湖北省黄石市2020年中考数学试题（原卷版）.doc

第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 黄石市 2020 年初中毕业生学业水平考试 数学试题卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1.3 的相反数是（ ）． A. 3 B. 3 C. 1 3  D. 1 3 【答案】A 【解析】 【分析】 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义即可得． 【详解】3 的相反数是-3 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题关键． 2.下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用中心对称图与轴对称图形定义对每个选项进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图与轴对称图形定义，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题关键． 3.如图所示，该几何体的俯视图是（ ） 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据俯视图的定义判断即可． 【详解】俯视图即从上往下看的视图,因此题中的几何体从上往下看是左右对称的两个矩形． 故选 B． 【点睛】本题考查俯视图的定义,关键在于牢记定义． 4.下列运算正确的是（ ） A. 8 3 5a b ab  B.  32 5a a C. 9 3 3a a a  D. 2 3a a a  【答案】D 【解析】 【分析】 根据整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘除法逐项判断即可． 【详解】A、8a 与3b 不是同类项，不可合并，此项错误 B、  232 3 6aa a   ，此项错误 C、 9 3 9 3 6a a a a   ，此项错误 D、 2 2 1 3a a a a   ，此项正确 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘除法，熟记各运算法则是解题关键． 5.函数 1 23y xx    的自变量 x 的取值范围是（ ） A. 2x  ，且 3x  B. 2x  C. 3x  D. 2x  ，且 3x  【答案】A 【解析】 【分析】 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 根据分式与二次根式的性质即可求解． 【详解】依题意可得 x-3≠0，x-2≥0 解得 2x  ，且 3x  故选 A． 【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质． 6.不等式组 1 3 2 9 3 x x       的解集是（ ） A. 3 3x   B. 2x   C. 3 2x    D. 3x   【答案】C 【解析】 【分析】 分别求出每个不等式的解集，再求其公共部分即可． 【详解】解 1 3 2 9 3 x x       ① ② 由①得， x＜−2； 由②得，x≥−3， 所以不等式组的解集为 3 2x    ． 故选：C． 【点睛】本题的实质是求不等式的公共解，解答时要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小 中间找，大大小小解不了． 7.在平面直角坐标系中，点 G 的坐标是 2,1 ，连接OG，将线段 OG 绕原点 O 旋转180 ，得到对应线段 OG ，则点G的坐标为（ ） A.  2, 1 B.  2,1 C.  1, 2 D.  2, 1  【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意可得两个点关于原点对称，即可得到结果． 【详解】根据题意可得，G与 G 关于原点对称， ∵点 G 的坐标是 2,1 ， 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 ∴点G的坐标为 2, 1 ． 故选 A． 【点睛】本题主要考察了平行直角坐标系中点的对称变换，准确理解公式是解题的关键． 8.如图，在 Rt ABC 中， 90ACB   ，点 H、E、F 分别是边 AB 、BC 、CA 的中点，若 8EF CH  ， 则CH 的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直角三角形的性质求出 AB，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】∵∠ACB＝90°，点 H 是边 AB 的中点， ∴AB＝2CH， ∵点 E、F 分别是边 AC、BC 的中点， ∴AB＝2EF ∴CH=EF ∵ 8EF CH  ， ∴CH =4 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且 等于第三边的一半是解题的关键． 9.如图，点 A、B、C 在 O 上， ,CD OA CE OB  ，垂足分别为 D、E，若 40DCE  ，则 ACB 的 度数为（ ） A. 140 B. 70 C. 110 D. 80 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 【答案】C 【解析】 【分析】 在优弧 AB 上取一点 F，连接 AF，BF，先根据四边形内角和求出∠O 的值，再根据圆周角定理求出∠F 的 值，然后根据圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：在优弧 AB 上取一点 F，连接 AF，BF． ∵ ,CD OA CE OB  ， ∴∠CDO=∠CEO=90°． ∵ 40DCE  ， ∴∠O=140°， ∴∠F=70°， ∴∠ACB=180°-70°=110°． 