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湖北省黄冈市 2020 年中考数学试题
一、选择题(本题共 8 小题,每小題 3 分,共 24 分.每小题给出的 4 个选项中,有且只有一
个答案是正确的)
1. 1
6
的相反数是 ( )
A. 6 B. -6 C. 1
6 D. 1
6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相反数的定义解答即可.
【详解】根据相反数的定义有: 1
6
的相反数是 1
6
.
故选 D.
【点睛】本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号;一个正数的相反数是负
数,一个负数的相反数是正数,0 的相反数是 0.
2.下列运算正确的是( )
A. 22 3m m m B. 3 2 62 3 6m m m C. 3 3(2 ) 8m m D. 6 2 3m m m
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除逐一分析即可.
【详解】解:A. 2 3m m m ,该项不符合题意;
B. 2 53 322 6 63m m mm ,该项不符合题意;
C. 3 3(2 ) 8m m ,该项符合题意;
D. 6 2 6 2 4m m m m ,该项不符合题意;
故选:C.
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除,掌握运算法则是解题的关键.
3.如果一个多边形的每一个外角都是 36°,那么这个多边形的边数是( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】D
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【解析】
【分析】
根据多边形的外角的性质,边数等于 360°除以每一个外角的度数.
【详解】∵一个多边形的每个外角都是 36°,∴n=360°÷36°=10.
故选 D.
【点睛】本题考查了多边形外角与边数的关系,利用外角求正多边形的边数的方法,熟练掌握多边形外角
和公式是解决问题的关键.
4.甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如右表所示,如果从这四位同学中,选出一位同学参加数
学竞赛,那么应选___________去.
甲 乙 丙 丁
平均分 85 90 90 85
方差 50 42 50 42
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可通过四位同学的平均分比较,择高选取;继而根据方差的比较,择低选取求解本题.
【详解】通过四位同学平均分的比较,乙、丙同学平均数均为 90,高于甲、丁同学,故排除甲、丁;乙、
丙同学平均数相同,但乙同学方差更小,说明其发挥更为稳定,故选择乙同学.
故选:B.
【点睛】本题考查平均数以及方差,平均数表示其平均能力的高低;方差表示数据波动的大小,即稳定性
高低,数值越小,稳定性越强,考查对应知识点时严格按照定义解题即可.
5.下列几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的,其中,主视图、左视图、俯视图都相同的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】
根据题意分别画出各项三视图即可判断.
【详解】各选项主视图、左视图、俯视图如下:
A. ,满足题意;
B. ,不满足题意;
C. ,不满足题意;
D. ,不满足题意;
故选 A.
【点睛】本题考查几何体的三视图,关键在于牢记三视图的画法.
6.在平面直角坐标系中,若点 ( , )A a b 在第三象限,则点 ( , )B ab b 所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点 ( , )A a b 在第三象限,可得 0a , 0b ,进而判定出点 B 横纵坐标的正负,即可解决.
【详解】解:∵点 ( , )A a b 在第三象限,
∴ 0a , 0b ,
∴ 0b ,
∴ 0ab ,
∴点 B 在第一象限,
故选:A.
【点睛】本题考查了点的坐标,解决本题的关键是掌握点的坐标特征.
7.若菱形的周长为 16,高为 2,则菱形两邻角的度数之比为( )
A. 4: 1 B. 5: 1 C. 6: 1 D. 7: 1
【答案】B
【解析】
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【分析】
如图,AH 为菱形 ABCD 的高,AH=2,利用菱形的性质得到 AB=4,利用正弦的定义得到∠B=30°,则
∠C=150°,从而得到∠C:∠B 的比值.
【详解】解:如图,AH 为菱形 ABCD 的高,AH=2,
∵菱形的周长为 16,
∴AB=4,
在 Rt△ABH 中,sinB= AH
AB
= 2 1
4 2
,
∴∠B=30°,
∵AB∥CD,
∴∠C=150°,
∴∠C:∠B=5:1.
故选:B.
【点睛】本题考查了菱形的性质:菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条边都相等;菱形的两条对
角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.也考查了正弦的定义及应用.
8.2020 年初以来,红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为 m 吨的情况下,日销售量与产量持平,自 1 月
底抗击“新冠病毒”以来,消毒液霱求量猛增,该厂在生产能力不变的情况下,消毒液一度脱销.下面表示
2020 年初至脱销期间,该厂库存量 y(吨)与时间(天)之间函数关系的大致图象是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
正确理解函数图象与实际问题的关系,题目中的脱销时库存量为 0.
