时,PA+PE 最小,即 DE 的长,观察图像可知: 当点 P 与点 B 重合时,PD+PE=3 3 ,分别求出 PA+PE 的最小值为 3,PC 的长,即可得到结果. 【详解】解:如图,过 B 作 AC 的平行线,过 C 作 AB 的平行线,交于点 D, 可得四边形 ABCD 为平行四边形,又 AB=AC, ∴四边形 ABCD 为菱形,点 A 和点 D 关于 BC 对称, ∴PA+PE=PD+PE, 当 P,D,E 共线时,PA+PE 最小,即 DE 的长, 观察图像可知:当点 P 与点 B 重合时,PD+PE= 3 3 , ∵点 E 是 AB 中点, 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 ∴BE+BD=3BE=3 3 , ∴BE= 3 ,AB=BD= 2 3 , ∵∠BAC=120°, ∴∠ABD=(180°-120°)÷2×2=60°, ∴△ABD 为等边三角形, ∴DE⊥AB,∠BDE=30°, ∴DE=3,即 PA+PE 的最小值为 3, 即点 H 的纵坐标为 a=3, 当点 P 为 DE 和 BC 交点时, ∵AB∥CD, ∴△PBE∽△PCD, ∴ PB BE PC CD  , ∵菱形 ABCD 中,AD⊥BC, ∴BC=2×    2 2 2 3 3 =6, ∴ 6 3 2 3 PC PC   , 解得:PC=4, 即点 H 的横坐标为 b=4, ∴a+b=3+4=7, 故答案为:7. 【点睛】本题考查动点问题的函数图象,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数 形结合的思想解答. 三、解答题(本题包括 9 小题,共 69 分,每小题分值均在各题号后面标出,请在答题卡上写出 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤) 18.解方程: 2 3 2x x  . 【答案】 6x  . 【解析】 【分析】 首先去掉分母,观察可得最简公分母是 x(x﹣2),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方 程求解,然后解一元一次方程,最后检验即可求解. 【详解】去分母,得  2 3 2x x  , 去括号,得 2 3 6x x  , 移项,合并同类项,得 6x   , 化 x 的系数为 1,得 6x  , 经检验, 6x  是原方程的根, ∴原方程的解为 6x  . 【点睛】本题考查了解分式方程,熟练掌握解分式方程的步骤以及注意事项是解题的关键. 19.从 A 处看一栋楼顶部的仰角为 ,看这栋楼底部的俯角为  ,A 处与楼的水平距离 AD 为90m ,若 tan 0.27,tan 2.73   ,求这栋楼高. 【答案】270 米 【解析】 【分析】 根据正切的定义分别求出 BD、DC 的长,求和即可. 【详解】解:在 Rt△ABD 中,tanα= BD AD , 则 BD=AD•tanα=90×0.27=24.3, 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 在 Rt△ACD 中,tanβ= CD AD , 则 CD=AD•tanβ=90×2.73=245.7, ∴BC=BD+CD=24.3+245.7=270, 答:这栋楼高约为 270 米. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题,正切理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数 的定义是解题的关键. 20.用※定义一种新运算:对于任意实数 m 和 n,规定 2 3m n m n mn n  ※ ,如: 21 2 1 2 1 2 3 2 6       ※ . (1)求  2 3 ※ ; (2)若 3 6m  ※ ,求 m 的取值范围,并在所给的数轴上表示出解集. 【答案】(1)3 3 ;(2) 2m   ,图见解析 【解析】 【分析】 (1)根据新定义规定的运算法则列式,再由有理数的运算法则计算可得; (2)根据新定义列出关于 x 的不等式,解不等式即可得. 【详解】解:(1)  2 3 ※ =   22 3 2 3 3 3       = 4 3 2 3 3 3  =3 3 (2)∵3 6m  ※ , ∴ 23 3 3 6m m m    解得: 2m   将解集表示在数轴上如下: 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算,解题的关键是根据新定义列出算式和一 元一次不等式及解一元一次不等式的步骤 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 21.