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湖北省孝感市 2020 年中考数学试题
─、精心选一选，相信自己的判断！
1.如果温度上升3℃，记作 3 ℃，那么温度下降 2℃记作（ ）
A. 2 ℃ B. 2 ℃ C. 3 ℃ D. 3 ℃
【答案】A
【解析】
【分析】
根据具有相反意义的量进行书写即可．
【详解】由题知：温度上升3℃，记作 3 ℃，
∴温度下降 2℃，记作 2 ℃，
故选：A．
【点睛】本题考查了具有相反意义的量的书写形式，熟知此知识点是解题的关键．
2.如图，直线 AB ，CD 相交于点 O ，OE CD ，垂足为点 O ．若 40BOE ，则 AOC 的度数为（ ）
A. 40 B. 50 C. 60 D. 140
【答案】B
【解析】
【分析】
已知OE CD ， 40BOE ，根据邻补角定义即可求出 AOC 的度数．
【详解】∵OE CD
∴ 90COE
∵ 40BOE
∴ 180° 180 90 40 50AOC COE EOB
故选：B
【点睛】本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平
角度数为 180°．
3.下列计算正确的是（ ）
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A. 2 3 5a b ab B. 2 23 9ab ab C. 2 3 6a b ab D. 22 2ab b b
【答案】C
【解析】
【分析】
据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变和单项式的乘法
法则，逐一判断即可.
【详解】A：2a 和 3b 不是同类项，不能合并，故此选项错误；
B： 2 2 23 9ab a b 故 B 错误；
C： 2 3 6a b ab 正确；
D： 22 2ab b ab 故 D 错误.
【点睛】本题考查了合并同类项以及单项式的乘法的知识，解答本题的关键是熟练掌握合并同类项的法则.
4.如图是由 5 个相同的正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
从左面看，所得到的图形形状即为所求答案．
【详解】从左面可看到第一层为 2 个正方形，第二层为 1 个正方形且在第一层第一个的上方，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
5.某公司有 10 名员工，每人年收入数据如下表：
年收入/万元 4 6 8 10
人数/人 3 4 2 1
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则他们年收入数据的众数与中位数分别为（ ）
A. 4，6 B. 6，6 C. 4，5 D. 6，5
【答案】B
【解析】
【分析】
数据出现最多的为众数;将数据从小到大排列,最中间的 2 个数的平均数为中位数．
【详解】6 出现次数最多, 故众数为: 6，
最中间的 2 个数为 6 和 6，中位数为 6+6 =62
，
故选: B．
【点睛】本题考查众数和中位数,需要注意,求解中位数前,一定要将数据进行排序．
6.已知 5 1x ， 5 1y ，那么代数式
3 2x xy
x x y
的值是（ ）
A. 2 B. 5 C. 4 D. 2 5
【答案】D
【解析】
【分析】
先按照分式四则混合运算法则化简原式，然后将 x、y 的值代入计算即可．
【详解】解：
3 2x xy
x x y
=
x x y x y
x x y
=x+y= 5 1 + 5 1 =2 5 ．
故答案为 D．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，根据分式四则混合运算法则化简分式是解答本题的关键．
7.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I （单位： A ）与电阻 R （单位： ）是反比例函数关
系，它的图象如图所示．则这个反比例函数的解析式为（ ）
A. 24I R
B. 36I R
C. 48I R
D. 64I R
【答案】C
【解析】
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【分析】
根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，根据图中给出的坐标即可求出该反比例函数解析式．
【详解】根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，在该函数图象上有一点(6,8)，
故设反比例函数解析式为 I= k
R
，
将(6,8)代入函数解析式中，
解得 k=48，
故 I= 48
R
故选 C．
【点睛】本题主要考查反比例函数解析式的求解方法，掌握求解反比例函数解析式的方法是解答本题的关
键．
8.将抛物线 2
1 : 2 3C y x x 向左平移 1 个单位长度，得到抛物线 2C ，抛物线 2C 与抛物线 3C 关于 x 轴对
称，则抛物线 3C 的解析式为（ ）
A. 2 2y x B. 2 2y x C. 2 2y x D. 2 2y x
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式 2C ，再因为关于 x 轴对称的两个抛物线，自
变量 x 的取值相同，函数值 y 互为相反数，由此可直接得出抛物线 3C 的解析式．
【详解】解：抛物线 2
1 : 2 3C y x x 向左平移 1 个单位长度，得到抛物线 2C ： 2+1 2 +1 3 y x x ，
即抛物线 2C ： 2 2y x ;
由于抛物线 2C 与抛物线 3C 关于 x 轴对称，则抛物线 3C 的解析式为： 2 2y x .
