第3章 概率 3.1.docx

第 3 章 概 率(B) (时间：120 分钟 满分：160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分) 1．从一批产品(其中正品、次品都多于 2 件)中任取 2 件，观察正品件数和次品件数， 下列事件是互斥事件的是________．(填序号) ①恰好有 1 件次品和恰好有两件次品； ②至少有 1 件次品和全是次品； ③至少有 1 件正品和至少有 1 件次品； ④至少 1 件次品和全是正品． 2．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为 3 cm，把一枚半径为 1 cm 的硬币 任意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________． 3．某班有 50 名学生，其中男、女各 25 名，若这个班的一个学生甲在街上碰到一位同 班同学，假定每两名学生碰面的概率相等，那么甲碰到异性同学的概率________碰到同 性同学的概率．(填“大于”“小于”“等于”或“无法比较”) 4．在区间 －π 2 ，π 2 上随机取一个数 x，cos x 的值介于 0 到1 2 之间的概率为________． 5．已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三 次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1,2,3,4 表示命中，5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经 随机模拟产生了如下 20 组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 6．已知半径为 a 的球内有一内接正方体，若球内任取一点，则该点在正方体内的概率 为________． 7．在平面直角坐标系 xOy 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的 区域，E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则落入 E 中 的概率为________． 8．从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于 40 的概 率为______________． 9．已知集合 A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合 A 中选取不相同的两个 数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件 A＝{点落在 x 轴上}的概率 P(A)与事件 B＝{点落在 y 轴上}的概率 P(B)大小关系为________． 10．如图所示，△ABC 为圆 O 的内接三角形，AC＝BC，AB 为圆 O 的直径，向该圆内 随机投一点，则该点落在△ABC 内的概率是________． 11．若以连续两次掷骰子分别得到的点数 m，n 作为点 P 的坐标(m，n)，则点 P 在圆 x2 ＋y2＝25 外的概率是________． 12．如图所示，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域 的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是__________． 13．在半径为 1 的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过 圆内接等边三角形边长的概率是________． 14．在体积为 V 的三棱锥 S－ABC 的棱 AB 上任取一点 P，则三棱锥 S－APC 的体积大 于V 3 的概率是__________． 二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分) 15．(14 分)已知函数 f(x)＝－x2＋ax－b.若 a，b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数， 求上述函数有零点的概率． 16．(14 分)假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为 0.025， 其余两个各为 0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率． 17．(14 分)甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2、红桃 3、红桃 4、方片 4)玩游戏， 他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽 一张． (1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况； (2)若甲抽到红桃 3，则乙抽到的牌面数字比 3 大的概率是多少？ (3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此 游戏是否公平，说明你的理由． 18．(16 分)现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 A1、A2、A3 通晓日语，B1、B2、B3 通 晓俄语，C1、C2 通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一 个小组． (1)求 A1 被选中的概率； (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率． 19．(16 分)已知实数 a，b∈{－2，－1,1,2}． (1)求直线 y＝ax＋b 不经过第四象限的概率； (2)求直线 y＝ax＋b 与圆 x2＋y2＝1 有公共点的概率． 20．(16 分)如图所示，OA＝1，在以 O 为圆心，OA 为半径的半圆孤上任取一点 B，求 使△AOB 的面积大于等于1 4 的概率． 第 3 章 概 率(B) 1．①④ 2.1 3 3．大于 解析 记“甲碰到同性同学”为事件 A，“甲碰到异性同学”为事件 B，则 P(A)＝24 49 ， P(B)＝25 49 ，故 P(A)1 3(PM，BN 为其高线)，又PM BN ＝AP AB ，故AP AB>1 3 ，故所求概率为 2 3(长度之比)． 15．解 a，b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数的基本事件总数为 N＝5×5＝25 个．函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即 a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)， (2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 12 个．所以事件 “a2≥4b”的概率为 P＝12 25. 16．解 设 A、B、C 分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件． 则 P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1， 设 D 表示军火库爆炸这个事件，则有 D＝A＋B＋C，其中 A、B、C 是互斥事件， ∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 17．解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4′表示，其他用相应的数字表 示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′， 3)，(4′，4)，共 12 种不同情况． (2)甲抽到红桃 3，乙抽到的牌的牌面数字只能是 2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字 比 3 大的概率为2 3. (3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共 5 种，故甲胜的概率 P1＝ 5 12 ，同理乙胜的概率 P2＝ 5 12.因为 P1＝P2，所以此游戏公平． 18．解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的 基本事件为 (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3， C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2， B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)， (A3，B3，C2)，共 18 个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些 基本事件的发生是等可能的． 用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件，则 M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1， B3，C2)}， 事件 M 由 6 个基本事件组成，因而 P(M)＝ 6 18 ＝1 3. (2)用 N 表示“B1、C1 不全被选中”这一事件，则其对立事件 N 表示“B1、C1 全被选 中”这一事件，由于 N ＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件 N 由 3 个基本事件组成， 所以 P( N )＝ 3 18 ＝1 6 ，由对立事件的概率公式得：P(N)＝1－P( N )＝1－1 6 ＝5 6. 19．解 由于实数对(a，b)的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)， (－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－ 2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共 16 种． 设“直线 y＝ax＋b 不经过第四象限”为事件 A，“直线 y＝ax＋b 与圆 x2＋y2＝1 有公 共点”为事件 B. (1)若直线 y＝ax＋b 不经过第四象限，则必须满足 a≥0， b≥0， 即满足条件的实数对(a，b) 有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共 4 种．∴P(A)＝ 4 16 ＝1 4. 故直线 y＝ax＋b 不经过第四象限的概率为1 4. (2)若直线 y＝ax＋b 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则必须满足 |b| a2＋1 ≤1，即 b2≤a2＋1. 若 a＝－2，则 b＝－2，－1,1,2 符合要求，此时实数对(a，b)有 4 种不同取值； 若 a＝－1，则 b＝－1,1 符合要求，此时实数对(a，b)有 2 种不同取值； 若 a＝1，则 b＝－1,1 符合要求，此时实数对(a，b)有 2 种不同取值， 若 a＝2，则 b＝－2，－1,1,2 符合要求，此时实数对(a，b)有 4 种不同取值． ∴满足条件的实数对(a，b)共有 12 种不同取值． ∴P(B)＝12 16 ＝3 4. 故直线 y＝ax＋b 与圆 x2＋y2＝1 有公共点的概率为3 4. 20．解 如图所示，作 OC⊥OA，C 在半圆弧上，过 OC 中点 D 作 OA 的平行线交半 圆弧于 E、F，所以在 EF 上取一点 B，判断 S△AOB≥1 4. 连结 OE、OF，因为 OD＝1 2OC＝1 2OF， OC⊥EF，所以∠DOF＝60°，所以∠EOF＝120°，所以 l EF ＝120 180π·1＝2 3π. 所以 P＝l EF π·1 ＝ 2 3π π ＝2 3.