甲口袋中装有 2 个相同小球,它们分别写有数字 1,2;乙口袋中装有 3 个相同小球,它们分别写有数字 3,4,5;丙口袋中装有 2 个相同小球,它们分别写有数字 6,7.从三个口袋各随机取出 1 个小球.用画树 状图或列表法求: (1)取出的 3 个小球上恰好有一个偶数的概率; (2)取出的 3 个小球上全是奇数的概率. 【答案】(1) 5 12 ;(2) 1 6 【解析】 【分析】 (1)画出树状图,由树状图求得所有等可能的结果,然后利用概率公式求解即可求得答案; (2)画出树状图,由树状图求得所有等可能的结果,然后利用概率公式求解即可求得答案; 【详解】解:画树状图得: (1)∵共有 12 种等可能的结果,取出的 3 个小球上恰好有 1 个偶数数字的有 5 种情况, ∴取出的 3 个小球上只有 1 个偶数数字的概率是 5 12 : (2)∵共有 12 种等可能的结果,取出的 3 个小球上全是奇数数字的有 2 种情况, ∴取出的 3 个小球上全是奇数数字的概率是 2 1 12 6  . 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合两步 或两步以上完成的事件;注意概率=所求情况数与总情况数之比. 22.如图, O 的直径 AB 交弦(不是直径) CD 于点 P,且 2 ·PC PB PA .求证: AB CD . 【答案】见解析 【解析】 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 【分析】 连接 AC 和 BD,证明△PAC∽△PDB,得到 PA PC PD PB  ,再根据 2 ·PC PB PA 得到 PA PC PC PB  ,从而得到 PC=PD,根据垂径定理得出结果. 【详解】解:连接 AC 和 BD, 在△PAC 和△PBD 中, ∠A=∠D,∠C=∠B, ∴△PAC∽△PDB, ∴ PA PC PD PB  , ∴ PA PD PC PB  , ∵ 2 ·PC PB PA , ∴ PA PC PC PB  , ∴PC=PD, ∵AB 为直径, ∴AB⊥CD. 【点睛】本题考查了圆周角定理,相似三角形的判定和性质,垂径定理,解题的关键是证明△PAC∽△PDB, 得到 PA PC PD PB  . 23.某校研究学生的课余爱好情况,采取抽样调查的方法,从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干 名学生的兴趣爱好,并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答 下列问题: 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 (1)在这次调查中,共调查了多少名学生; (2)补全条形统计图; (3)若该校爱好运动的学生共有 800 名,则该校学生总数大约有多少名. 【答案】(1)100;(2)见解析;(3)2000 【解析】 【分析】 (1)根据爱好运动人数的百分比,以及运动人数即可求出共调查的人数; (2)根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数,从而可补全图形. (3)利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数. 【详解】解:(1)爱好运动的人数为 40,所占百分比为 40% ∴共调查人数为:40÷40%=100 (2)爱好上网的人数所占百分比为 10% ∴爱好上网人数为:100×10%=10, ∴爱好阅读人数为:100-40-20-10=30, 补全条形统计图,如图所示, (3)爱好运动的学生人数所占的百分比为 40%, ∴该校共有学生大约有:800÷40%=2000 人; 【点睛】本题考查统计,解题的关键是正确利用两幅统计图的信息,本题属于中等题型. 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 24.某服装专卖店计划购进 ,A B 两种型号的精品服装.已知 2 件 A 型服装和 3 件 B 型服装共需 4600 元;1 件 A 型服装和 2 件 B 型服装共需 2800 元. (1)求 ,A B 型服装的单价; (2)专卖店要购进 ,A B 两种型号服装 60 件,其中 A 型件数不少于 B 型件数的 2 倍,如果 B 型打七五折, 那么该专卖店至少需要准备多少货款? 