故选 C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，正确作出辅助线是解答本 题的关键． 10.若二次函数 2 2y a x bx c   的图象，过不同的六点  1,A n 、  5, 1B n  、  6, 1C n  、  12,D y 、  22,E y 、  34,F y ，则 1y 、 2y 、 3y 的大小关系是（ ） A. 1 2 3y y y  B. 1 3 2y y y  C. 2 3 1y y y  D. 2 1 3y y y  【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，把 A、B、C 三点代入解析式，求出 2 13 42 59 42 a b     ，再求出抛物线的对称轴，利用二次根式的对称 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 性，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，把点  1,A n 、  5, 1B n  、  6, 1C n  代入 2 2y a x bx c   ，则 2 2 2 25 5 1 36 6 1 a b c n a b c n a b c n               ， 消去 c，则得到 2 2 24 6 1 35 7 1 a b a b        ， 解得： 2 13 42 59 42 a b     ， ∴抛物线的对称轴为： 2 59 5942 262 26 42 bx a     ， ∵ 2x  与对称轴的距离最近； 4x  与对称轴的距离最远；抛物线开口向上， ∴ 2 1 3y y y  ； 故选：D． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，以及二次函数的性质，解题的关键 是掌握二次函数的性质，正确求出抛物线的对称轴进行解题． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11.计算： 11 |1 2 |3        ______． 【答案】4- 2 【解析】 【分析】 根据实数的性质即可化简求解． 【详解】 11 |1 2 |3        3- 2 +1=4- 2 故答案为：4- 2 ． 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知负指数幂的运算． 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 12.因式分解： 3 3m n mn  _______． 【答案】   mn m n m n  【解析】 【分析】 根据因式分解的方法，分别使用提公因式法和公式法即可求解． 【详解】根据因式分解的方法，先提取公因式得  2 2mn m n ，再利用公式法得   mn m n m n  ． 故答案为：   mn m n m n  ． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 13.据报道，2020 年 4 月 9 日下午，黄石市重点园区（珠三角）云招商财富推介会上，我市现场共签项目 20 个，总投资 137.6 亿元，用科学计数法表示 137.6 亿元，可写为_____元． 【答案】1.376×1010 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝 对值＜1 时，n 是负数． 【详解】将 137.6 亿用科学记数法表示为：1.376×1010． 故答案为：1.376×1010． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整 数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 14.某中学规定学生体育成绩满分为 100 分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩 2 :3:5 的比，计算学期 成绩．小明同学本学期三项成绩依次为 90 分、90 分、80 分，则小明同学本学期的体育成绩是______分． 【答案】85 【解析】 【分析】 按照 2 :3:5 的比例算出本学期的体育成绩即可． 【详解】解：小明本学期的体育成绩为： 90 2+90 3+80 5 2+3+5    =85（分）， 故答案为：85． 【点睛】本题考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 15.如图，在 6 6 的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，其中 A、B、C 为格点，作 ABC 的外 接圆，则 BC 的长等于_____． 【答案】 5 2  【解析】 【分析】 由 AB、BC、AC 长可推导出△ACB 为等腰直角三角形，连接 OC，得出∠BOC＝90°，计算出 OB 的长就能 利用弧长公式求出 BC 的长了． 【详解】∵每个小方格都是边长为 1 的正方形， ∴AB＝2 5 ，AC＝ 10 ，BC＝ 10 ， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ACB 为等腰直角三角形， ∴∠A＝∠B＝45°， ∴连接 OC，则∠COB＝90°， ∵OB＝ 5 ∴ BC 的长为： 90 5 180   ＝ 5 2  故答案为： 5 2  ． 【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出 △ACB 为等腰直角三角形． 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 16.