数学（文科）试题参考答案及评分标准.doc

2010 年广州市高三年级调研测试 数学（文科）试题参考答案及评分标准 说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解 法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比 照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改 变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该 部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分． 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小 题 5 分，满分 20 分．其中 14～15 题是选做题，考生只能选做一题． 11． 5 12． 1 13．①②③ 14．50 15． 1,1 简答或提示： 10 ． 将 数 列 分 组 ： 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1, , , , , , , , , ,...1 1 2 1 2 3 1 2 3 4                        ． 设 2010a 位 于 第 n 组 ， 由 ( 1) ( 1)20102 2 n n n n   ，解得 63n  ，所以 2010a 位于第 63 组中的第 63 622010 572   项， 故 2010 7 57a  ，选 B． 14．由 FP BC ， FQ AC ，得C 、 Q 、 F 、 P 四点共圆，所以 CQP CFP B      180 A C      180 60 70 50       ． 15．即求直线 2 0x y   与抛物线段 2y x （ 0 2y  ）的交点，交点的直角坐标为 1,1 ． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C D C B C D B 三、解答题： 本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 12 分） （1）解：依题意得，  cos 3,sin 3AB OB OA         ，………………………2 分 所以    22 2cos 3 sin 3AB      13 6cos 2 3sin 13     ， …………4 分 所以 3sin 3cos  ．因为 cos 0  ，所以 tan 3  ． …………………………6 分 （2）解：由 0 2   ，得 6AOB    ．……………………………………………8 分 所以 1 sin2AOBS OA OB AOB    1 2 3 1 sin 3sin2 6 6                   ，………………………………10 分 所以当 3   时，△ AOB 的面积取得最大值 3 ．………………………………………12 分 17．（本小题满分 12 分） （1）解：设 ,x y 表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），（1， 3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），……，（6，5），（6，6），共 36 个．……2 分 用 A 表示事件“ 1 a b ”，即 2 1x y   .…………………………………………………3 分 则 A 包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共 3 个．……………………………5 分 ∴   3 1 36 12P A   ． 答：事件“ 1 a b ”的概率为 1 12 ．…………………………………………………………6 分 （2）解：用 B 表示事件“ 0a b ”，即 2 0x y  . …………………………………7 分 试验的全部结果所构成的区域为   , 1 6,1 6x y x y    ， …………………………………………8 分 构成事件 B 的区域为   , 1 6,1 6, 2 0x y x y x y      ， 如图所示．………………………………10 分 所以所求的概率为   1 4 2 42 5 5 25P B     ． 答：事件“ 0a b ”的概率为 4 25 ． ………………………………………………………………………………………12 分 x y O x=1 x=6 y=1 y=6 x-2y=0 18．（本小题满分 14 分） （1）证明：连结 1A D ，交 1AD 于点 F ，连结 EF ．…1 分 因为四边形 1 1ADD A 是正方形，所以 F 是 1A D 的中点， 又 E 是CD 的中点，所以 1EF AC ．…………………3 分 因为 EF  平面 1AD E ， 1AC  平面 1AD E ， 所以 1AC  平面 1AD E ．…………………………………5 分 （2）解：在对角线 1AC 上存在点 P ，且 3 3CP  ，使得 DP  平面 1AD E ．…………6 分 证明如下：因为四边形 1 1ADD A 是正方形，所以 1 1AD A D ．……………………………7 分 因为CD  平面 1 1ADD A ， 1AD  平面 1 1ADD A ，所以 1CD AD ．……………………8 分 因为 1A D CD D ，所以 1AD  平面 1ACD ．…………………………………………9 分 因为 1AD  平面 1AD E ，所以平面 1AD E ⊥平面 1ACD ．………………………………10 分 作 DP  1AC 于 P ，因为 1EF AC ，所以 DP  EF ．………………………………11 分 因为 DP  平面 1ACD ，平面 1ACD  平面 1AD E EF ，所以 DP  平面 1AD E ．…12 分 由 Rt △ 1ACD ∽ Rt DCP ，得 2 1 1 3 CDCP AC   3 3  ． 所以当 3 3CP  时， DP  平面 1AD E ．…………………………………………………14 分 19．（本小题满分 14 分） （1）解：设 ( , )P x y ，则 (2,0)MN  ， ( 1, )NP x y  ， ( 1, )MP x y  ．…………2 分 由| | | |MN NP MN MP      ， 得 2 22 ( 1) 2( 1)x y x    ，………………………………………………………………4 分 化简得 2 4y x ． 