【答案】(1)A 型女装的单价是 800 元,B 型女装的单价是 1000 元;(2)47000 【解析】 【分析】 (1)设 A 型女装的单价是 x 元,B 型女装的单价是 y 元.根据“2 件 A 型女装和 3 件 B 型女装共需 4600 元; 1 件 A 型女装和 2 件 B 型女装共需 2800 元”列出方程组并解答; (2)设购进 A 型女装 m 件,则购进 B 型女装(60-m)件,依据“A 型的件数不少于 B 型件数的 2 倍”求得 m 的取值范围,然后根据购买方案求得需要准备的总费用. 【详解】解:(1)设 A 型女装的单价是 x 元,B 型女装的单价是 y 元, 依题意得: 2 3 4600 2 2800 x y x y      解得: 800 1000 x y    答:A 型女装的单价是 800 元,B 型女装的单价是 1000 元; (2)设购进 A 型女装 m 件,则购进 B 型女装(60-m)件, 根据题意,得 m≥2(60-m), ∴m≥40, 设购买 A、B 两种型号的女装的总费用为 w 元, w=800m+1000×0.75×(60-m)=50m+45000, ∴w 随 m 的增大而增大, ∴当 m=40 时,w 最小=50×40+45000=47000. 答:该专卖店至少需要准备 47000 元的贷款. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用,二元一次方程组的应用.解决问题的关键是读懂题意,找到 关键描述语,找到所求的量的等量关系. 25.中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的半径为 6cm .点 ,P Q 同时分别从 ,A D 两点出发,以1cm/s 的速度沿 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 ,AF DC 向终点 ,F C 运动,连接 , , ,PB PE QB QE ,设运动时间为  t s . (1)求证:四边形 PBQE 为平行四边形; (2)求矩形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比. 【答案】(1)见解析;(2)2:3 【解析】 【分析】 (1)只要证明△ABP≌△DEQ(SAS),可得 BP=EQ,同理 PE=BQ,由此即可证明; (2)过点 B,点 E 作 BN⊥CD,EM⊥CD,连接 OC,OD,过点 O 作 OH⊥CD 分别求出矩形 PBQE 的面 积和正六边形 ABCDEF 的面积,从而得到结果. 【详解】解:(1)证明:∵中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的半径为 6cm, ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F, ∵点 P,Q 同时分别从 A,D 两点出发,以 1cm/s 速度沿 AF,DC 向终点 F,C 运动, ∴AP=DQ=t,PF=QC=6-t, 在△ABP 和△DEQ 中, AB DE A D AP DQ       , ∴△ABP≌△DEQ(SAS), ∴BP=EQ,同理可证 PE=QB, ∴四边形 PEQB 是平行四边形; (2)由(1)可知四边形 PEQB 是平行四边形 ∴当∠BQE=90°时,四边形 PEQB 是矩形 过点 B,点 E 作 BN⊥CD,EM⊥CD,连接 OC,OD,过点 O 作 OH⊥CD ∴∠BNQ=∠QME=90°, 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 ∴∠BQN+∠NBQ=90°,∠BQN+∠EQM=90° ∴∠NBQ=∠EQM ∴△NBQ∽△MQE ∴ BN QM NQ EM = 又∵正六边形 ABCDEF 的半径为 6, ∴正六边形 ABCDEF 的各边为 6,∠BCQ=∠EDQ=120° ∴在 Rt△BNC 和 Rt△EDM 中,∠NBC=∠DEM=30° ∴NC=DM= 1 32 BC  ,BN=EM=3 3 ∴ 3 3 3 x 9 x 3 3 +=- ,解得: 1 26 0x x , (舍去) 即当 P 与 F 重合,Q 与 C 重合时,四边形 PEQB 是矩形 此时矩形 PEQB 的面积为 BC CE 6 6 3 36 3= ´ = ∵在正六边形 ABCDEF 中,∠COD=60°,OC=OD ∴△OCD 是等边三角形,OC=OD=CD=6,OH=3 3 S 六边形 ABCDEF= 1 62 CD OH   = 1 6 3 3 62    =54 3 , ∴S 矩形 PBQE:S 六边形 ABCDEF=36 3 :54 3 =2:3 【点睛】本题考查正多边形、平行四边形的判定和性质、矩形的性质与判定,解题的关键是灵活运用所学 知识解决问题,属于中考常考题型. 