匈牙利著名数学家爱尔特希（P. Erdos，1913-1996）曾提出：在平面内有 n 个点，其中每三个点都能构成 等腰三角形，人们将具有这样性质的 n 个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点 A、B、C、D、 O 构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则 ADO 的度数是 _____． 【答案】18° 【解析】 【分析】 先 证 明 △AOB≌△BOC≌△COD ， 得 出 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC ， ∠AOB=∠BOC=∠COD ， 然 后 求 出 正 五 边 形 每 个 角 的 度 数 为 108° ， 从 而 可 得 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC=54° ， ∠AOB=∠BOC=∠COD=72° ， 可 计 算 出 ∠AOD=144°，根据 OA=OD，即可求出∠ADO． 【详解】∵这个五边形由正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成， ∴根据正五边形的性质可得 OA=OB=OC=OD，AB=BC=CD， ∴△AOB≌△BOC≌△COD， ∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，∠AOB=∠BOC=∠COD， ∵正五边形每个角的度数为：  5-2 180 5  =108°， ∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC=54°， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=（180°-2×54°）=72°， ∴∠AOD=360°-3×72°=144°， ∵OA=OD， ∴∠ADO= 1 2 （180°-144°）=18°， 故答案为：18°． 【点睛】本题考查了正多边形的内角，正多边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质， 求出∠AOB=∠BOC=∠COD=72°是解题关键． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 17.先化简，再求值： 2 2 2 1 1 1 x x x x x     ，其中 5x  ． 【答案】 1 1x  ， 1 4 ． 【解析】 【分析】 先根据分式的减法法则进行化简，再将 5x  代入求值即可． 【详解】原式 2( 1) ( 1)( 1) 1 x x x x x     1 1 1 x x x x    1 1 x x x   1 1x   将 5x  代入得：原式 11 5 1 4   ． 【点睛】本题考查了分式的减法运算与求值，熟练掌握分式的减法运算法则是解题关键． 18.如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房 AB 的楼顶，测量对面的乙栋楼房CD 的高度， 已知甲栋楼房 AB 与乙栋楼房 CD 的水平距离 18 3AC  米，小丽在甲栋楼房顶部 B 点，测得乙栋楼房顶 部 D 点的仰角是 30°，底部 C 点的俯角是 45，求乙栋楼房 CD 的高度（结果保留根号）． 【答案】18( 3 +1)m 【解析】 【分析】 根据仰角与俯角的定义得到 AB=BE=AC,再根据三角函数的定义即可求解． 【详解】如图，依题意可得∠BCA=45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB=CE= 18 3AC  ∵∠DBE=30° 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 ∴DE=BE×tan30°=18 ∴ CD 的高度为 CE+ED=18( 3 +1)m． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义． 19.如图， , / / , 70 , 40AB AE AB DE DAB E       ． （1）求 DAE 的度数； （2）若 30B   ，求证： AD BC ． 【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解． 【解析】 【分析】 （1）根据 AB∥DE，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE； （2）证明△DAE≌△CBA，即可证明 AD=BC． 【详解】（1）∵AB∥DE， ∴∠E=∠CAB=40°， ∵∠DAB=70°， ∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°； （2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°， 又∵AE=AB，∠E=∠CAB=40°， ∴△DAE≌△CBA（ASA）， ∴AD=BC． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠DAE 的度数是解题关键． 20.如图，反比例函数 ( 0)ky k x   的图象与正比例函数 2y x 的图象相交于  1,A a 、B 两点，点 C 在第 四象限，BC∥x 轴． 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 （1）求 k 的值； （2）以 AB 、 BC 为边作菱形 ABCD ，求 D 点坐标． 【答案】（1）k=2；（2）D 点坐标为(1+ 2 5 ，2)． 