故选：A．
【点睛】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函
数解析式以及关于 x 轴对称的两个抛物线，自变量 x 的取值相同，函数值 y 互为相反数．
9.如图，在四边形 ABCD 中， AD BC∥ ， 90D ， 4AB ， 6BC ， 30BAD ．动点 P 沿路径
A B C D 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点 D 运动．过点 P 作 PH AD ，垂足为
H ．设点 P 运动的时间为 x （单位： s ）， APHV 的面积为 y ，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分点 P 在 AB 边上，如图 1，点 P 在 BC 边上，如图 2，点 P 在 CD 边上，如图 3，利用解直角三角形的知
识和三角形的面积公式求出相应的函数关系式，再根据相应函数的图象与性质即可进行判断．
【详解】解：当点 P 在 AB 边上，即 0≤x≤4 时，如图 1，
∵AP=x， 30BAD ，
∴ 1 3,2 2PH x AH x ，
∴ 21 1 3 3
2 2 2 8y x x x ；
当点 P 在 BC 边上，即 4＜x≤10 时，如图 2，
过点 B 作 BM⊥AD 于点 M，则 1 32, 2 3, 42 2PH BM AB AM AB MH BP x ，
∴ 1 1 2 3 4 2 2 3 42 2y AH PH x x ；
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当点 P 在 CD 边上，即 10＜x≤12 时，如图 3，
AD= 2 3 6 ， 12PH x ，
∴ 1 2 3 6 12 3 3 122y x x ；
综上，y 与 x 的函数关系式是：
23 0 48
2 3 4 4 10
3 3 12 10 12
y x x
y x x
y x x
，
其对应的函数图象应为：
．
故选：D．
【点睛】本题以直角梯形为载体，主要考查了动点问题的函数图象、一次函数和二次函数的图象与性质以
及解直角三角形等知识，属于常考题型，正确分类、列出相应的函数关系式是解题的关键．
10.如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上，将 ADE 绕点 A 顺时针旋转90 到 ABF 的位置，连接 EF ，
过点 A 作 EF 的垂线，垂足为点 H ，与 BC 交于点G ．若 3BG ， 2CG ，则CE 的长为（ ）
A. 5
4 B. 15
4 C. 4 D. 9
2
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【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方形性质和已知条件可知 BC=CD=5,再由旋转可知 DE=BF,设 DE=BF=x，则 CE=5-x，CF=5+x，然后
再证明△ABG∽△CEF，根据相似三角形的性质列方程求出 x，最后求 CE 即可．
【详解】解：∵ 3BG ， 2CG
∴BC=BG+GC=2+3=5
∵正方形 ABCD
∴CD=BC=5
设 DE=BF=x，则 CE=5-x，CF=5+x
∵AH⊥EF，∠ABG=∠C=90°
∴∠HFG+∠AGF=90°，∠BAG+∠AGF=90°
∴∠HFG=∠BAG
∴△ABG∽△CEF
∴ CE BG
FC AB
,即 5 3
5 5
x
x
，解得 x= 5
4
∴CE=CD-DE=5- 5
4 =15
4
．
故答案为 B．
【点睛】本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程求出 DE 的长
是解答本题的关键．
二、细心填一填，试试自己的身手！
11.原子钟是北斗导航卫星的“心脏”，北斗卫星上的原子钟的精度可以达到 100 万年以上误差不超过 1 秒．数
据 100 万用科学记数法表示为______．
【答案】 61 10
【解析】
【分析】
先将 100 万写成 1000000，然后再写成 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为 1000000 写成 a 时小时点向左移
动的位数．
【详解】解：100 万=1000000= 61 10
故答案为 61 10 ．
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【点睛】本题考查了科学记数法，将 1000000 写成 a×10n 的形式，确定 a 和 n 的值是解答本题的关键．
12.有一列数，按一定的规律排列成 1
3
， 1 ，3， 9 ，27，－81，…．若其中某三个相邻数的和是 567 ，
则这三个数中第一个数是______．
【答案】 81
【解析】
【分析】
题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是 567 ，可设三个数为 n，-3n，9n，据题意列式即可求解．
