2010年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）文科数学试题答案.doc

2011 年佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 数学试题（文科）参考答案和评分标准 一、选择题 本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C A C B D A D 二、填空题 本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． 11．  12． 1 2 13． ( 1,0) (1, )  14． (2,2 )( )3k k Z   15． 9 2 三、解答题 本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 16．（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ） 4cos ,5B  且 (0 ,180 )B   ，∴ 2 3sin 1 cos 5B B   ． -------------------------------2 分 sin sin(180 ) sin(135 )C A B B      ------------------------------- 3 分 2 4 2 3 7 2sin135 cos cos135 sin ( )2 5 2 5 10B B         ． ------------------------------6 分 （Ⅱ）由正弦定理得 sin sin BC AB A C  ，即 10 72 2102 AB ，解得 14AB  ． -----------------------------10 分 则 ABC 的面积 1 1 3sin 10 14 422 2 5S AB BC B      ------------------------------12 分 17．（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ）第二组的频率为1 (0.04 0.04 0.03 0.02 0.01) 5 0.3       ，所以高为 0.3 0.065  ．频率直方图 如下： -------------------------------2 分 第一组的人数为 120 2000.6  ，频率为 0.04 5 0.2  ，所以 200 10000.2n   ． 由题可知，第二组的频率为 0．3，所以第二组的人数为1000 0.3 300  ，所以 195 0.65300p   ． 第四组的频率为 0.03 5 0.15  ，所以第四组的人数为1000 0.15 150  ，所以 150 0.4 60a    ． -------------------------------5 分 （Ⅱ）因为[40,45) 岁年龄段的“低碳族”与[45,50) 岁年龄段的“低碳族”的比值为 60:30 2:1 ，所以采 用分层抽样法抽取 6 人，[40,45) 岁中有 4 人，[45,50) 岁中有 2 人. -------------------------------8 分 设[40,45) 岁中的 4 人为 a 、b 、c 、d ，[45,50) 岁中的 2 人为 m 、n ，则选取 2 人作为领队的有 ( , )a b 、 ( , )a c 、( , )a d 、( , )a m 、( , )a n 、( , )b c 、( , )b d 、( , )b m 、( , )b n 、( , )c d 、( , )c m 、( , )c n 、( , )d m 、( , )d n 、 ( , )m n ，共 15 种；其中恰有 1 人年龄在[40,45) 岁的有 ( , )a m 、( , )a n 、( , )b m 、( , )b n 、( , )c m 、( , )c n 、( , )d m 、 ( , )d n ，共 8 种. -------------------------------10 分 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45) 岁的概率为 8 15P  . -------------------------------12 分 18．解：（Ⅰ）∵ 3 12S  ，即 1 2 3 12a a a   ，∴ 23 12a  ，所以 2 4a  ，--------------------------------2 分 又∵ 12a ， 2a ， 3 1a  成等比数列， ∴ 2 2 1 32 ( 1)a a a   ，即 2 2 2 22( ) ( 1)a a d a d     ， --------------------------------4 分 解得， 3d  或 4d   （舍去）， ∴ 1 2 1a a d   ，故 3 2na n  ； ---------------------------------------7 分 （Ⅱ）法 1： 3 2 1(3 2)3 3 3 n n n n n a nb n     ， ∴ 2 3 1 1 1 11 4 7 (3 2)3 3 3 3n nT n          ， ① ① 1 3  得， 2 3 4 1 1 1 1 1 1 11 4 7 (3 5) (3 2)3 3 3 3 3 3n n nT n n              ② ①  ②得， 2 3 4 1 2 1 1 1 1 1 13 3 3 3 (3 2)3 3 3 3 3 3 3n n nT n              2 1 1 1 1 1 1(1 )1 1 5 1 1 13 33 (3 2) (3 2)13 3 6 2 3 31 3 n n n nn n                   ∴ 2 5 1 1 3 2 1 5 6 5 1 4 4 3 2 3 4 4 3n n n n n nT           ． ---------------------------------------14 分 法 2： 1 3 2 1 123 3 3 3 n n n n n n a nb n        ， 设 2 3 1 1 1 1 11 2 3 43 3 3 3n nA n           ， ① 则 2 3 4 1 1 1 1 1 12 3 43 3 3 3 3 3n nA n          ， ② ①  ②得， 2 3 1 2 1 1 1 1 113 3 3 3 3 3n n nA n        11 1 3 3 13 ( )1 3 2 2 31 3 n n nn n          ∴ 9 9 3 1( )4 4 2 3n nA n    ， ∴ 1 1(1 ) 9 9 3 1 1 5 6 5 13 32 ( ) (1 )1 4 4 2 3 3 4 4 31 3 n n n n n n nT A n                ．----------------------------14 分 19．