【详解】根据题意:一开始销售量与生产量持平,此时图象为平行于 x 轴的线段,
当下列猛增是库存随着时间的增加而减小,
时间 t 与库存量 y 之间函数关系的图象为先平,再逐渐减小,最后为 0.
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故选:D.
【点睛】本题要求能够通过图象得到函数是随自变量的增大,知道函数值是增大还是减小,通过图象得到
函数是随自变量的增大或减小的快慢.
二、填空题(本题共 8 小题,每小題 3 分,共 24 分)
9.计算: 3 8 = ▲ .
【答案】﹣2.
【解析】
立方根.
【分析】根据立方根的定义,求数 a 的立方根,也就是求一个数 x,使得 x3=a,则 x 就是 a 的一个立方根:
∵(-2)3=-8,∴ 3 8= 2 .
10.已知 1 2,x x 是一元二次方程 2 2 1 0x x 的两根,则
1 2
1
x x
____________.
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得到 x1x2=-1,代入
1 2
1
x x 计算即可.
【详解】解:∵一元二次方程 x2−2x−1=0 的两根为 x1,x2,
∴x1x2=-1,
∴
1 2
1
x x
-1.
故答案为:-1.
【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程的两根为 x1,x2,则
x1+x2=− b
a
,x1•x2= c
a
.
11.若| 2| 0x x y ,则 1
2 xy __________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据非负数的性质进行解答即可.
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【详解】解: | 2 | 0x x y ,
2 0x , 0x y ,
2x , 2y ,
1 1 2 ( 2) 22 2xy ,
故答案为:2.
【点睛】本题考查了非负数的性质,掌握几个非负数的和为 0,这几个数都为 0,是解题的关键.
12.已知:如图,在 ABC 中,点 D 在边 BC 上, , 35AB AD DC C ,则 BAD _______度.
【答案】40
【解析】
【分析】
根据等边对等角得到 35CAD C ,再根据三角形外角的性质得到 70BDA C CAD ,
故 70B BDA ,由三角形的内角和即可求解 BAD 的度数.
【详解】解:∵ , 35AD DC C ,
∴ 35CAD C ,
∴ 70BDA C CAD ,
∵ AB AD ,
∴ 70B BDA ,
∴ 180 40BAD B BDA ,
故答案为:40.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和,熟练掌握几何知识并灵活运
用是解题的关键.
13.计算: 2 2 1y x
x y x y
的结果是____________.
【答案】 1
x y
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【解析】
【分析】
先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解,再将除法转化为乘法,最后约分即可得.
【详解】解: 2 2 1y x
x y x y
y x y x
x y x y x y x y
y y
x y x y x y
y x y
x y x y y
1
x y
,
故答案为: 1
x y .
【点睛】本题主要考查分式的混合运算,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.
14.已知:如图, // , 75 , 135AB EF ABC CDF ,则 BCD _____________度.
【答案】30
【解析】
【分析】
本题可利用两直线平行,同位角相等求解∠EGC,继而根据邻补角定义求解∠CDE,最后根据外角定义求
解∠BCD.
【详解】令 BC 与 EF 相交于 G 点,如下图所示:
∵ // , 75 , 135AB EF ABC CDF ,
∴∠EGC=∠ABC=75°,∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°,
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又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC,
∴∠BCD=75°-45°=30°,
故答案:30.
【点睛】本题考查直线平行的性质,外角以及邻补角定义,难度一般,掌握一些技巧有利于解题效率,例
如见平行推角等.
15.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有池方一丈,葭(jiā)生其中央,出水一尺,引
葭赴岸,适与岸齐问水深几何?”(注:丈、尺是长度单位,1 丈=10 尺)这段话翻译成现代汉语,即为:
如图,有一个水池,水面是一个边长为 1 丈的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面 1 尺,如果
把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.则水池里水的深度是_______________尺.
【答案】12
【解析】
【分析】
首先设水池的深度为 x 尺,则这根芦苇的长度为(x+1)尺,根据勾股定理可得方程 x2+52=(x+1)2 即可.