【详解】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是 567 ，可设第一个数是 n，则三个数为 n，-3 n，
9n
由题意： n 3n 9n 567 ，
解得：n=-81，
故答案为：-81．
【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表示常见
的数列，列出方程是解题的关键．
13.某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 AB 的长为______ m ．（结果保留根号）
【答案】 5 3( 1.6)3
【解析】
【分析】
如图（见解析），先在 Rt BCF 中，解直角三角形可求出 CF 的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可
得 DE 的长，从而可得 CE 的长，然后根据线段的和差即可得．
【详解】如图，过 A 作 //AE BF ，交 DF 于点 E，则四边形 ABFE 是矩形
, 5 ,AB EF AE BF m AE EF
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由图中数据可知， 3.4CD m ， 30CBF ， 45DAE ， 90F
在 Rt BCF 中， tan CFCBF BF
，即 3tan305 3
CF
解得 5 3 ( )3CF m
, 45AE EF DAE
Rt ADE 是等腰三角形
5DE AE m
5 3.4 1.6( )CE DE CD m
5 3 1.6( )3EF CF CE m
则 AB 的长为 5 3( 1.6)3 m
故答案为： 5 3( 1.6)3
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直角三角形的方法
是解题关键．
14.在线上教学期间，某校落实市教育局要求，督促学生每天做眼保健操．为了解落实情况，学校随机抽取
了部分学生进行调查，调查结果分为四类（A 类：总时长 5 分钟；B 类：5 分钟 总时长 10 分钟；C 类：
10 分钟 总时长 15 分钟；D 类：总时长 15 分钟），将调查所得数据整理并绘制成如下两幅不完整的统
计图．
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该校共有 1200 名学生，请根据以上统计分析，估计该校每天做眼保健操总时长超过 5 分钟且不超过 10 分
钟的学生约有______人．
【答案】336
【解析】
【分析】
先根据 A 类的条形统计图和扇形统计图信息求出调查抽取的总人数，再求出每天做眼保健操总时长超过 5
分钟且不超过 10 分钟的学生的占比，然后乘以 1200 即可得．
【详解】调查抽取的总人数为10 10% 100 （人）
C 类学生的占比为 41 100% 41%100
B 类学生的占比为100% 10% 41% 21% 28%
则1200 28% 336 （人）
即该校每天做眼保健操总时长超过 5 分钟且不超过 10 分钟的学生约有 336 人
故答案为：336．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联等知识点，掌握理解统计调查的相关知识是解题
关键．
15.如图 1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注
解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图 2 的图案，记阴影部
分的面积为 1S ，空白部分的面积为 2S ，大正方形的边长为 m ，小正方形的边长为 n ，若 1 2S S= ，则 n
m
的
值为______．
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【答案】 3 1
2
【解析】
【分析】
如图（见解析），设 AB CD a ，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出 1 2,S S 的值，再
根据 1 2S S= 建立等式，然后根据 2
1 2S S m+ = 建立等式求出 a 的值，最后代入求解即可．
【详解】如图，由题意得： AC m ， BD n ， AB CD ， ABC 是直角三角形，且 ,m n 均为正数
则大正方形的面积为 2 2AC m=
小正方形的面积为 2 2BD n=
设 ( 0)AB CD a a
则 2 2 2
1
14 4 22Rt ABDS S n AB BD n an n= + = 醋 + = +
2
2
14 4 22ACDS S CD AB a= = 醋 =
1 2S S =
2 22 2an n a\ + =
又 2
1 2S S m + = ，即 2
22S m=
2 24a m\ =
解得
2
ma 或
2
ma = - （不符题意，舍去）
将
2
ma 代入 2 22 2an n a+ = 得：