【解析】 【分析】 （1）根据题意，点  1,A a 在正比例函数 2y x 上，故将点  1,A a 代入正比例函数 2y x 中，可求出 a 值，点 A 又在反比例函数图像上，故 k 值可求； （2）根据（1）中已知 A 点坐标，则 B 点坐标可求，根据两点间距离公式可以求出 AB 的长，最后利用已 知条件四边形 ABCD 为菱形，BC∥x，即可求出 D 点坐标． 【详解】（1）根据题意，点  1,A a 在正比例函数 2y x 上，故将点  1,A a 代入正比例函数 2y x 中，得 a=2，故点 A 的坐标为(1,2)，点 A 又在反比例函数图像上，设反比例函数解析式为 ( 0)ky k x   ，将 A(1,2) 代入反比例函数解析中，得 k=2． 故 k=2． （2）如图，A、B 为反比例函数与正比例函数的交点，故可得 2 2xx  ，解得 1 1x  ， 2 1x   ，如图，已 知点 A 坐标为(1,2)，故点 B 坐标为(－1，－2)，根据两点间距离公式可得 AB= 2 24 16 =2 5 ，根据已知 条件中四边形 ABCD 为菱形，故 AB=AD= 2 5 ，AD∥BC∥x 轴，则点 D 坐标为(1+ 2 5 ，2)． 故点 D 坐标为(1+ 2 5 ，2)． 【点睛】（1）本题主要考查正比例函数和反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的 方法以及已知解析式求点坐标是解答本题的关键． （2）本题主要考查求正比例函数和反比例函数交点坐标、菱形性质、两点间距离公式，掌握求正比例函数 和反比例函数交点坐标、菱形性质、两点间距离公式是解答本题的关键． 21.已知：关于 x的一元二次方程 2 2 0x mx   有两个实数根． （1）求 m 的取值范围； 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 （2）设方程的两根为 1x 、 2x ，且满足  2 1 2 17 0x x   ，求 m 的值． 【答案】（1）m＞−8（2）9 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可； （2）根据根与系数的关系可得 1 2x x =- m ， 1 2x x =-2，根据   2 2 1 2 1 2 1 24 17x x x x x x   可得关 于 m 的方程，整理后可即可解出 m 的值． 【详解】（1）根据题意得△＝（ m ）2−4×（−2）＞0， 解得 m＞−8． 故 m 的取值范围是 m＞−8； （2）方程的两根为 1x 、 2x ， ∴ 1 2x x =- m ， 1 2x x =-2 ∵  2 1 2 17 0x x   ∴   2 2 1 2 1 2 1 24 17x x x x x x   即 m+8=17 解得 m＝9 ∴m 的值为 9． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式 △的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔ 方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝ − b a ，x1•x2＝ c a ． 22.我市将面向全市中小学开展“经典诵读”比赛．某中学要从 2 名男生 2 名女生共 4 名学生中选派 2 名学生 参赛． （1）请列举所有可能出现的选派结果； （2）求选派的 2 名学生中，恰好为 1 名男生 1 名女生的概率． 【答案】（1）6 种，见解析；（2） 2 3 【解析】 【分析】 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 （1）用列举法写出所有可能的结果即可； （2）根据（1）中的数据进行求解即可； 【详解】（1）设 2 名男生分别为 x 和 y，2 名女生分别为 n 和 m，则根据题意可得不同的结果有； ,x y ， ,x n ，  ,x m ， ,y n ， ,y m ， ,m n 共 6 种结果； （2）由（1）可得，恰好为 1 名男生 1 名女生的结果有 4 种， ∴ 4 2= =6 3P ． 【点睛】本题主要考查了数据分析的知识点，通过所给数据准确分析是解题的关键． 23.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、 羊各直金几何？”译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值 19 两银子；2 头牛、5 只羊，值 16 两银子，问每头牛、 每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用 19 两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买 方法？列出所有的可能． 【答案】(1) 每头牛 3 两银子,每只羊 2 两银子;(2) 三种购买方法, 买牛 5 头,买养 2 只或买牛 3 头,买养 5 只 或买牛 1 头,买养 8 只． 【解析】 【分析】 (1)根据题意列出二元一次方程组,解出即可． (2)根据题意列出代数式,穷举法代入取值即可． 【详解】(1)设每头牛 x 银两,每只羊 y 银两． 5 2 19 2 5 16 x y x y      解得: 3 2 x y    答:每头牛 3 两银子,每只羊 2 两银子． (2)设买牛 a 头,买养 b 只． 3a+2b=19,即 19 3 2 ab  ． 解得 a=5,b=2；或 a=3,b=5,或 a=1,b=8． 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 答:三种购买方法, 买牛 5 头,买养 2 只或买牛 3 头,买养 5 只或买牛 1 头,买养 8 只． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系． 24.