【详解】设这个水池深 x 尺,
由题意得,x2+52=(x+1)2,
解得:x=12
答:这个水池深 12 尺.
故答案为:12.
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用,在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决
实际问题常用的方法,关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图.领会数形结合的
思想的应用.
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16.如图所示,将一个半径 10cmOA ,圆心角 90AOB 的扇形纸板放置在水平面的一条射线 OM
上.在没有滑动的情况下,将扇形 AOB 沿射线 OM 翻滚至 OB 再次回到 OM 上时,则半径OA的中点 P 运
动的路线长为_____________ cm .
【答案】 5 510 2
【解析】
【分析】
仔细观察顶点 P 经过的路线可得,中点 P 经过的路线可以分为四段,分别求出四段的长,再求出其和即可.
【详解】连接 BP,如图,
∵P 为 AO 的中点,AO=10cm,
∴PO=5cm,
由勾股定理得,BP= 5 5cm ,
中点 P 经过的路线可以分为四段,当弧 AB 切射线 OM 于点 B 时,有 OB⊥射线 OM,此时 P 点绕不动点 B
转过了 90°,此时点 P 经过的路径长为: 90 5 5 5 5=180 2
cm;
第二段:OB⊥射线 OM 到 OA⊥射线 OM,P 点绕动点转动,而这一过程中弧 AB 始终是切于射线 OM 的,
所以 P 与转动点的连线始终⊥射线 OM,所以 P 点过的路线长=AB 的弧长,即 90 10 =5180
;
第三段:OB⊥射线 OM 到 P 点落在射线 OM 上,P 点绕不动点 A 转过了 90°,此时点 P 经过的路径长为:
90 5 5=180 2
;
第四段:OA⊥射线 OM 到 OB 与射线 OM 重合,P 点绕不动点 O 转过了 90°,此时点 P 经过的路径长为:
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90 5 5=180 2
;
所以,P 点经过的路线总长 S= 5 5 5 5 5 55 + + + =10 +2 2 2 2
.
故答案为: 5 510 2
【点睛】本题考查了弧长的计算,关键是理解中点 P 经过的路线可得,中点 P 经过的路线总长为四个扇形
的弧长.
三、解答题(本题共 9 題,满分 72 分)
17.解不等式 2 1 1
3 2 2x x ,并在数轴上表示其解集.
【答案】 3x ,数轴见解析
【解析】
【分析】
先去分母、移项、合并同类项解不等式,得出解集后在数轴上表示即可.
【详解】解: 2 1 1
3 2 2x x
去分母得, 4 3 3x x ,
移项得, 4 3 3x x ,
合并同类项得, 3x .
∴原不等式的解集为: 3x .
解集在数轴上表示为:
【点睛】本题考查了解一元一次不等式,根据不等式的性质解一元一次不等式是解题的关键.
18.已知:如图,在 ABCD 中,点O 是CD 的中点,连接 AO 并延长,交 BC 的延长线于点 E ,求证:
AD CE .
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
通过证明 ADO ECO△ ≌△ 即可得证.
【详解】证明:∵点O 是 CD 的中点,
DO CO .
在 ABCD 中, //AD BC ,
,D DCE DAO E .
在 ADO△ 和 ECO 中,
DAO E
D DCE
DO CO
,
( )ADO ECO AAS△ ≌△
AD CE .
【点睛】本题考查平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质等内容,熟练运用平行四边形的性质及全
等三角形的判定是解题的关键.
19.为推广黄冈各县市名优农产品,市政府组织创办了“黄冈地标馆”.一顾客在“黄冈地标馆”发现,如果购
买 6 盒羊角春牌绿茶和 4 盒九孔牌藕粉,共需 960 元.如果购买 1 盒羊角春牌绿茶和 3 盒九孔牌藕粉共需
300 元.请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元?
【答案】每盒羊角春牌绿茶 120 元,每盒九孔牌藕粉 60 元
【解析】
【分析】
根据题意列出二元一次方程组解出即可.
【详解】解:设每盒羊角春牌绿茶 x 元,每盒九孔牌藕粉 y 元,依题意可列方程组:
6 4 960
3 300
x y
x y
解得: 120
60
x
y
答:每盒羊角春牌绿茶 120 元,每盒九孔牌藕粉 60 元.
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系.