2
2
2
mmn n+ =
两边同除以
2
2
m 得： 22 2( ) 1n n
m m
+ =
令 0n xm
= >
则 22 2 1x x+ =
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解得 3 1
2x 或 3 1 02x
- -= < （不符题意，舍去）
即 n
m
的值为 3 1
2
故答案为： 3 1
2
．
【点睛】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确
求出 1 2,S S 的值是解题关键．
16.如图，已知菱形 ABCD 的对角线相交于坐标原点O ，四个顶点分别在双曲线 4y x
和 0ky kx
上，
2
3
AC
BD
．平行于 x 轴的直线与两双曲线分别交于点 E ，F ，连接 OE ，OF ，则 OEF 的面积为______．
【答案】13
2
【解析】
【分析】
先作 AG x 轴于点 G，作 BH x 轴于点 H，证明 AOG OBH△ △ ，利用 2
3
AC
BD
，同时设出点 A 的
坐标，表示出 OH，BH 的长度，求出 k 的值，设直线 EF 的解析式为 y n ，表示点 E，F 的坐标，求出 EF
的长度，可求得 OEF 的面积．
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【详解】作 AG x 轴于点 G，作 BH x 轴于点 H，如图所示：
∵ AOG OAG AOG BOG 即 OAG BOH
∴ AOG OBH△ △
∴ 2
3
AO OG AG AC
OB BH OH BD
设点 A 的坐标为 4( , )m m
则 4,OG m AG m
∴ 6 3, 2
mOH BHm
∴ 6 3| | 92
mk OH BH m
∵ ky x
的图象在第二，四象限
∴ 9k
设直线 EF 的解析式为： y n
则 9 4( , ), ( , )F n E nn n
∴ 4 9 13( )EF n n n
∴ 1 1 13 13| |2 2 2OEF FS EF y nn
△
故答案为：13
2
．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，快速找到相似三角形求出 k 的值，是解题的关键．
三、用心做一做，显显自己的能力！
17.计算：
0
3 18 3 1 2sin 60 4
【答案】 2 ．
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【解析】
【分析】
先计算立方根、绝对值运算、特殊角的三角函数值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可．
【详解】原式 32 3 1 2 12
2 3 1 3 1
2 ．
【点睛】本题考查了立方根、绝对值运算、特殊角的三角函数值、零指数幂等知识点，熟记各运算法则是
解题关键．
18.如图，在 ABCD 中，点 E 在 AB 的延长线上，点 F 在CD 的延长线上，满足 BE DF ．连接 EF ，
分别与 BC ， AD 交于点G ， H ．求证： EG FH ．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的性质可得 //AB CD ， ABC CDA ，再根据平行线的性质、邻补角的定义可得
E F ， EBG FDH ，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
【详解】∵四边形 ABCD 为平行四边形
∴ //AB CD ， ABC CDA
∴ E F ，180 180ABC CDA
EBG FDH
在 BEG 和 DFH 中，
E F
BE DF
EBG FDF
∴ ( )BEG DFH ASA
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∴ EG FH ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、邻补角的定义、三角形全等的判定定理与性质等
知识点，熟练掌握平行四边形的性质，正确找出全等三角形是解题关键．
19.有 4 张看上去无差别的卡片，上面分别写有数 1 ，2，5，8．
（1）随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为______；
（2）随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数
之差的绝对值大于 3 的概率．
【答案】（1） 1
2 ;（2） 3
8
【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）列表展示所有 16 种等可能的结果数,再找出两次抽取的卡片上两数之差的绝对值大于 3 结果数,然后根
据概率公式求解．
【详解】解：（1）抽取到的数为偶数的概率为 P= 2 1
4 2
．
（2）列表如下：
第 1 次
第 2 次
1 2 5 8