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 26.如图,在平面直角坐标系中,抛物线 2y x bx c    与 x 轴交于点 ,A B ,与 y 轴交于点 C,且直线 6y x  过点 B,与 y 轴交于点 D,点 C 与点 D 关于 x 轴对称.点 P 是线段 OB 上一动点,过点 P 作 x 轴 的垂线交抛物线于点 M,交直线 BD 于点 N. (1)求抛物线的函数解析式; (2)当 MDB△ 的面积最大时,求点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,在 y 轴上是否存在点 Q,使得以 , ,Q M N 三点为顶点的三角形是直角三角形,若 存在,直接写出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. 【答案】(1) 2 5 6y x x    ;(2)(2,0);(3)存在,(0,12)或(0,-4)或(0,4 2 15 )或(0, 4 2 15 ). 【解析】 【分析】 (1)根据直线 6y x  求出点 B 和点 D 坐标,再根据 C 和 D 之间的关系求出点 C 坐标,最后运用待定系 数法求出抛物线表达式; (2)设点 P 坐标为(m,0),表示出 M 和 N 的坐标,再利用三角形面积求法得出 S△BMD= 23 12 36m m   , 再求最值即可; (3)分当∠QMN=90°时,当∠QNM=90°时,当∠MQN=90°时,三种情况,结合相似三角形的判定和性质, 分别求解即可. 【详解】解:(1)∵直线 6y x  过点 B,点 B 在 x 轴上, 令 y=0,解得 x=6,令 x=0,解得 y=-6, 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 ∴B(6,0),D(0,-6), ∵点 C 和点 D 关于 x 轴对称, ∴C(0,6), ∵抛物线 2y x bx c    经过点 B 和点 C,代入, 0 36 6 6 b c c       ,解得: 5 6 b c     , ∴抛物线的表达式为: 2 5 6y x x    ; (2)设点 P 坐标为(m,0), 则点 M 坐标为(m, 2 5 6m m   ),点 N 坐标为(m,m-6), ∴MN= 2 5 6m m   -m+6= 2 4 12m m   , ∴S△BMD=S△MNB+S△MND =  21 4 12 62 m m     = 23 12 36m m   =-3(m-2)2+48 当 m=2 时,S△BMD 最大=48, 此时点 P 的坐标为(2,0); (3)存在, 由(2)可得:M(2,12),N(2,-4), 设点 Q 的坐标为(0,n), 当∠QMN=90°时,即 QM⊥MN,如图, 可得,此时点 Q 和点 M 的纵坐标相等, 即 Q(0,12); 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 当∠QNM=90°时,即 QN⊥MN,如图, 可得,此时点 Q 和点 N 的纵坐标相等, 即 Q(0,-4); 当∠MQN=90°时,MQ⊥NQ,如图, 分别过点 M 和 N 作 y 轴的垂线,垂足为 E 和 F, ∵∠MQN=90°, ∴∠MQE+∠NQF=90°,又∠MQE+∠QME=90°, ∴∠NQF=∠QME, ∴△MEQ∽△QFN, ∴ ME EQ QF FN  ,即 2 12 4 2 n n  , 解得:n= 4 2 15 或 4 2 15 , ∴点 Q(0, 4 2 15 )或(0, 4 2 15 ), 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 综上:点 Q 的坐标为(0,12)或(0,-4)或(0, 4 2 15 )或(0, 4 2 15 ). 【点睛】本题是二次函数综合题,考查了二次函数的表达式,相似三角形的判定和性质,直角三角形的性 质,二次函数的最值,解一元二次方程,解题时要注意数形结合,分类讨论思想的运用.

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