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20.为了解疫情期网学生网络学习的学习效果,东坡中学随机抽取了部分学生进行调查.要求每位学生从“优
秀”、“良好”、“一般”、“不合格”四个等次中,选择一项作为自我评价网络学习的效果现将调查结果绘制成
如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
(1)这次活动共抽查了_________________人.
(2)将条形统计图补充完整,并计算出扇形统计图中,学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数.
(3)张老师在班上随机抽取了 4 名学生,其中学习效果“优秀”的 1 人,“良好”的 2 人,“一般”的 1 人,若
再从这 4 人中随机抽取 2 人,请用画树状图法,求出抽取的 2 人学习效果全是“良好”的概率.
【答案】(1)200;(2)图见解析,108 ;(3) 1
6
【解析】
【分析】
(1)用“良好”所占的人数 80 除以它所占的百分比 40%即可得到调查的总人数;
(2)用总分数减去“优秀”、“良好”、“一般”所占的人数即可计算出“不合格”的人数,然后补全条形统计图,用
“一般”的人数除以总人数得到其所占的百分比,再乘以 360°即可得到“一般”的学生人数所在扇形的圆心角
度数;
(3)画图树状图,然后再用概率公式求解即可.
【详解】解:(1)结合扇形统计图和条形统计图可知:
本次活动共调查了:80÷40%=200(人),
故答案为:200.
(2)“不合格”的人数为:200-40-80-60=20 人,
故条形统计图补全如下所示:
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学习效果“一般”的学生人数所占的百分比为:60÷200=30%,
故学习效果“一般”所在扇形的圆心角度数为 30%×360°=108°,
故答案为:108°.
(3)依题意可画树状图:
共有 12 种可能的情况,其中同时选中“良好”的情况由 2 种,
P (同时选中“良好”) 2 1
12 6
.
故答案为: 1
6
.
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图,条形统计图能清楚地表示出每个项
目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小;树状图法可以展示所有等可能的结果求出 n,再
从中选出符合事件 A 的结果数目 m,最后用概率公式求出 P(A)= m
n
即可求出事件 A 的概率.
21.已知:如图,AB 是 O 的直径,点 E 为 O 上一点,点 D 是 »AE 上一点,连接 AE 并延长至点 C,使
,CBE BDE BD 与 AE 交于点 F.
(1)求证: BC 是 O 的切线;
(2)若 BD 平分 ABE ,求证: 2AD DF DB .
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【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用 AB 为直径,得出 90BEA ,利用 ,BDE BAE CBE BDE 得出 BAE CBE ,
从而得出 90EBA EBC ,进而得出结论;
(2)证出 FDA ADB ∽ 即可得出结论.
【详解】证明:(1) ABQ 为直径,
90BEA ,
在 Rt BEAV 中, 90EBA BAE ,
又 ,BDE BAE CBE BDE ,
BAE CBE ,
90EBA CBE ,即 90ABC ,
BC AB ,
又 ABQ 为 O 的直径,
BC 是 O 的切线;
(2) BDQ 平分 ABE ,
EBD DBA ,
又 EBD EAD ,
DBA EAD ,
又 FDA ADB ,
FDA ADB ∽ ,
AD FD
BD AD
,
2AD DF DB .
【点睛】本题考查了切线的判定,同弧所对的圆周角相等,三角形相似的判定和性质;证明切线有两种情
况(1)有交点,作半径,证垂直;(2)无交点,作垂直,证半径.
22.因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园,“国庆黄金周”期间,游人络绎不绝,现有一艘游船载着游客在遗爱
湖中游览.当船在 A 处时,船上游客发现岸上 1P 处的临皋亭和 2P 处的遗爱亭都在东北方向;当游船向正东
方向行驶 600m 到达 B 处时,游客发现遗爱亭在北偏西 15°方向;当游船继续向正东方向行驶 400m 到达 C
处时,游客发现临皋亭在北偏西 60°方向.
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(1)求 A 处到临皋亭 P 处的距离.
(2)求临皋亭 1P 处与遗爱亭 2P 处之间的距离(计算结果保留根号)
【答案】(1) (500 6 500 2) m ;(2) (800 2 400 6) 米
【解析】
【分析】
(1)过点 1P 作 1PM AC 于点 M.设 1 mPM x ,在 1Rt APM 中,得到 1 2 mAP x ,在 1Rt PMC 中,
得到 3 mMC x ,根据 AC AB BC AM MC 得到关于 x 的一元一次方程,求解即可得到 x 的值,
进而 A 处到临皋亭的距离即可求解;
(2)过点 B 作 2BN AP 于点 N ,在 Rt ABN△ 中,得到 300 2mAN ,在 2Rt NP B△ 中,得到
2 100 6mNP ,根据 1 2 2 1 2 1PP AP AP AN NP AP 求解即可.