1 1, 1 2, 1 5, 1 8, 1
2 ( )1,2- 2,2 5,2 8,2
5 1,5 2,5 5,5 8,5
8 1,8 2,8 5,8 8,8
∵差的绝对值有 16 种可能，绝对值大于 3 的有 6 种可能，
∴差的绝对值大于 3 的概率 6 3
16 8P ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n,再从中选出符合事
件 A 或 B 的结果数目 m,然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．
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20.如图，在平面直角坐标系中，已知点 1,5A ， 3,1B 和 4,0C ，请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段 AB ，使点 A 平移到点C ，画出平移后所得的线段CD ，并写出点 D 的坐标为______；
（2）将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转90 ，画出旋转后所得的线段 AE ，并直接写出 cos BCE 的值为
______；
（3）在 y 轴上找出点 F ，使 ABF 的周长最小，并直接写出点 F 的坐标为______．
【答案】（1）（2，-4） （2） 5
5
（3）（0,4）
【解析】
【分析】
（1）平移线段 AB，使 A 点平移到 C 点，可以知道 A 点是向右平移 5 个单位，向下平移 5 个单位，故可以
确定 D 点坐标．
（2）根据 B、C、E 三点坐标，连接 BE，可以判断出△BCE 为直角三角形，故可求解 cos BCE 的值．
（3）过 A 点做 y 轴的对称点 A’，连接 A’B，与 y 轴的交点即为 F 点．此时△ABF 的周长最小，通过求解
函数解析式确认点Ｆ的坐标．
【详解】解：(1)如图所示：平移线段 AB，使 A 点平移到 C 点，可以知道 A 点是向右平移 5 个单位，再向
下平移 5 个单位，根据题意可知，B 点(-3,1)平移到 D 点，故可以确定点 D 的坐标．
点 D 的坐标为 2, 4 ；
(2)如图所示：
根据题意，AE 是线段 AB 围绕点 A 逆时针旋转 90°得到，故 AB=AE，不难算出点 E 的坐标为(3,3)．连接
BE，根据 B、C、E 三点坐标算出 BC= 5 2 、EC= 10 、BE= 2 10 ，故 2 2 2BE EC BC ,可以判断出
△BEC 为直角三角形．
故 5cos 5BCE EC
BC
(3)如图所示：
过 A 点做 y 轴的对称点 A’，连接 A’B，与 y 轴的交点即为 F 点．故可知 A’的坐标为(1,5)，点 B 的坐标为(-3,1),
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设 A’B 的函数解析式为 y=kx+b，将(1,5)，(-3,1)代入函数解析中解得 k=1，b=4，则函数解析式为 y=x+4,则
F 点坐标为(0,4),
故点 F 的坐标为(0,4)．
【点睛】（1）本题主要考查平移，洞察点 A 是如何平移到点 C，是求出 D 点坐标的关键．（2）连接 BE，根
据 B、C、E 三点坐标判断出△BCE 是直角三角形，就不难算出 cos BCE 的值．（3）本题通过做 A 点的
对称点 A’，连接 A’B，找到 A’B 与 y 轴的交点 F 是解答本题的关键．
21.已知关于 x 的一元二次方程 2 212 1 2 02x k x k ．
（1）求证：无论 k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根 1x ， 2x 满足 1 2 3x x ，求 k 的值．
【答案】（1）见解析 （2）0，-2
【解析】
【分析】
（1）根据根的判别式即可求证出答案；
（2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得 k 与的 1x 、 2x 的关系式，进一步可以求出答案.
【详解】(1)证明：∵ 2 2 212 1 4 2 2 4 92k k k k 22 1 7k ，
∵无论 k 为何实数， 22 1 0k ，
∴ 22 1 7 0k ，
∴无论 k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)由一元二次方程根与系数的关系得：
1 2 2 1x x k ， 2
1 2
1 22x x k ，
∵ 1 2 3x x ，
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∴ 2
1 2 9x x ，
∴ 2
1 2 1 24 9x x x x ，
∴ 2 212 1 4 2 92k k
，化简得： 2 2 0k k ，
解得 0k ， 2 ．
【点睛】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题.