解：（Ⅰ）在直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 1//DD CC ， ∵ 1//EF CC ，∴ 1//EF DD ， ---------------------------------------2 分 又∵平面 //ABCD 平面 1 1 1 1A B C D ， 平面 ABCD  平面 1EFD D ED ， 平面 1 1 1 1A B C D  平面 1 1EFD D FD ， ∴ 1//ED FD ，∴四边形 1EFD D 为平行四边形，---------------------------------------4 分 ∵侧棱 1DD  底面 ABCD ，又 DE  平面 ABCD 内， ∴ 1DD DE ，∴四边形 1EFD D 为矩形； ---------------------------------------6 分 （Ⅱ）证明：连结 AE ，∵四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 为直四棱柱， ∴侧棱 1DD  底面 ABCD ，又 AE  平面 ABCD 内， ∴ 1DD AE ， ---------------------------------------8 分 在 Rt ABE 中， 2AB  ， 2BE  ，则 2 2AE  ； ---------------------------------------9 分 在 Rt CDE 中， 1EC  ， 1CD  ，则 2DE  ； ---------------------------------------10 分 在直角梯形中 ABCD ， 2 2( ) 10AD BC AB CD    ； ∴ 2 2 2AE DE AD  ，即 AE ED ， 又∵ 1ED DD D ，∴ AE  平面 1EFD D ； ---------------------------------------12 分 由（Ⅰ）可知，四边形 1EFD D 为矩形，且 2DE  ， 1 1DD  ， ∴矩形 1EFD D 的面积为 1 1 2EFD DS DE DD   ， ∴几何体 1A EFD D 的体积为 1 1 1 1 42 2 23 3 3A EFD D EFD DV S AE       ．-----------------------------14 分 20．解：（Ⅰ）由题意得， 2 6a  ，∴ 3a  ， -----------------------1 分 又 2 4 2c  ，∴ 2 2c  ， 2 2 2 1b a c   ， 故椭圆的方程为 2 2 19 x y  ； ---------------------------------------3 分 （Ⅱ）设 0 0 0( , ) ( 0)P x y y  ， ( 3,0)A  ， (3,0)B ，则 2 20 0 19 x y  ，即 2 2 0 0 1 9 xy   ， 则 0 1 0 3 yk x   ， 0 2 0 3 yk x   ， ---------------------------------------4 分 即 2 202 0 0 1 2 2 2 2 0 0 0 11 (9 ) 19 9 9 9 9 9 x xyk k x x x           ， ∴ 1 2k k 为定值 1 9  ． ---------------------------------------8 分 （Ⅲ）由题意可知，四边形 ABCD 是梯形，则 1( ) (6 2 )2S x x y   ，且 2 2 1 9 xy   ，------------------9 分 于是 2 2 2 2 3 2( 3) (1 )( ) 9( ) ( 3)(1 ) 3(0 3)3 3 9 9 3 xxS x x x xf x x x xx x                ------------------10 分 2 2( ) 13 3 xf x x     ，令 ( ) 0f x  ，解之得 1 1,x  或 3x   （舍去） ------------------11 分 当 0 1x  ， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 单调递增； ---------------------------------------12 分 当1 3x  ， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 单调递减； ---------------------------------------13 分 所以 ( )f x 在 1x  时取得极大值，也是最大值 32 9 . ---------------------------------------14 分 21．解：（Ⅰ）当 2a  时， 2 2 2 2, 2( ) 2 2 2 2, 2 x x xf x x x x x x            ， --------------1 分 ① 当 2x  时， 2 2( ) 2 2 ( 1) 3f x x x x      ， ∴ ( )f x 在 (2, ) 上单调递增； --------------2 分 ② 当 2x  时， 2 2( ) 2 2 ( 1) 1f x x x x        ， ∴ ( )f x 在 (1,2) 上单调递减，在 ( ,1) 上单调递增； --------------3 分 综上所述， ( )f x 的单调递增区间是 ( ,1) 和 (2, ) ，单调递减区间是 (1,2) . --------------4 分 （Ⅱ）（1）当 0a  时， ( ) | |f x x x ，函数 ( )y f x 的零点为 0 0x  ； -----5 分 （2）当 0a  时， 2 2 ,( ) , x ax a x af x x x a a x ax a x a            ， --------------6 分 故当 x a 时， 2 2( ) ( )2 4 a af x x a    ，二次函数对称轴 2 ax a  ， ∴ ( )f x 在 ( , )a  上单调递增， ( ) 0f a  ； -----------7 分 当 x a 时， 2 2( ) ( )2 4 a af x x a     ，二次函数对称轴 2 ax a  ， ∴ ( )f x 在 ( , )2 a a 上单调递减，在 ( , )2 a 上单调递增； ---------------------------------------8 分 ∴ ( )f x 的极大值为 2 2( ) ( )2 2 2 4 a a a af a a a       ， 1 当 ( ) 02 af  ，即 0 4a  时，函数 ( )f x 与 x 轴只有唯一交点，即唯一零点， 由 2 0x ax a   解之得 函数 ( )y f x 的零点为 2 0 4 2 a a ax   或 2 0 4 2 a a ax   （舍去）； -----------------------10 分 2 当 ( ) 02 af  ， 即 4a  时 ， 函 数 ( )f x 与 x 轴 有 两 个 交 点 ， 即 两 个 零 点 ， 分 别 为 1 2x  和 2 2 4 2 2 22 a a ax     ； -----------------------11 分 3 当 ( ) 02 af  ，即 4a  时，函数 ( )f x 与 x 轴有三个交点，即有三个零点， 由 2 0x ax a    解得， 2 4 2 a a ax   ， ∴函数 ( )y f x 的零点为 2 4 2 a a ax   和 2 0 4 2 a a ax   . --------------------12 分 综上可得，当 0a  时，函数的零点为 0 ； 当 0 4a  时，函数有一个零点，且零点为 2 4 2 a a a  ； 当 4a  时，有两个零点 2 和 2 2 2 ； 当 4a  时，函数有三个零点 2 4 2 a a a  和 2 4 2 a a a  . --------------------14 分