【详解】解:(1)依题意有 2 2 145 , 75 , 30P AB P BA PCA .
过点 1P 作 1PM AC 于点 M.设 1 mPM x ,则
在 1Rt APM 中, 1 1m m, 2 AM PM x AP x .
在 1Rt PMC 中, 1 12 2 m, 3 mPC PM x MC x .
又 AC AB BC AM MC ,
3 600 400. 500( 3 1)x x x
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1 2 500( 3 1) (500 6 500 2) mAP
∴点 A 处与点 1P 处临皋亭之间的距离为 (500 6 500 2) m .
(2)过点 B 作 2BN AP 于点 N .
在 Rt ABN△ 中, 45ABN .
600 300 2m
2 2
ABAN BN .
在 2Rt NP B△ 中, 2 2 30NBP P BA ABN .
2
300 2 100 6m
3 3
NBNP .
2 2 (300 2 100 6)mAP AN NP .
1 2 2 1 300 2 100 6 500 6 500 2 (800 2 400 6)mPP AP AP .
∴点 1P 处临亭与点 2P 处遗爱亭之间的距离为 (800 2 400 6)m .
【点睛】本题考查解直角三角形的应用,作出合适的辅助线,构造出直角三角形是解题的关键.
23.已知:如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于 A,B 两点,与 y 轴正半轴交于点 C,与 x 轴负半
轴交于点 D, 15,tan 2OB DOB .
(1)求反比例函数的解析式;
(2)当 1
2ACO OCDS S 时,求点 C 的坐标.
【答案】(1) 2y x
;(2)点 C 的坐标为 (0,2)
【解析】
【分析】
(1)过点 B 作 BM x 轴于点 M,由 1tan 2DOB 设 BM=x,MO=2x,由勾股定理求出 x 的值,得到点
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B 的坐标,代入即可求解;
(2)设点 C 的坐标为 (0, )m ,则 0m .设直线 AB 的解析式为: y kx m ,将 B 点坐标代入 AB 的函
数关系式,可得 1
2
my x m ,令 y=0 得到 2
1
mOD m
,令 2 1
2
m x mx
,解得两个 x 的值,A 点的
横坐标为 2
1m
,由 1
2ACO OCDS S 列出方程求解即可.
【详解】解:(1)过点 B 作 BM x 轴于点 M,则
在 Rt MOB 中 1tan 2
BMDOB MO
.
设 ( 0)BM x x ,则 2MO x .
又 2 2 25,OB OM BM OB .
2 2 2(2 ) ( 5)x x .
又 0,x
1x ,
∴点 B 的坐标是 ( 2, 1)
∴反比例的解析式为 2y x
.
(2)设点 C 的坐标为 (0, )m ,则 0m .设直线 AB 的解析式为: y kx m .
又∵点 ( 2, 1)B 在直线 AB 上将点 B 的坐标代入直线解析式中,
2 1k m .
1
2
mk .
∴直线 AB 的解析式为: 1
2
my x m .
令 0y ,则 2
1
mx m
.
2
1
mOD m
.
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令 2 1
2
m x mx
,解得 1 2
22, 1x x m
.
经检验 1 2,x x 都是原方程的解.
又 1
2ACO OCDs s .
1 1 1
2 2 2ACO x CO OD .
2 AOD x .
2 4
1 1
m
m m
.
2m .
经检验, 2m 是原方程的解.
∴点 C 的坐标为 (0,2) .
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、分式方程、一元二次方程和解直角三角形,解题的关键是
熟练掌握反比例函数的图象和性质.
24.网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存,我市市长亲自在某网络平台上进行直播
销售大别山牌板栗.为提高大家购买的积极性,直播时,板栗公司每天拿出 2000 元现金,作为红包发给购
买者.已知该板栗的成本价格为 6 元 /kg ,每日销售量 (kg)y 与销售单价 x(元 /kg )满足关系式:
100 5000y x .经销售发现,销售单价不低于成本价格且不高于 30 元 /kg .当每日销售量不低于
4000kg 时,每千克成本将降低 1 元设板栗公司销售该板栗的日获利为 W(元).