22.某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品．已知1kg 乙产品的售价比1kg 甲产品的
售价多 5 元，1kg 丙产品的售价是1kg 甲产品售价的 3 倍，用 270 元购买丙产品的数量是用 60 元购买乙产
品数量的 3 倍．
（1）求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？
（2）电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共 40kg ，其中乙产品的数量是丙产品数量
的 2 倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的 3 倍．请你帮忙计算，按此方案购买 40kg 农产品
最少要花费多少元？
【答案】（1）甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是 5 元、10 元、15 元；（2）按此方案购买 40kg 农
产品最少要花费 300 元．
【解析】
【分析】
（1）设1kg 甲产品的售价为 x 元，先表示出1kg 乙产品的售价和1kg 丙产品的售价，再根据“用 270 元购买
丙产品的数量是用 60 元购买乙产品数量的 3 倍”建立方程，然后求解即可得；
（2）设 40kg 的甲、乙、丙三种农产品搭配中，丙种农产品有 mkg ，先求出乙种农产品的数量和甲种农产
品的数量，再根据题干三种农产品间的数量关系列出不等式求出 m 的取值范围，然后根据（1）的结论得出
所需费用关于 m 的函数关系式，最后利用一次函数的性质即可得．
【详解】（1）设1kg 甲产品的售价为 x 元，则1kg 乙产品的售价为 5x 元，1kg 丙产品的售价为3x 元
由题意得： 270 60 33 5x x
解得： 5x
经检验， 5x 是所列分式方程的解，也符合题意
则 5 10 x ，3 15x
答：甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是 5 元、10 元、15 元；
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（2）设 40kg 的甲、乙、丙三种农产品搭配中，丙种农产品有 mkg ，则乙种农产品有 2mkg ，甲种农产品
有 40 3m kg
由题意得： 40 3 3 2m m m
解得 5m
设按此销售方案购买 40kg 农产品所需费用 y 元
则 5 40 3 10 2 15 20 200y m m m m
∵在 5m 范围内， y 随 m 的增大而增大
∴当 5m 时， y 取得最小值，最小值为 20 5 200 300 （元）
答：按此方案购买 40kg 农产品最少要花费 300 元．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用、一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识点，依据
题意，正确列出方程和函数的解析式是解题关键．
23.已知 ABC 内接于 O ， AB AC ， ABC 的平分线与 O 交于点 D ，与 AC 交于点 E ，连接 CD
并延长与 O 过点 A 的切线交于点 F ，记 BAC ．
（1）如图 1，若 60 ，
①直接写出 DF
DC
的值为______；
②当 O 的半径为 2 时，直接写出图中阴影部分的面积为______；
（2）如图 2，若 60 ，且 2
3
DF
DC
， 4DE ，求 BE 的长．
【答案】（1）① 1
2
； ② 3 3 2
2 3
；（2）5
【解析】
【分析】
（1）①连接 AD，连接 AO 并延长交 BC 于 H 点，根据题意先证明△ABC 是等边三角形，再得到∠AFD 为
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直角，利用含 30°的直角三角形即可求解；②根据割补法即可求解阴影部分面积；
（2）连接 AD ，连接 AO 并延长交 O 于点 H ，连接 DH ，根据题意先证明 ADF ADE≌V V ，得到
4DF DE ，再求出 6DC ，根据 DCE DBC△ △∽ ，得到 CD DE
DB CD
，即可求出 BD，从而求出 BE
的长．
【详解】解：（1）① 60BAC ， AB AC
∴△ABC 是等边三角形，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠DBC= 1
2
∠ABC=30°，