所以动点 P 的轨迹方程为 2 4y x ． ……………………………………………………5 分 A B CD E 1A 1B 1C1D F P （2）解：由  ,4A t 在轨迹 2 4y x 上，则 24 4t ，解得 4t  ，即  4,4A ．…………6 分 当 4m  时，直线 AK 的方程为 4x  ，此时直线 AK 与圆 2 2( 2) 4x y   相离．………7 分 当 4m  时，直线 AK 的方程为 4 ( )4y x mm   ，即 4 ( 4) 4 0x m y m    ．…………8 分 圆 2 2( 2) 4x y   的圆心 (0,2) 到直线 AK 的距离 2 2 8 16 ( 4) md m    ， 令 2 2 8 2 16 ( 4) md m     ，解得 1m  ； 令 2 2 8 2 16 ( 4) md m     ，解得 1m  ； 令 2 2 8 2 16 ( 4) md m     ，解得 1m  ． 综上所述，当 1m  时，直线 AK 与圆 2 2( 2) 4x y   相交； 当 1m  时，直线 AK 与圆 2 2( 2) 4x y   相切； 当 1m  时，直线 AK 与圆 2 2( 2) 4x y   相离．………………………………14 分 20．（本小题满分 14 分） （1）证明：当 1n 时，  1 1 11a S m ma    ，解得 11 a ．…………………………1 分 当 2n  时， 1 1n n n n na S S ma ma     ． ………………………………………………2 分 即  11 n nm a ma   ． ∵ m 为常数，且 0m  ，∴ 1 1 n n a m a m    2n  ． …………………………………………3 分 ∴数列  na 是首项为 1，公比为 1 m m 的等比数列． ………………………………………4 分 （2）解：由（1）得，  mfq  1 m m   ， 1 12 2b a  ． ………………………………5 分 ∵   1 1 11 n n n n bb f b b       ， …………………………………………………………………6 分 ∴ 1 1 1 1 n nb b    ，即 111 1  nn bb  2n  ． ………………………………………………7 分 ∴       nb 1 是首项为 1 2 ，公差为 1 的等差数列． ………………………………………………8 分 ∴  1 1 2 11 12 2n nnb      ，即 2 2 1nb n   （ *nN ）． ………………………………9 分 （3）解：由（2）知 2 2 1nb n   ，则   12 2 2 1 n n n nb    ． ………………………………10 分 所以 2 3 4 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2n n n n n T b b b b b         ， 即 nT    1 2 3 12 1 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1n nn n             ， ① ………11 分 则    2 3 4 12 2 1 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1n n nT n n             ， ② ………12 分 ②－①得  1 3 4 12 2 1 2 2 2 2n n nT n         ， ……………………………………13 分 故       3 1 1 12 1 2 2 2 1 2 2 2 3 61 2 n n n nT n n             ．……………………………14 分 21．（本小题满分 14 分） （1）解：∵   3 2f x x ax  ，∴   2' 3 2f x x ax  . ……………………………………1 分 ∵函数  xf 在区间 20, 3      内是减函数，∴   2' 3 2 0f x x ax   在 20, 3      上恒成立．……2 分 即 3 2 xa  在 20, 3      上恒成立，…………………………………………………………………3 分 3 3 2 12 2 3 x    ，∴ 1a  ． 故实数 a 的取值范围为 1, ．………………………………………………………………4 分 （2）解：∵   2' 3 3f x x x a     ，令  ' 0f x  得 20 3x a 或 ．………………………5 分 ①若 0a  ，则当1 2x  时，  ' 0f x  ，所以  f x 在区间 1,2 上是增函数， 所以    1 1h a f a   ． ………………………………………………………………6 分 ②若 30 2a  ，即 20 13 a  ，则当1 2x  时，  ' 0f x  ，所以  f x 在区间 1,2 上是 增函数，所以    1 1h a f a   ． ………………………………………………………7 分 ③若 3 32 a  ，即 21 23 a  ，则当 21 3x a  时，  ' 0f x  ；当 2 23 a x  时，  ' 0f x  ． 所以  f x 在区间 21, 3 a     上是减函数，在区间 2 ,23 a     上是增函数． 所以   32 4 3 27h a f a a      ． ……………………………………………………………8 分 ④若 3a  ，即 2 23 a  ，则当1 2x  时，  ' 0f x  ，所以  f x 在区间 1,2 上是减函数． 所以    2 8 4h a f a   ． …………………………………………………………………9 分 综上所述，函数  f x 在区间 1,2 的最小值：   3 31 , ,2 4 3, 3,27 2 8 4 , 3. a a h a a a a a            ………………………10 分 （3）解：由题意   1 2h a m a     有两个不相等的实数解， 即（2）中函数  h a 的图像与直线 1 2y m a     有两个 不同的交点．……………………………………………11 分 而直线 1 2y m a     恒过定点 1 ,02     ， 由右图知实数 m 的取值范围是 4, 1  ．……………14 分 O a y 1 ,02     1k   4k  