(1)请求出日获利 W 与销售单价 x 之间的函数关系式
(2)当销售单价定为多少时,销售这种板栗日获利最大?最大利润为多少元?
(3)当 40000W 元时,网络平台将向板栗公可收取 a 元 /kg( 4)a 的相关费用,若此时日获利的最大值
为 42100 元,求 a 的值.
【答案】(1)
2
2
100 5500 27000(6 10)
100 5600 32000(10 30)
x x xw
x x x
;(2)当销售单价定为 28 元时,日获利最大,
且最大为 46400 元;(3) 2a
【解析】
【分析】
(1)首先根据题意求出自变量 x 的取值范围,然后再分别列出函数关系式即可;
(2)对于(1)得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值,然后进行比较,即可得到结果;
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(3)先求出当 40000w ,即 2100 5600 32000 40000x x 时的销售单价,得当
40000,20 36w x ,从而 20 30x ,得 1 ( 6 )( 100 5000) 2000w x a x ,可知,当
128 2x a 时, max 42100w 元,从而有 1 128 6 100 28 5000 2000 421002 2a a a
,
解方程即可得到 a 的值.
【详解】解:(1)当 4000y ,即 100 5000 4000x ,
10x .
∴当 6 10x≤ ≤ 时, ( 6 1)( 100 5000) 2000w x x
2100 5500 27000x x
当10 30x 时, ( 6)( 100 5000) 2000w x x
2100 5600 32000x x .
2
2
100 5500 27000(6 10)
100 5600 32000(10 30)
x x xw
x x x
(2)当 6 10x≤ ≤ 时, 2100 5500 27000w x x .
∵对称轴为 5500 55 102 2 ( 100) 2
bx a
,
∴当 10x 时, max 5 4000 2000 18000w 元.
当10 30x 时, 2100 5600 32000w x x .
∵对称轴为 5600 282 2 ( 100)
bx a
,
∴当 28x 时, max 22 2200 2000 46400w 元.
46400 18000
∴综合得,当销售单价定为 28 元时,日获利最大,且最大为 46400 元.
(3) 40000 18000 ,
10 30x ,则 2100 5600 32000w x x .
令 40000w ,则 2100 5600 32000 40000x x .
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解得: 1 220, 36x x .
在平面直角坐标系中画出 w 与 x 的数示意图.
观察示意图可知:
40000,20 36w x .
又 10 30x ,
20 30x .
1 ( 6 )( 100 5000) 2000w x a x
2100 (5600 100 ) 32000 5000x a x a .
对称轴为 5600 100 1282 2 ( 100) 2
b ax aa
4a ,
对称轴 128 302x a .
∴当 128 2x a 时, max 42100w 元.
1 128 6 100 28 5000 2000 421002 2a a a
2 88 172 0a a ,
1 22, 86a a .
又 4a ,
2a .
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用,明确成本利润问题的基本数量关系及
二次函数的性质是解题的关键.
25.已知抛物线 2y ax bx c 与 x 轴交于点 ( 1,0)A ,点 (3,0)B ,与 y 轴交于点 (0,3)C ,顶点为点 D.
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(1)求抛物线的解析式;
(2)若过点 C 的直线交线段 AB 于点 E,且 : 3:5ACE CEBS S ,求直线 CE 的解析式
(3)若点 P 在抛物线上,点 Q 在 x 轴上,当以点 D、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形时,求点 P
的坐标;
(4)已知点 450, , (2,0)8H G
,在抛物线对称轴上找一点 F,使 HF AF 的值最小此时,在抛物线上是
否存在一点 K,使 KF KG 的值最小,若存在,求出点 K 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) 2y x 2x 3 ;(2) 6 3y x ;(3)点 P 的坐标为 (1 5, 1),(1 3,1) ;(4)存在,
点 K 的坐标为 (2,3)
【解析】
【分析】
(1)由于点 A、B 为抛物线与 x 轴的交点,可设两点式求解;也可将 A、B、C 的坐标直接代入解析式中
利用待定系数法求解即可;
(2)根据两个三角形的高相等,则由面积比得出 : 3:5AE EB ,求出 AE,根据点 A 坐标可解得点 E 坐标,
进而求得直线 CE 的解析式;
(3)分两种情况讨论①当四边形 DCPQ 为平行四边形时;②当四边形 DCQP 为平行四边形时,根据平行
四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式,分别代入坐标数值,解方程即可解答;
(4)根据抛物线的对称性,AF=BF,则 HF+AF=HF+BF,当 H、F、B 共线时,HF+AF 值最小,求出此时
点 F 的坐标,设 0 0,K x y ,由勾股定理和抛物线方程得 0
17
4KF y ,过点 K 作直线 SK,使 //SK y 轴,
且点 S 的纵坐标为17
4
,则点 S 的坐标为 0
17, 4x
,此时, 0
17
4KS y ,∴KF+KG=KS+KG,当 S、K、G
共线且平行 y 轴时,KF+KG 值最小,由点 G 坐标解得 0x ,代入抛物线方程中解得 0y ,即为所求 K 的坐标.