∵∠BDC=∠BAC=60°
∴∠BCD=180°-∠DBC-∠BDC=90°
∴BD 是直径，
∴∠BAD=90°，CD=AD
连接 AO 并延长交 BC 于 H 点，
∵AO=BO
∴∠BAH=∠ABO=30°，
∴∠AHB=180°-∠BAH-∠ABC=90°
∴AH⊥BC
∵AF 是 O 的切线
∴AF⊥AH
∴四边形 AHCF 是矩形
∴AF⊥CF
∵∠ADB=∠BDC=60°
∴∠ADF=180°-∠ADB-∠BDC=60°
∴∠FAD=90°-∠ADF=30°
∴ 1
2
DF DF
DC AD
；
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②∵半径为 2，
∴AO=OD=2，
∵∠DBC=30°，
∴CD= 1
2 BD=2=AD，
∴DF= 1
2 AD=1,
∴AF= 2 2 2 22 1 3AD DF ,
∵∠AOB=180°-2∠ABO=120°，
∴∠AOD=180°-∠AOB=60°，
∴
2 21 60 1 60 2 3 3 2( ) (2 1) 32 360 2 360 2 3AODF AOD
AOS S S AO DF AF 梯形 扇形阴影
﹔
故答案为：① 1
2
； ② 3 3 2
2 3
；
（2）如图，连接 AD ，连接 AO 并延长交 O 于点 H ，连接 DH ，则 90ADH ，
∴ 90DAH DHA ．
∵ AF 与 O 相切，
∴ 90DAH DAF FAO ．
∴ DAF DHA ．
∵ BD 平分 ABC ，
∴ ABD CBD ．
∴ DHA DAC ，
∴ DAF DAC ．
∵ AB AC ，
∴ AABC CB ∠ ．
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∵四边形 ABCD 内接于 O ，
∴ 180ABC ADC ．
又∵ 180ADF ADC ，
∴ ADF ABC ．
又∵ ADB ACB ABC ，
∴ ADF ADB ．
又∵ AD 公共，
∴ ASAADF ADE≌△ △ ，
∴ 4DF DE ．
∵ 2
3
DF
DC
，
∴ 6DC ．
∵ DCE ABD DBC ， CDE 公共，
∴ DCE DBC△ △∽ ．
∴ CD DE
DB CD
，即 6 4
6DB
，
∴ 9DB ．
∴ 5BE DB DE ．
【点睛】此题主要考查切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知切线的性质、等边三角形的判定与性质
及相似三角形的判定与性质．
24.在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 4 4 6 0y ax ax a a 与 x 轴交于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的
左侧），与 y 轴交于点 C ，顶点为点 D ．
（1）当 6a 时，直接写出点 A ， B ，C ， D 的坐标：
A ______， B ______，C ______， D ______；
（2）如图 1，直线 DC 交 x 轴于点 E ，若 4tan 3AED ，求 a 的值和CE 的长；
（3）如图 2，在（2）的条件下，若点 N 为OC 的中点，动点 P 在第三象限的抛物线上，过点 P 作 x 轴的
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垂线，垂足为 Q ，交 AN 于点 F ；过点 F 作 FH DE ，垂足为 H ．设点 P 的横坐标为 t ，记 f FP FH ．
①用含 t 的代数式表示 f ；
②设 5 0t m m ，求 f 的最大值．
【答案】（1） 3,0 ， 1,0 ， 0,18 ， 2, 6 ；（2） 2
3
； 25
6
；（3）① 22 843 3f t t ；② 26
3
．
【解析】
【分析】
（1）求出 0y 时，x 的值可得点 A、B 的坐标，求出 0x 时，y 的值可得点 C 的坐标，将二次函数的解
析式化为顶点式即可得点 D 的坐标；
（2）先求出顶点 D 的坐标，从而可得 DK、OK 的长，再利用正切三角函数可得 EK、OE、OC 的长，从而
可得出点 C 的坐标，然后将点 C 的坐标代入二次函数的解析式可得 a 的值，利用勾股定理可求出 CE 的长；
（3）①如图，先利用待定系数法求出直线 AN 的解析式，从而可得点 F 的坐标，由此可得出 PF 的长，再
利用待定系数法求出直线 CE 的解析式，从而可得点 J 的坐标，由此可得出 FJ 的长，然后根据相似三角形
的判定与性质可得 FH FJ
