2010学年第一学期期末考试高三数学试题评分参考意见.doc

2010 学年第一学期期末考试高三数学试题评分参考意见 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1．{–1, 3}；2．– 12 5 ；3．y=2x，xR；4． 2 1 ；5． 10 334  ；6．4；7．       1 2 ；8． 2 1 ； 9．924 ；10． 1,2，–3；11．①、④；12． 18 7 ；13． 1 或 4 5 ；14． 16 7 二、选择题 15．A；16． B；17．C；18． C 三、解答题 19．解：∵S= 2 1 absinC， ∴ sinC= 2 3 ，…………………………………………4 分 于是∠C =60o，或∠C =120o，……………………………………………………6 分 又 c2=a2+b2–2abcosC ………………………………………………………………8 分 当∠C =60o 时，c2=a2+b2–ab，c= 21 …………………………………………10 分 当∠C =120o 时，c2=a2+b2+ab，c= 61 ．……………………………………………12 分 20．(1) 向量 a =(sinx, cosx)，向量b =(cosx, sinx)，xR， f(x)= a ( a +b )= 2 a + ba  =1+2sinxcosx=1+sin2x．…………………………………5 分 函数 f(x)的最大值为 2，最小值为 0，最小正周期为；……………………………8 分 (2)由 f(x)≥ 2 3 得：sin2x≥ 2 1 ，………………………………………………………10 分 即 2k+ 6  ≤2x≤2k+ 6 5 ，…………………………………………………………12 分 即 k+ 12  ≤x≤k+ 12 5 ，kZ．………………………………………………………14 分 21．解：(1)      sin cos rb ra ；      )0(tan 22 aa b bar ……(各 3 分)………………………6 分 (以上每组内只写出一个，给 2 分) (2) 三角形式下的复数乘法的运算法则： z1z2=r1(cosθ1+isinθ1) r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]……10 分 三角形式下的复数除法的运算法则：   )sini(cos )sini(cos 222 111 2 1 r r z z 2 1 r r [cos(θ1–θ2)+isin(θ1–θ2)] (z2≠0)…………14 分 注意：z2≠0 不写扣 1 分． 22．(1)当 n=1 时，S1=b1， d ab 4 41 = d ddb 4 )3(1  =b1，原式成立．……………………1 分 假设当 n=k 时，Sk= d ab kk 4 3 成立，………………………………………………2 分 则 Sk+1=Sk+bk+1= d dbab kkk 4 413   …………………………………………………4 分 = d dbaaaa kkkkk 4 41321   = d dbba kkk 4 411   = d dab kk 4 )4(1  = d ab kk 4 41  ……6 分 所以 n=k+1 时，等式仍然成立，故对于任意 nN*，都有 Sn= d ab nn 4 3 ；……………8 分 (2)因为 3a5=8a12>0，所以 3a5=8(a5+7d)，a5= – 5 56d >0，所以 d0，a17=a5+12d = 5 4d a2>a3>…>a16>0>a17>a18…，b1>b2>b3>…>b14>0>b17>b18…， 因为 b15=a15a16a170，………………………………………………13 分 a15=a5+10d = – 5 6d >0，a18=a5+13d = 5 9d 0，……………………………………………15 分 故 S16>S14，所以 Sn 中 S16 最大．………………………………………………………16 分 23．(1)证明：因为 2 1 M，又 4 1 = 2 1  2 1 ，f( 2 1 )=1， 所以 f( 4 1 )=f( 2 1  2 1 )=f( 2 1 )+f( 2 1 )=2[0, 2]，所以 4 1 M，……………………………3 分 又因为 f( 8 1 )=f( 4 1  2 1 )=f( 4 1 )+f( 2 1 )=3[0, 2]，所以 8 1 M；…………………………5 分 (2)因为 y=f(x)在 M 上递减，所以 y=f(x)在 M 有反函数 y=f –1(x)，x[0, 2] 任取 x1、x2[0, 2]，设 y1=f –1(x1)，y2=f –1(x2)， 所以 x1=f(y1)，x2=f(y2) (y1、y2M) 因为 x1+x2=f(y1)+f(y2)=f(y1y2)，……………………………………………………………7 分 所以 y1y2=f –1(x1+x2)，又 y1y2= f –1(x1)f –1(x2)， 所以：f –1(x1)• f –1(x2)= f –1(x1+x2)；……………………………………………………10 分 (3)因为 y=f(x)在 M 上递减，所以 f –1(x)在[0, 2]上也递减， f–1(x2–x)• f–1(x–1)≤ 2 1 等价于：f –1(x2–x+x–1)≤f –1(1)…………………………………11 分       11 210 20 2 2 x x xx …………………………………………………………………………14 分 即：         22 31 2101 xx x xx 或 或 …………………………………………………………17 分 所以 2 ≤x≤2…………………………………………………………………………18 分