如图，在 Rt ABC 中， 90C   ，AD 平分 BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A、D 的 O 分别交 AB 、 AC 于点 E、F． （1）求证： BC 是 O 的切线； （2）若 8BE  ， 5sin 13B  ，求 O 的半径； （3）求证： 2AD AB AF  ． 【答案】（1）见解析（2）8（3）见解析 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，由 AD 为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错 角相等，进而得到 OD 与 AC 平行，得到 OD 与 BC 垂直，即可得证； （2）连接 EF，设圆的半径为 r，由 sinB 的值，利用锐角三角函数定义即可求出 r 的值； （3）先判断出∠AEF＝∠B．再判断出∠AEF＝∠ADF，进而得出∠B＝∠ADF，进而判断出△ABD∽△ADF， 即可得出结论． 【详解】（1）如图，连接 OD，则 OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠OAD＝∠CAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AC， ∴∠ODB＝∠C＝90°， ∵点 D 在⊙O 上， ∴BC 是⊙O 的切线； （2）由（1）知，OD⊥BC， ∴∠BDO＝90°， 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 设⊙O 的半径为 R，则 OA＝OD＝OE＝R， ∵BE＝8， ∴OB＝BE＋OE＝8＋R， 在 Rt△BDO 中，sinB＝ 5 13 ， ∴sinB＝ 8 OD R OB R   ＝ 5 13 ， ∴R＝5; (3) 连接 OD，DF，EF， ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠AFE＝90°＝∠C， ∴EF∥BC， ∴∠B＝∠AEF， ∵∠AEF＝∠ADF， ∴∠B＝∠ADF， 由（1）知，∠BAD＝∠DAF， ∴△ABD∽△ADF， ∴ AB AD AD AF  ， ∴AD2＝AB•AF． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三 角函数，求出圆的半径是解本题的关键． 25.在平面直角坐标系中，抛物线 2 2y x kx k    的顶点为 N． （1）若此抛物线过点  3,1A  ，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若抛物线与 y 轴交于点 B，连接 AB ，C 为抛物线上一点，且位于线段 AB 的上方， 过 C 作CD 垂直 x 轴于点 D， CD 交 AB 于点 E，若 CE ED ，求点 C 坐标； 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 （3）已知点 4 32 ,03M      ，且无论 k 取何值，抛物线都经过定点 H，当 60MHN   时，求抛物线的 解析式． 【答案】（1） 2 2 4y x x    （2）C（-2,4）（3） 2 (4 2 3) (8 4 3)y x x      ． 【解析】 【分析】 （1）把  3,1A  代入 2 2y x kx k    即可求解； （2）根据题意作图，求出直线 AB 的解析式，再表示出 E 点坐标，代入直线即可求解； （3）先求出定点 H，过 H 点做 HI⊥x 轴，根据题意求出∠MHI=30°，再根据题意分情况即可求解． 【详解】（1）把  3,1A  代入 2 2y x kx k    得-9-3k-2k=1 解得 k=-2 ∴抛物线的解析式为 2 2 4y x x    ； （2）设 C（t, 2 2 4t t   ）,则 E（t, 2 22 t t   ）, 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，把 A（-3，1），（0,4）代入得 1 3 4 k b b      解得 1 4 k b    ∴直线 AB 的解析式为 y=x+4 ∵E（t, 2 22 t t   ）在直线 AB 上 ∴ 2 22 t t   =t+4 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 解得 t=-2（舍去正值）， ∴C（-2,4）； （3）由 2 2y x kx k    =k（x-2）-x2, 当 x-2=0 即 x=2 时，y=-4 故无论 k 取何值，抛物线都经过定点 H（2，-4） 二次函数的顶点为 N（ 2 , 22 4 k k k ） 1°如图，过 H 点做 HI⊥x 轴，若 2 k ＞2 时，则 k＞4 ∵ 4 32 ,03M      ，H（2，-4） ∴MI= 4 33 ， ∵HI=4 ∴tan∠MHI= 4 3 33 4 3  ∴∠MHI=30° ∵ 60MHN   ∴∠NHI=30° 即∠GNH=30° 由图可知 tan∠GNH= 2 2 32 32 44 k GH kGN k      解得 k=4+2 3 ，或 k=4（舍） 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载 2°如图，若 2 k ＜2，则 k＜4 同理可得∠MHI=30° ∵ 60MHN   ∴HN⊥IH，即 2 2 44 k k   解得 k=4 不符合题意； 3°若 2 k =2，N、H 重合，舍去． ∴k=4+2 3 ∴抛物线的解析式为 2 (4 2 3) (8 4 3)y x x      ． 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质及三角函数 的定义． 第一试卷网 Shijuan1.Com 提供下载