OE CE
，从而可得 FH 的长，最后根据 f 的定义即可得；
②先将 f 的表达式化为顶点式，从而得出其增减性，再利用二次函数的性质即可得．
【详解】（1）当 6a 时， 26 24 18y x x
当 0y 时， 26 24 18 0x x ，解得 1x 或 3x
则点 A 的坐标为 ( 3,0)A ，点 B 的坐标为 ( 1,0)B
当 0x 时， 18y
则点 C 的坐标为 (0,18)C
将 26 24 18y x x 化成顶点式为 26( ) 62y x
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则点 D 的坐标为 ( 2, 6)D
故答案为： 3,0 ， 1,0 ， 0,18 ， 2, 6 ；
（2）如图，作 DK x 轴于点 K
将 2 4 4 6y ax ax a 化成顶点式为 2( 2) 6y a x
则顶点 D 的坐标为 ( 2, 6)D
∴ 6DK ， 2OK
在 Rt DKE 中， tan DKAED EK
，即 6 4
3EK
解得 9
2EK
9 522 2KOE EK O
在 Rt COE△ 中， tan OCAED OE
，即
4
5 3
2
OC
解得 10
3OC
10(0, )3C ， 2 2 2 210 5( ) ( )3
2
2
5
6CE OC OE
将点 10(0, )3C 代入 2 4 4 6y ax ax a 得： 104 6 3a
解得 2
3a ；
（3）①如图，作 FP 与 ED 的延长线交于点 J
由（2）可知， 2
3a ， 100, 3C
∴ 22 8 10
3 3 3y x x
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当 0y 时， 22 8 10 03 3 3x x ，解得 5x 或 1x
∴ 5,0A ， 10B ,
NQ 为 OC 的中点
∴ 50, 3N
设直线 AN 的解析式为 1 1y k x b
将点 5,0A ， 50, 3N
代入得：
1 1
1
5 0
5
3
k b
b
，解得
1
1
1
3
5
3
k
b
则直线 AN 的解析式为 1 5
3 3y x
∵ 22 8 10, 3 3 3P t t t
∴ 1 5, 3 3F t t
∴ 2 21 5 2 8 10 2 5( ) 33 3 3 3 3 3 3PF t t t t t
由（2）知，
2
5OE
5 ,02E
， 100, 3C
设直线 CE 的解析式为 2 2y k x b
将点 5 ,02E
， 100, 3C
代入得：
2 2
2
5 02
10
3
k b
b
，解得
2
2
4
3
10
3
k
b
则直线 CE 的解析式为 4 10
3 3y x
∴ 4 10, 3 3J t t
∴ 1 5 4 10 5 5( )3 3 3 3 3 3FJ t t t
∵ FH DE ， //JF y 轴
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∴ 90FHJ EOC ， FJH ECO
∴ FJH ECO
∴ FH FJ
OE CE
，即
5 5
3
2
2
6
5
3
5
tFH
解得 1FH t
∴ 22 53 13 3f PF FH t t t
即 22 843 3f t t ；
②将 22 843 3f t t 化成顶点式为 22 2633 3tf
由二次函数的性质可知，当 3t 时， f 随 t 的增大而增大；当 3t 时， f 随 t 的增大而减小
5 0t m m
5 0m
因此，分以下两种情况：
当 5 3m 时
在 5 t m 内， f 随 t 的增大而增大
则当t m 时， f 取得最大值，最大值为 22 2633 3m
又当 5 3m 时， 2 02 33 m
22 26 2633 3 3m
当 3 0m 时
在 5 3t 内， f 随 t 的增大而增大；在 3 t m 内， f 随 t 的增大而减小
则当 3t 时， f 取得最大值，最大值为 26
3
综上， f 的最大值为 26
3
．
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【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、正切三角函数、相似
三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3）①，通过作辅助线，构造相似三角形求出 FH 的长是解题
关键．
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