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闵行区 2010 学年第一学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷（文科） 考生注意： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、学校填写清楚，并填涂准考证号，请仔细核对．答 题时客观题用 2B 铅笔按要求涂写，主观题用黑色水笔填写． 2．本试卷共有 23 道题，共 4 页．满分 150 分，考试时间 120 分钟． 3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留． 一. 填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1．已知关于 x 的实系数方程 2 0x bx c   的一个根是 2 i ，其中i 是虚数单位，则 实数b  ． 2．不等式 1 2x  的解集是 ． 3．若向量 ( 1,2)a   ， (2,1)b  ，则 2a b  等于 ． 4．椭圆 2 22 3 6x y  的焦距为 ． 5．系数矩阵为 1 2 2 1 的线性方程组 1 1 2 2 3 3 a x b y a x b y     的解是 ___, ___. x y   6．已知 sin 2 15 1 cos 8     ，则sin 2 的值为 ． 7．将函数 3tan 2y x 的图像向右平移 1 个单位，得到的图像对应的函数解析式是 ． 8．在 93( )x a 的展开式中， 2x 的系数是 21 2 ，则实数 a  ． 9 ． 若 0x 是 函 数 1( ) ( )2 xf x x  的 零 点 ， 且 1 0x x ， 则 1( )f x 与 0 的 大 小 关 系 是 ． 10．在各项均为正数的等比数列 }{ na 中，若 5 10a  ，则 4 6lg lga a 的值等于 ． 11．有甲、乙、丙、丁四人参加广州亚运会某项射击选拔赛的平均成绩依次是 8.5、8.8、 9.1、9.1，方差依次是 1.7、2.1、1.7、2.5，则参加亚运会该项目角逐的最佳人选是 ． 12．已知条件 : 1 2p x   ；条件 :q x a ，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值 范围是 ． 13．数列 na 满足 1 2 n n n aa a    ，若 1a = 6 ， 2 2a  ，则 24a  ． 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ … … … … … … … … … … 密 ○ … … … … … … … … … … … … … … … 封 ○ … … … … … … … … … … … … … … … ○ 线 … … … … … … … … … … x y O 1 (A) x y O 1 (B) x y O 1 (C) x y O 1 (D) 14．设定义在 D 上的两个函数 ( )f x 、 ( )g x ，其值域依次是[ ]a b， 和[ ]c d， ，有下列 4 个命题： ①若 a d ，则对任意 1 2 x x D、 ， 1 2( ) ( )f x g x 恒成立； ②若存在 1 2 x x D、 ，使 1 2( ) ( )f x g x 成立，则必有 a d ； ③若对任意 x D ， ( ) ( )f x g x 恒成立，则必有 a d ； ④若 a d ，则对任意 x D ， ( ) ( )f x g x 恒成立． 其中正确的命题是 （请写出所有正确命题的序号）． 二. 选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案.考生应在答 题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分． 15．过点（1，0）且与直线 2 2 0x y   的法向量垂直的直线方程是[答]（ ） （A） 2 1 0x y   ． (B) 2 1 0x y   ． (C) 2 2 0x y   ． （D） 2 1 0x y   ． 16．定义运算  ( ) ( ) a a ba b b a b    ，则函数 ( ) 1 2 xf x   的图像是 [答]（ ） 17．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 3 次，至少出现一次 6 点向上的概率是[答]（ ） (A)． 5 216 (B) 25 216 ． (C) 31 216 ． (D) 91 216 ． 18．设 na （ *nN ）是等比数列，且 2 2 2 1 2 1 (4 1)3 n na a a     ，则 na 的表达式 为 [答]（ ） (A) 12n ． (B) 12n ． (C) 12n 或 1( 2)n  ． (D) 12n ． 三. 解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，每小题满分各 6 分． 已知 ABC 的三内角 A B C、 、 所对的边分别为 a b c、 、 ，且 0a b a c c a b    ． （1）求角 B 的大小； （2）若 6b  ，求 ABC 的外接圆的面积． 20.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，每小题满分各 7 分． 若斜率为 2 的动直线l 与抛物线 2 4x y 相交于不同的两点 A B、 ，O 为坐标原点． （1）求线段 AB 中点 P 的轨迹方程； （2）若 60OA OB   ，求直线l 在 y 轴上截距的取值范围． 21.（本题满分 14 分） 如图，在一条笔直的高速公路 MN 的同旁有两个城镇 A B、 ，它们与 MN 的距离分 别是 kma 与8km( 8)a  ， A B、 在 MN 上的射影 P Q、 之间距离为12km ，现计划修 普通公路把这两个城镇与高速公路相连接，若普通公路造价为 50 万元/ km ；而每个与 高速公路连接的立交出入口修建费用为 200 万元．设计部门提交了以下三种修路方案： 方案①：两城镇各修一条普通公路到高速公路，并各修一个立交出入口； 方案②：两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点 K ，并 在 K 点修一个公共立交出入口； 方案③：从 A 修一条普通公路到 B ，再从 B 修一条普通公路到 高速公路，也只修一个立交出入口． 请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案． N M P QB A 8km akm 22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 5 分，第 (3)小题满分 7 分． 已知函数 4( ) log (4 1) ( 1)xf x k x    （ xR ）为偶函数． （1）求常数 k 的值； （2）当 x 取何值时函数 ( )f x 的值最小？并求出 ( )f x 的最小值； （3）设 4 4( ) log ( 2 )3 xg x a a   （ 0a  ），且函数 ( )f x 与 ( )g x 的图像有且只有一个 公共点，求实数 a 的取值范围． 23.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题满分 7 分． 已知函数 ( )f x 定义在区间 ( 1 1)，  上， 1( ) 12f   ，对任意 ( 1 1)x y  、 ， ， 恒有 ( ) ( ) ( )1 x yf x f y f xy    成立，又数列{ }na 满足 1 1 2 21 2 1 n n n aa a a   ， ， 设 1 2 3 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )n n b f a f a f a f a      ． （1）在 ( 1 1) ， 内求一个实数t ，使得 1( ) 2 ( )2f t f ； （2）证明数列{ ( )}nf a 是等比数列，并求 ( )nf a 的表达式和 lim nn b 的值； （3）是否存在 *mN ，使得对任意 *nN ，都有 8 4n mb  成立？若存在，求出 m 的 最小值；若不存在，请说明理由．