【原创】高三数学寒假作业（三）
一、选择题，每小题只有一项是正确的。
1. 集合 1,2,3,4,5 , 1,2,3 , | ,A B C z z xy x A y B 且 ，则集合 C
中的元素个数为
A.3 B．4 C．11 D．12
2.设集合 2| 1 1 , |M x x N x x x ，则 M N （ ）
A． 0,1 B． 1,1 C． 1,1 D． 1,0
3.若命题 p ： 0log, 2 xRx ，命题 q ： 02, 0
0 xRx ，则下列命题为真命题的是（ ）
A. qp B. qp C. qp )( D. )( qp
4.下列各组函数中，表示相等函数的是( )．
A．y＝ 5 5x 与 y＝ 2x
B．y＝ln ex 与 y＝eln x
C． 与 y＝x＋3
D．y＝x0 与 y＝ 0
1
x
5.若函数 f (x) (x∈R)是奇函数，则（ ）
A．函数 f (x2)是奇函数 B．函数 [f (x) ]2 是奇函数
C．函数 f (x) x2 是奇函数 D．函数 f (x)＋x2 是奇函数
6.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2＝3，a6＝11,则 S7 等于．
A．13 B．35 C．49 D．63
7.已知
5
23cossin xx ，则sin2x （ ）
A．
18
25 B．
7
25 C．
7
25
D．
16
25
8.过双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的右顶点 A 作斜率为 1 的直线，该直线与双曲线的两
条渐近线的交点分别为 ,B C ．若 1
2AB BC ，则双曲线的离心率是（ ）
A． 2 B． 3 C． 5 D． 10
9.已知函数 2
2log ( log )a ay x x 对任意 1(0, )2x 时都有意义，则实数 a 的范围是（ ）
A. 1 1
32 2a B. 0 1a
C. 1 12 a D. 1a
二、填空题
10.设变量 x，y 满足约束条件
2 5 0
2 0
0
x y
x y
x
，则目标函数 z＝2x＋3y＋1 的最大值为
11.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为__ ___．
12.在 ABC 中， cba ,, 分别为角 CBA ,, 的对边，若 bca 322 ，且 CAB sincos8sin ,
则边b 等于 .
13.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3， E 为 DC 的中点， AE 与 BD 交于点 F ，则
FD DE
uuur uuur
________．
F
E
D
C
B
A
三、计算题
14.已知函数 ( ) 2sin( )cosf x x x .
（Ⅰ）求 ( )f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求 ( )f x 在区间 ,6 2
上的最大值和最小值.
15.
（本题满分 14 分）
如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，A1A＝ 2 AC，D，E，F 分别为线段 AC，A1A，C1B 的中点．
（1）证明：EF∥平面 ABC；
（2）证明：C1E⊥平面 BDE．
A
B
C D
E
C1 A1
B1
F
16.（本题满分 12 分）
如图，椭圆 C ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的右焦点为 F ，右顶点、上顶点分别为点 A 、 B ，
且 5| | | |2AB BF .
（1）求椭圆 C 的离心率；
（2）若斜率为 2 的直线 l 过点 (0, 2) ，且 l 交椭圆C 于 P 、Q 两点，OP OQ .求直线l 的方
程及椭圆 C 的方程.
【原创】高三数学寒假作业（三）参考答案
一、选择题
1~5 CADDC 6~9 CCCA
二、填空题
10.10
11.
12.4
13. 3
2
三、计算题
14.
（Ⅰ）∵ 2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x ，
∴函数 ( )f x 的最小正周期为 .
（Ⅱ）由 26 2 3x x ，∴ 3 sin 2 12 x ，
∴ ( )f x 在区间 ,6 2
上的最大值为 1，最小值为 3
2
.
15.
证明（1）如图，取 BC 的中点 G，连结 AG，FG．
因为 F 为 C1B 的中点，所以 FG 1// 2
C1C．
在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，A1A // C1C，且 E 为 A1A 的中点，
所以 FG // EA．
所以四边形 AEFG 是平行四边形．
所以 EF∥AG． ………………………… 4 分
因为 EF 平面 ABC，AG 平面 ABC，
所以 EF∥平面 ABC． ………………………… 6 分
（2）因为在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，A1A⊥平面 ABC，BD 平面 ABC，
所以 A1A⊥BD．
因为 D 为 AC 的中点，BA＝BC，所以 BD⊥AC．
因为 A1A∩AC＝A，A1A 平面 A1ACC1，AC 平面 A1ACC1，所以 BD⊥平面 A1ACC1．
因为 C1E 平面 A1ACC1，所以 BD⊥C1E． ………………………… 9 分
根据题意，可得 EB＝C1E＝ 6
2
AB，C1B＝ 3 AB，
所以 EB 2 ＋C1E 2 ＝C1B 2 ．从而∠C1EB＝90°，即 C1E⊥EB．……………………… 12 分
因为 BD∩EB＝B，BD 平面 BDE， EB 平面 BDE，
所以 C1E⊥平面 BDE． ………………………… 14 分
16.
（1）由已知 5| | | |2AB BF ，
即 2 2 5
2a b a ， 2 2 24 4 5a b a ，
2 2 2 24 4( ) 5a a c a ，∴ 3
2
ce a
.…………………………………………4 分
（2）由（Ⅰ）知 2 24a b ，∴ 椭圆 C ：
2 2
2 2 14
x y
b b
.
设 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ，
直线 l 的方程为 2 2( 0)y x ，即 2 2 0x y .
由 2 2 22 2
2 2
2 2 0
4(2 2) 4 0
14
x y
x x bx y
b b
，
即 2 217 32 16 4 0x x b .
2 2 2 1732 16 17( 4) 0 17b b . 1 2
32
17x x ，
2
1 2
16 4
17
bx x .……8 分
∵ OP OQ ，∴ 0OP OQ ，
即 1 2 1 2 0x x y y ， 1 2 1 2(2 2)(2 2) 0x x x x ， 1 2 1 25 4( ) 4 0x x x x .
从而
25(16 4 ) 128 4 017 17
b ，解得 1b ，
∴ 椭圆 C 的方程为
2
2 14
x y .…………………………………………………12 分
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