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【详解】解:(1)方法 1:设抛物线的解析式为 ( 3)( 1)y a x x= - +
将点 (0,3)C 代入解析式中,则有1 (0 3) 3 1a a .
∴抛物线的解析式为 2 22 3 2 3y x x x x .
方法二:∵经过 , ,A B C 三点抛物线的解析式为 2y ax bx c ,
将 ( 1,0), (3,0), (0,3)A B C 代入解析式中,则有
3
0
9 3 0
c
a b c
a b c
,解得:
1
2
3
a
b
c
,
∴抛物线的解析式为 2y x 2x 3 .
(2) : 3:5ACE CEBS S ,
1
32
1 5
2
AE CO
EB CO
.
: 3:5AE EB .
3 3 348 8 2AE AB .
3 11 2 2Ex .
E 的坐标为 1 ,02
.
又 C 点的坐标为 (0,3) .
直线CE 的解析式为 6 3y x .
(3) 2 22 3 ( 1) 4y x x x .
∴顶点 D 的坐标为 (1,4) .
①当四边形 DCPQ 为平行四边形时,由 DQ∥CP,DQ=CP 得:
D Q C Py y y y ,即 4 0 3 Py .
1py .令 1y ,则 2 2 3 1x x .
1 5x .
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∴点 P 的坐标为 (1 5, 1) .
②当四边形 DCQP 为平行四边形时,由 CQ∥DP,CQ=DP 得:
c Q D py y y y ,即 3 0 4 Py
1py .令 1y ,则 2 2 3 1x x .
1 3x .
∴点 P 的坐标为 (1 3,1) .
∴综合得:点 P 的坐标为 (1 5, 1),(1 3,1)
(4)∵点 A 或点 B 关于对称轴 1x 对称
∴连接 BH 与直线 1x 交点即为 F 点.
∵点 H 的坐标为 450, 8
,点 B 的坐标为 (3,0) ,
∴直线 BH 的解析式为: 15 45
8 8y x .
令 1x ,则 15
4y .
当点 F 的坐标为 151, 4
时, HF AF 的值最小.11 分
设抛物线上存在一点 0 0,K x y ,使得 FK FG 的值最小.
则由勾股定理可得:
2
22
0 0
151 4KF x y
.
又∵点 K 在抛物线上,
2
0 0 1 4y x
2
0 01 4x y 代入上式中,
2 2
2
0 0 0
15 174 4 4KF y y y
0
17
4KF y .
如图,过点 K 作直线 SK,使 //SK y 轴,且点 S 的纵坐标为17
4
.
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∴点 S 的坐标为 0
17, 4x
.
则 0
17
4SK y .
0 0 0
17 17 17,4 4 4y y y
(两处绝对值化简或者不化简者正确.)
KF SK .
KF KG SK KG
当且仅当 , ,S K G 三点在一条直线上,且该直线干行于 y 轴, FK FG 的值最小.
又∵点 G 的坐标为 (2,0) ,
0 2x ,将其代入抛物线解析式中可得: 0 3y .
∴当点 K 的坐标为 (2,3) 时, KF KG 最小.
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合,涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、
求线段和的最小值(即将军饮马模型)等知识,解答的关键是认真审题,找出相关条件,运用待定系数法、
数形结合法等解题方法确定解题思路,对相关信息进行推理、探究、发现和计算.
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